山西省运城市盐化中学东校2022年高三数学理上学期期末试题含解析

山西省运城市盐化中学东校2022年高三数学理上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设定义在R上的函数满足任意都有，且时，，则，，的大小关系是（

）A．

B．C.

D．参考答案：A函数f（x）满足f（t+2）=，可得f（t+4）==f（t），∴f（x）是周期为4的函数．6f（2017）=6f（1），3f（2018）=3f（2），2f（2019）=2f（3）．令g（x）=，x∈（0，4]，则g′（x）=，∵x∈（0，4]时，，∴g′（x）＞0，g（x）在（0，4]递增，∴f（1）＜＜，可得：6f（1）＜3f（2）＜2f（3），即6f（2017）＜3f（2018）＜2f（2019）．故答案为：A

2.在1,2,3,6这组数据中随机取出三个数，则数字2是这三个不同数字的平均数的概率是()A.

B.

C.

D.参考答案：A在1,2,3,6这组数据中随机取出三个数，基本事件总数(1,2,3),(1,2,6),(1,3,6),(2,3,6)共4个，则数字2是这三个不同数字的平均数所包含的基本事件只有(1,2,3)1个.因此，数字2是这三个不同数字的平均数的概率是.故选A.3.若复数z=，其中i为虚数单位，则=（）A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i参考答案：B【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】根据复数的四则运算先求出z，然后根据共轭复数的定义进行求解即可．【解答】解：∵z===1+i，∴=1﹣i，故选：B4.若将函数的图象向右平移个单位，所得图象关于y轴对称，则的最小正值是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C因为，所以将向右平移个单位得到，其图像关于y轴对称，所以的最小正值是．考点：三角函数图像的特点．5.方程的根的个数为（

）A．3个 B．2个 C．1个 D．0个参考答案：C略6.某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组一次为[20，40），[40，60），[60，80），[80，100）．若低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是（）A．45 B．50 C．55 D．60参考答案：B【考点】频率分布直方图．【分析】由已知中的频率分布直方图，我们可以求出成绩低于60分的频率，结合已知中的低于60分的人数是15人，结合频数=频率×总体容量，即可得到总体容量．【解答】解：∵成绩低于60分有第一、二组数据，在频率分布直方图中，对应矩形的高分别为0.005，0.01，每组数据的组距为20，则成绩低于60分的频率P=（0.005+0.010）×20=0.3，又∵低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是=50．故选：B．7.下列结论错误的是（

）A．命题：“若，则”的逆命题是假命题；B．若函数可导，则是为函数极值点的必要不充分条件；C．向量的夹角为钝角的充要条件是；D．命题：“，”的否定是“，”．参考答案：C8.已知函数，在下列区间中，包含的零点的区间是()A．(0，1)

B．(1，2)C．(2，4)

D．(4，＋∞)参考答案：C略9.等差数列{an}中，已知a1=2，a3+a5=10，则a7等于（）A．5 B．6 C．8 D．10参考答案：C【考点】84：等差数列的通项公式．【分析】根据题意和等差数列的性质得到：a1+a7=a3+a5，代入数据求出a7的值．【解答】解：∵等差数列{an}中，a1=2，a3+a5=10，∴由等差数列的性质得，a1+a7=a3+a5=10，解得a7=8，故选：C．10.已知实数a，b满足2a=3，3b=2，则函数f（x）=ax+x﹣b的零点所在的区间是（）A．（﹣2，﹣1） B．（﹣1，0） C．（0，1） D．（1，2）参考答案：B【考点】函数的零点；指数函数的图象与性质．【分析】根据对数，指数的转化得出f（x）=（log23）x+x﹣log32单调递增，根据函数的零点判定定理得出f（0）=1﹣log32＞0，f（﹣1）=log32﹣1﹣log32=﹣1＜0，判定即可．【解答】解：∵实数a，b满足2a=3，3b=2，∴a=log23＞1，0＜b=log32＜1，∵函数f（x）=ax+x﹣b，∴f（x）=（log23）x+x﹣log32单调递增，∵f（0）=1﹣log32＞0f（﹣1）=log32﹣1﹣log32=﹣1＜0，∴根据函数的零点判定定理得出函数f（x）=ax+x﹣b的零点所在的区间（﹣1，0），故选：B．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.函数y＝asinx－bcosx的一个对称轴方程为x＝，则直线ax－by＋c＝0的倾斜角为________．参考答案：13512.设△ABC中，acosC，bcosB，ccosA成等差数列，则∠B=_________．参考答案：13.已知函数，则函数的图像在处的切线方程是

