山西省长治市关村中学2022年高三数学理模拟试卷含解析

山西省长治市关村中学2022年高三数学理模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知数列{an}是公差为2的等差数列，且a1，a2，a5成等比数列，则a2为(

)A．﹣2 B．﹣3 C．2 D．3参考答案：D【考点】等比数列的性质；等差数列的性质．【专题】计算题．【分析】先用a2分别表示出a1和a5，再根据等比中项的性质得a22=a1a5进而求得a2．【解答】解：a1=a2﹣2，a5=a2+6∴a22=a1a5=（a2﹣2）（a2+6），解得a2=3故选D【点评】本题主要考查了等差数列和等比数列的性质．属基础题．2.若，则cos2α+2sin2α=（）A． B．1 C． D．（0，0，1）参考答案：A【考点】三角函数的化简求值．【分析】原式利用同角三角函数间的基本关系变形，将tanα的值代入计算即可求出值．【解答】解：由，得=﹣3，解得tanα=，所以cos2α+2sin2α====．故选A．【点评】此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键．3.若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的体积是A.36cm3 B.48cm3C.60cm3 D.72cm3参考答案：B由三视图可知，上面是个长为4宽为2的长方体，下面是一个发放倒的四棱柱，高为4，底面是个梯形，上下底分别为2,6，高为2.所以长方体的体积为，四棱柱的体积为，所以该几何体的体积为，选B.4.已知等比数列各项都为正数，且为与的等差中项，则（

）A．27

B．21C．14

D．以上都不对参考答案：C试题分析：由题意得，选C.考点：等比数列性质5.已知全集,集合,,则集合(

)

A． B．

C． D.参考答案：【知识点】集合的运算A1C

解析：由题意易知，所以故选C.【思路点拨】先求出，再求出即可。6.已知等比数列的首项为，公比为，给出下列四个有关数列的命题：：如果且，那么数列是递增的等比数列；：如果且，那么数列是递减的等比数列；：如果且，那么数列是递增的等比数列；：如果且，那么数列是递减的等比数列．其中为真命题的个数为A．1

B．2

C．3

D．4参考答案：C7.复数（为虚数单位），则=（

）A.

B.5

C.25

D.参考答案：B8.已知集合U=R，集合A={x|－l≤x≤3}，集合B=|x|log2x<2}，则AB=

A．{x|1≤x≤3}

B．{x|－1≤x≤3}

C．{x|0<x≤3}

D．{x|－1≤x<0}参考答案：C略9.已知为虚数单位，则复数的虚部是A．

B．1

C．

D．参考答案：A原式=，则复数的虚部是.选A.10.已知，向量，向量，且，则的最小值为（

）A.9

B.16 C.18

D.8参考答案：A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知O为坐标原点，，平面上动点N满足，动点N的轨迹为曲线C，设圆M的半径为1，圆心M在直线上，若圆M与曲线C有且仅有一个公共点，则圆心M横坐标的值为

．参考答案：

0或12.已知正四棱锥的侧棱长与底面边长都相等，是的中点，则所成的角的余弦值为

参考答案：13.已知集合A＝{x∈R|x2－x≤0}，函数f(x)＝2－x＋a(x∈A)的值域为B.若B?A，则实数a的取值范围是__________．参考答案：略14.将全体正整数排成一个三角形数阵：按照以上排列的规律，第n行（n≥3）从左向右的第3个数为______________．参考答案：略15.给出以下四个结论：①函数的对称中心是；②若不等式对任意的都成立，则；③已知点在直线两侧，则；④若将函数的图像向右平移（0）个单位后变为偶函数，则的最小值是.其中正确的结论是;___________.参考答案：③④16.已知复数，则

．参考答案：2略17.设f(x)是定义在R上的偶函数，且当时，，若对任意的，不等式恒成立，则实数m的最大值是

．参考答案：

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数f（x）=cos（x﹣），g（x）=ex?f′（x），其中e为自然对数的底数．（Ⅰ）求曲线y=g（x）在点（0，g（0））处的切线方程；（Ⅱ）若对任意x∈[﹣，0]，不等式g（x）≥x?f（x）+m恒成立，求实数m的取值范围；（Ⅲ）试探究当x∈[，]时，方程g（x）=x?f（x）的解的个数，并说明理由．参考答案：考点：利用导数求闭区间上函数的最值；函数的零点与方程根的关系；利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：计算题；函数的性质及应用；导数的概念及应用；导数的综合应用．分析：（Ⅰ）化简f（x）=sinx，g（x）=excosx，g（0）=e0cos0=1；从而由导数的几何意义写出切线方程；（Ⅱ）对任意x∈[﹣，0]，不等式g（x）≥x?f（x）+m恒成立可化为m≤[g（x）﹣x?f（x）]min，x∈[﹣，0]，从而设h（x）=g（x）﹣x?f（x），x∈[﹣，0]，转化为函数的最值问题求解．（Ⅲ）设H（x）=g（x）﹣x?f（x），x∈[，]；从而由函数的单调性及函数零点的判定定理求解函数的零点的个数．解答：解：（Ⅰ）由题意得，f（x）=sinx，g（x）=excosx，g（0）=e0cos0=1；g′（x）=ex（cosx﹣sinx），g′（0）=1；故曲线y=g（x）在点（0，g（0））处的切线方程为y=x+1；

