山西省长治市实验中学东校区2021年高三数学理联考试题含解析

山西省长治市实验中学东校区2021年高三数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.等比数列的各项均为正数，且，则（

）A．12 B．10 C．8 D．参考答案：B略2.已知直线、、不重合，平面、不重合，下列命题正确的是

A.若，，，则

B.若，，则

C.若，则；D.若，则参考答案：D，故选D.3.函数的零点个数为

(

▲)（A）1

（B）2 （C）3 （D）4参考答案：B略4.已知点是函数的图象上的两个点,若将函数的图象向右平移个单位长度,得到函数的图象,则函数的图象的一条对称轴的方程为（

）A．

B．

C.

D．参考答案：A本题考查三角函数的图象及其性质,考查运算求解能力.因为,,所以.由，得，，所以.又,将选项代入验证可知是一条对称轴方程.5.分别是双曲线的左、右焦点，是其右顶点，过作轴的垂线与双曲线的一个交点为，是，则双曲线的离心率是（

）A．2

B．

C．3

D．参考答案：C6.已知函数，且，则

A．

B．

C．

D．参考答案：B因为，所以，，所以,选B.7.已知函数，则f（2+log23）=（）A．8 B．12 C．16 D．24参考答案：D【考点】函数的值．【分析】由已知得f（2+log23）=f（3+log23）=，由此能求出结果．【解答】解：∵函数，∴f（2+log23）=f（3+log23）===8×3=24．故选：D．【点评】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．8.若不等式x2＋ax＋1≥0对于一切恒成立，则a的最小值是()A．0

B．－2

C．

D．－3参考答案：D略9.为了了解某学校1500名高中男生的身体发育情况，抽查了该校100名高中男生的体重情况．根据所得数据画出样本的频率分布直方图，据此估计该校高中男生体重在70～78kg的人数为(

) A．240 B．210 C．180 D．60参考答案：C考点：频率分布直方图．专题：图表型．分析：利用样本的频率分布直方图的纵坐标乘以组距求出样本的频率；利用样本的频率代替总体的频率；再利用频数等于频率乘以总体的容量求出该校1500名高中男生中体重在70～78kg的人数．解答： 解：由频率分布直方图得到体重在70～78kg的男生的频率为（0.02+0.01）×4=0.12∴该校1500名高中男生中体重在70～78kg的人数大约为0.12×1500=180．故选C．点评：本题考查频率分布直方图中的频率等于纵坐标乘以组距、考查利用样本的频率近似代替总体的频率、考查频数等于频率乘以容量．10.函数图象的一条对称轴是 A．

B．

C．

D．参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知8个非零实数，…，，向量，，对于下列命题：①，…，为等差数列，则存在，使与向量共线；②若，…，为公差不为0的等差数列，，，则集合M中元素有13个；③若，…，为等比数列，则对任意，都有；④若，…，为等比数列，则存在，使；⑤若，则的值中至少有一个不小于0，上述命题正确的是______（填上所有正确命题的序号）参考答案：12.已知抛物线的焦点F，过F的直线与抛物线交于A，B两点，则的最小值是

．参考答案：抛物线的焦点，设，，则，当直线斜率不存在时，，当直线斜率存在时，设直线的方程为，代入得，，，当且仅当时取等号．∴的最小值是．13.记，设，若对一切实数，，恒成立，则实数的取值范围是

．参考答案：.14.已知函数y=2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）．①若f（0）=1，则φ=；②若?x∈R，使f（x+2）﹣f（x）=4成立，则ω的最小值是．参考答案：，

【考点】y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义．【分析】①由已知可得sinφ=，利用正弦函数的图象及特殊角的三角函数值，结合范围|φ|＜，即可得解φ的值．②化简已知等式可得sin（ωx+2ω+φ）﹣sin（ωx+φ）=2，由正弦函数的性质可求ω=（k1﹣k2）π﹣，k1，k2∈Z，结合范围ω＞0，即可得解ω的最小值．【解答】解：①∵由已知可得2sinφ=1，可得：sinφ=，∴可得：φ=2kπ+，或φ=2kπ+，k∈Z，∵|φ|＜，∴当k=0时，φ=．②∵?x∈R，使2sin[ω（x+2）+φ]﹣2sin（ωx+φ）=4成立，即：sin（ωx+2ω+φ）﹣sin（ωx+φ）=2，∴?x∈R，使ωx+2ω+φ=2k1π+，ωx+φ=2k2π+，k∈Z，∴解得：ω=k1π﹣k2π﹣，k1，k2∈Z，又∵ω＞0，|∴ω的最小值是．故答案为：，．【点评】本题主要考查了正弦函数的图象和性质，特殊角的三角函数值的综合应用，考查了数形结合思想的应用，属于中档题．15.已知数列的前项和为，，且当时是与的等差中项，则数列的通项参考答案：16.的内角、、的对边分别为、、，若、、成等比数列，且则

