高校(理工类)数学拉格朗日插值公式教学(课堂讲义)

§3.3拉格朗日插值公式

线性插值仅仅利用两个结点上的信息，精度很低。下面考察下述三点插值问题：给定含有三个结点的函数表：作二次多项式y=p2(x)，使y=p2(x)在结点x0，x1，x2分别取函数值y0，y1，y2，即满足条件：p2(x0)=y0，p2(x1)=y1，p2(x2)=y2问题的提出已知y=f(x)在结点x0，x1，x2分别取函数值y0，y1，y2，求二次多项式y=p2(x)=a0+a1x+a2x2，满足条件：p2(x0)=y0，p2(x1)=y1，p2(x2)=y2根据要满足的三个条件，确定三个未知数a0，a1，a2满足，因此可采用待定系数法。即：基本插值多项式为了得到插值多项式y=p2(x)，先解决一个比较简单的插值问题：寻求二次式A0(x)，使满足条件A0(x0)=1，A0(x1)=0，A0(x2)=0或者说，使适合下列函数表这样的插值多项式不难直接构造出来。为避免解线性方程组，下面仿线性插值，用基函数的方法求解方程组。基本插值多项式由条件A0(x1)=A0(x2)=0知，A0(x)含有x–x1和x–x2两个因子，令A0(x)=λ(x–x1)(x–x2)再用条件A0(x0)=1确定其中的系数λ，结果得到：基本插值多项式类似地作出满足条件A1(x0)=0，A1(x1)=1，A1(x2)=0与A2(x0)=0，A2(x1)=0，A2(x2)=1的插值多项式A1(x)与A2(x)：得到的三个插值多项式Ak(x)（k=0,1,2）统称以x0，x1，x2为结点的基本插值多项式。二次插值用这些基本插值多项式作出的线性组合y=y0A0(x)+y1A1(x)+y2A2(x)显然是个不超过2次的多项式，并且满足条件（7），因而即为所求的插值多项式y=p2(x)。基本插值多项式Ak(x)的表达式上面已经导出，代入上式得到：二次插值的几何意义这种二次插值的几何解释是，用通过三点(x0,y0)，(x1,y1)，(x2,y2)所作的抛物线来近似曲线y=f(x)，因此二次插值亦称抛物插值(图3-2)。举例[例3-3-1]利用100，121和144的平方根，求。[解]利用抛物插值公式其中，x0=100，y0=10；x1=121，y1=11；x2=144，y2=12；又x=115，代入求得再同所求平方根的实际值10.7238比较，得到了具有4位有效数字的结果。一般形式的插值问题（n次插值）进一步讨论一般形式的插值问题。设函数y=f(x)在区间[a,b]上有节点x0,x1,…,xn上的函数值，构造一个次数不超过n次的代数多项式使。即n次代数插值满足在n+1个节点上插值多项式和被插值函数f(x)相等，而且插值多项式P(x)的次数不超过n次。一般形式的插值问题（n次插值）仿照线性插值和二次插值所采用的办法，仍从构造所谓基本插值多项式着手。先对某个固定的下标k，作n次多项式Ak(x)，使满足条件：或者说，使适合下列简单形式的函数表：一般形式的插值问题如果对每个下标k(k=0,1,2,…,n)能作出这样的基本插值多项式Ak(x)，那么它们的线性组合：就是所求的插值多项式。事实上，由于Ak(x)都是n次的，pn(x)的次数不会超过n。另外，利用(8)式，得即y=pn(x)确实满足所给条件。一般形式的基本插值多项式于是，问题归结为具体求出基本插值多项式Ak(x)。根据(8)式，xk以外的所有结点都是Ak(x)的零点，因此，令这里符号П的含义是累乘，表示乘积遍取j从0到n除j=k以外的全部正整数值。式中的λ为待定系数。拉格朗日插值公式待定系数λ通过(8)式中尚未用过的一个条件Ak(xk)=1来确定它，结果得：称为拉格朗日基函数，代入(9)式，即得所求插值多项式y=pn(x)的表达式：上式就是所谓拉格朗日（Lagrange）插值公式。拉格朗日插值的实现在给定点x，用插值公式(10)计算y=pn(x)的值作为函数f(x)在x点处的近似值，这个过程称作插值。插值多项式的次数称作插值的阶。点x称作插值点。如果插值点x位于插值区间内，这种插值过程称内插，否则称作外推。拉格朗日公式(10)在逻辑结构上表现为二重循环。内循环(j循环)由累乘求得系数：然后再通过外循环(k循环)由累加得到结果：拉格朗日插值对于拉格朗日插值公式，特别地,当n=1时又叫线性插值,其几何意义为过两点的直线.当n=2时又叫抛物插值,其几何意义为过三点的抛物线.应注意,对于插值节点,只要求它们互异,与大小次序无关。拉格朗日插值多项式的唯一性[证]：设所求的插值多项式为：pn(x)=a0+a1x+a2x2+...+anxn则由插值条件式Pn(xi)=yi(i=0,1,...,n)可得关于系数a0,a1,…,an的线性代数方程组

设节点xi(i=0,1,…,n)互异,则满足插值条件pn(xi)=yi的n次多项式pn(x)=a0+a1x+a2x2+...+anxn存在且唯一。定理拉格朗日插值多项式的唯一性

此方程组有n+1个方程,n+1个未知数,其系数行列式是范德蒙行列式，即：拉格朗日插值多项式的唯一性拉格朗日插值多项式的唯一性由于插值节点

xi互不相同,所有因子

xj-xi0,所以上述行列式不等于零,故由克莱姆法则知方程组的解存在且唯一.即满足条件式

的n次多项式存在且唯一。证毕。拉格朗日插值多项式的唯一性反证：若不唯一，则除了Pn(x)外还有另一n

阶多项式Q(x)满足Q(xi)=yi

。考察