（Ⅱ）对任意x∈[﹣，0]，不等式g（x）≥x?f（x）+m恒成立可化为m≤[g（x）﹣x?f（x）]min，x∈[﹣，0]，设h（x）=g（x）﹣x?f（x），x∈[﹣，0]，则h′（x）=ex（cosx﹣sinx）﹣sinx﹣xcosx=（ex﹣x）cosx﹣（ex+1）sinx，∵x∈[﹣，0]，∴（ex﹣x）cosx≥0，（ex+1）sinx≤0；故h′（x）≥0，故h（x）在[﹣，0]上单调递增，故当x=﹣时，hmin（x）=h（﹣）=﹣；故m≤﹣；

（Ⅲ）设H（x）=g（x）﹣x?f（x），x∈[，]；则当x∈[，]时，H′（x）=ex（cosx﹣sinx）﹣sinx﹣xcosx=（ex﹣x）cosx﹣（ex+1）sinx，由=tanx≥1，=1﹣＜1，即有＞，即有H′（x）＜0，故H（x）在[，]上单调递减，故函数H（x）在[，]上至多有一个零点；又H（）=（﹣）＞0，H（）=﹣＜0；且H（x）在[，]上是连续不断的，故函数H（x）在[，]上有且只有一个零点．点评：本题考查了导数的几何意义的应用及导数的综合应用，同时考查了恒成立问题及函数的最值问题，还考查了零点的个数的判断，属于难题．19.（本小题满分12分）已知函数与函数在点处有公共的切线，设.（I）求的值（Ⅱ）求在区间上的最小值.参考答案：（I）因为所以在函数的图象上又，所以所以

………………3分（Ⅱ）因为，其定义域为

………………5分当时，，所以在上单调递增所以在上最小值为

………………7分当时，令，得到(舍)当时，即时，对恒成立，所以在上单调递增，其最小值为………………9分当时，即时，对成立，所以在上单调递减，其最小值为

………………11分当，即时，对成立，对成立所以在单调递减，在上单调递增其最小值为………12分综上，当时，

在上的最小值为当时，在上的最小值为当时，

在上的最小值为.20.当前，以“立德树人”为目标的课程改革正在有序推进．高中联招对初三毕业学生进行体育测试，是激发学生、家长和学校积极开展体育活动，保证学生健康成长的有效措施．某地区2018年初中毕业生升学体育考试规定，考生必须参加立定跳远、掷实心球、1分钟跳绳三项测试，三项考试满分为50分，其中立定跳远15分，掷实心球15分，1分钟跳绳20分．某学校在初三上期开始时要掌握全年级学生每分钟跳绳的情况，随机抽取了100名学生进行测试，得到右边频率分布直方图，且规定计分规则如下表：每分钟跳绳个数[155，165）[165，175）[175，185）[185，+∞）得分17181920（Ⅰ）现从样本的100名学生中，任意选取2人，求两人得分之和不大于35分的概率；（Ⅱ）若该校初三年级所有学生的跳绳个数X服从正态分布N（μ，σ2），用样本数据的平均值和方差估计总体的期望和方差，已知样本方差S2≈169（各组数据用中点值代替）．根据往年经验，该校初三年级学生经过一年的训练，正式测试时每人每分钟跳绳个数都有明显进步，假设今年正式测试时每人每分钟跳绳个数比初三上学期开始时个数增加10个，现利用所得正态分布模型：（ⅰ）预估全年级恰好有2000名学生时，正式测试每分钟跳182个以上的人数；（结果四舍五入到整数）（ⅱ）若在全年级所有学生中任意选取3人，记正式测试时每分钟跳195个以上的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列和期望．附：若随机变量X服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜X＜μ+σ）＝0.6826，P（μ﹣2σ＜X＜μ+2σ）＝0.9544，P（μ﹣3σ＜X＜μ+3σ）＝0.9974参考答案：解：（Ⅰ）两人得分之和不大于35分，即两人得分均为17分，或两人中1人17分，1人18分，

………………3（Ⅱ）＝160×0.06+170×0.12+180×0.34+190×0.30+200×0.1+210×0.08＝185（个）…………5又σ2≈169，σ＝13，所以正式测试时，μ＝195，σ＝13，∴μ﹣σ＝182．（ⅰ）∴P（ξ＞182）＝1﹣＝0.8413，∴0.8413×2000＝1682.6≈1683．（人）

………………7（ⅱ）由正态分布模型，全年级所有学生中任取1人，每分钟跳绳个数195以上的概率为0.5，即ξ～B（3，0.5），∴P（ξ＝0）＝，P（ξ＝1）＝，P（ξ＝2）＝，P（ξ＝3）＝，………………10∴ξ的分布列为ξ0123P0.1250.3750.3750.125E（ξ）＝3×0.5＝1.5

………………（12分）

21.几何证明选讲如图，已知是的切线，为切点，是的割线，与交于两点，圆心在的内部，点是的中点．（Ⅰ）证明四点共圆；（Ⅱ）求的大小．参考答案：解析】（Ⅰ）证明：连结．因为与相切于点，所以．因为是的弦的中点，所以．于是．由圆心在的内部，可知四边形的对角互补，所以四点共圆．-----------------5分（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得四点共圆，所以．由（Ⅰ）得．由圆心在的内部，可知．所以．------------------10分略22. 某产品的三个质量指标分别为x,y,z,用综合指标S=x+y+z评价该产品的等级.若S≤4,则该产品为一等品.先从一批该产品中,随机抽取10件产品作为样本,其质量指标列表如下