.参考答案：17.执行如图所示的流程图，会输出一列数，则这列数中的第3个数是

．参考答案：30【考点】EF：程序框图．【分析】模拟执行程序，依次写出每次循环得到的A，N的值，即可得解输出一列数中的第3个数．【解答】解：模拟执行程序，可得A=3，N=1，输出3，N=2，满足条件N≤4，A=6，输出6，N=3，满足条件N≤4，A=30，输出30，N=4，满足条件N≤4，A=870，输出870，N=5，不满足条件N≤4，结束．则这列数中的第3个数是30．故答案为：30．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数。（1）当时，求函数的定义域；（2）若关于的不等式的解集是，求的取值范围。参考答案：（1）由题设知：，不等式的解集是以下不等式组解集的并集：，或，或解得函数的定义域为。

（2）不等式即，时，恒有，因为不等式解集是R，所以，因此的取值范围是（－∞，－1]。19.（本题满分13分）已知函数满足对于任意实数，均有成立.（1）求的解析式并求的最小值；（2）证明：….参考答案：（1）依题意得

解之得

当时

当时

∴)在上递减在上递增

∴（2）由（1）得恒成立，则在中令∴1－≤∴∴，∴20.（本小题满分13分）已知函数,，其中R.（Ⅰ）讨论的单调性；（Ⅱ）若在其定义域内为增函数，求正实数的取值范围；（Ⅲ）设函数,当时，若，，总有成立，求实数的取值范围．参考答案：解：（Ⅰ）的定义域为，且，

----------1分①当时，，在上单调递增；

----------2分②当时，由，得；由，得；故在上单调递减，在上单调递增.

------4分（Ⅱ），的定义域为

-------------5分因为在其定义域内为增函数，所以，而，当且仅当时取等号，所以

-------------8分（Ⅲ）当时，，由得或当时，；当时，.所以在上，

------------10分而“，，总有成立”等价于“在上的最大值不小于在上的最大值”而在上的最大值为所以有

-----------------------------12分所以实数的取值范围是------------------------------13分略21.已知数列满足，且，，成等差数列，设．（）求数列，的通项公式．（）求数列的前项和．参考答案：（），∴为等比数列，其公比为．∵，，成等差数列，∴，即，解得：．∴，，故，．（）由，可得的前几项和为．当时，，即；当时，可得：．综上可得，．22.如图，菱形ABCD的边长为6，∠BAD=60°，AC∩BD=O．将菱形ABCD沿对角线AC折起，得到三棱锥B﹣ACD，点M是棱BC的中点，．（Ⅰ）求证：OM∥平面ABD；（Ⅱ）求证：平面ABC⊥平面MDO；（Ⅲ）求三棱锥M﹣ABD的体积．参考答案：【考点】平面与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）根据点O是菱形ABCD的对角线的交点，则O是AC的中点．又点M是棱BC的中点，根据中位线定理可知OM∥AB，而OM?平面ABD，AB?平面ABD，满足线面平行的判定定理；（Ⅱ）根据OM=OD=3，而，则OD⊥OM，根据菱形ABCD的性质可知OD⊥AC，而OM∩AC=O，根据线面垂直的判定定理可得OD⊥平面ABC，OD?平面MDO，满足面面垂直的判定定理，从而证得结论；（Ⅲ）根据三棱锥M﹣ABD的体积等于三棱锥D﹣ABM的体积，由（Ⅱ）知，OD⊥平面ABC，则OD=3为三棱锥D﹣ABM的高，最后根据三棱锥的体积公式解之即可．【解答】（Ⅰ）证明：因为点O是菱形ABCD的对角线的交点，所以O是AC的中点．又点M是棱BC的中点，所以OM是△ABC的中位线，OM∥AB．…因为OM?平面ABD，AB?平面ABD，所以OM∥平面ABD．…（Ⅱ