．参考答案：14.已知，则=

▲．参考答案：215.如图，半径为2的⊙O中，∠AOB=90°，D为OB的中点，AD的延长线交⊙O于点E，则线段DE的长为．参考答案：【考点】NC：与圆有关的比例线段．【分析】延长BO交⊙O与点C，我们根据已知中⊙O的半径为2，∠AOB=90°，D为OB的中点，我们易得，代入相交弦定理，我们即可求出线段DE的长．【解答】解：延长BO交⊙O与点C，由题设知：，又由相交弦定理知AD?DE=BD?DC，得故答案为：16.设为单位向量，的夹角为60°，则的最大值为．参考答案：1+【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据题意，=（1，0），=（，），=（cosα，sinα），利用三角恒等变换和平面向量的数量积，即可求出最大值．【解答】解：由题意||=||=||=1，、的夹角θ=60°，设=（1，0），=（，），=（cosα，sinα），∴（++）?=?+?+c2=cosα+cosα+sinα+1=cosα+sinα+1=sin（α+）+1≤+1；∴当α=2kπ+，k∈Z，时取得最大值1+．故答案为：．17.依此类推，第个等式为.参考答案：2n×1×3×……(2n-1)=(n+1)·…(2n-1)·2n三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.春季气温逐渐攀升，病菌滋生传播快，为了确保安全开学，学校按30名学生一批，组织学生进行某种传染病毒的筛查，学生先到医务室进行血检，检呈阳性者需到防疫部门]做进一步检测．学校综合考虑了组织管理、医学检验能力等多万面的因素，根据经验，采用分组检测法可有效减少工作量，具体操作如下：将待检学生随机等分成若干组，先将每组的血样混在一起化验，若结果呈阴性，则可断定本组血样合格，不必再做进一步的检测；若结果呈阳性，则本组中的每名学生再逐个进行检测．现有两个分组方案：方案一：将30人分成5组，每组6人；方案二：将30人分成6组，每组5人．已知随机抽一人血检呈阳性的概率为0．5%，且每个人血检是否呈阳性相互独立．（Ⅰ）请帮学校计算一下哪一个分组方案的工作量较少？（Ⅱ）已知该传染疾病的患病率为0．45%，且患该传染疾病者血检呈阳性的概率为99．9%，若检测中有一人血检呈阳性，求其确实患该传染疾病的概率．（参考数据：（，）参考答案：（Ⅰ）方案一工作量更少．（Ⅱ）0.8991【分析】（Ⅰ）设方案一中每组的化验次数为X，则X的取值为1、7，分别求出相应的概率，求出，从而方案一的化验总次数的期望值为：次．设方案二中每组的化验次数为Y，则Y的取值为1、6，分别求出相应的概率，求出．从而方案二的化验总次数的期望为次．由此能求出方案一工作量更少．（Ⅱ）设事件A：血检呈阳性，事件B：患疾病，由题意得，，，由此利用条件概率能求出该职工确实患该疾病的概率．【详解】解：（1）设方案一中每组的化验次数为X，则X的取值为1，7，，∴X的分布列为：X17P0．9700．030

．故方案一的化验总次数的期望值为：次．设方案二中每组的化验次数为Y，则Y的取值为1，6，，，∴Y的分布列为：Y16P0．9750．025

．∴方案二的化验总次数的期望为次．∵，∴方案一工作量更少．（2）设事件A：血检呈阳性，事件B：患疾病，则由题意得，，，由条件概率公式可得，∴该职工确实患该疾病的概率．【点睛】本题考查了概率与数学期望的问题，解题的关键是熟记公式；本题还考查了条件概率的知识.19.设二次函数f（x）=x2﹣ax+2（x∈R，a＜0），关于x的不等式f（x）≤0的解集有且只有一个元素．（1）设数列{an}的前n项和Sn=f（n）（n∈N*），求数列{an}的通项公式；（2）记bn=（n∈N*），则数列{bn}中是否存在不同的三项能组成等比数列？请说明理由．参考答案：考点：数列的应用；二次函数的性质．分析：（1）由题设条件知a2﹣4×2=0?a=﹣2，故f（x）=（x+）2．an=Sn﹣Sn﹣1=2n+2﹣1，所以an=．

（2）求出数列{bn}的通项，假设数列{bn}中存在不同的三项构成等比数列，利用等比数列的性质，建立等式，即可得出结论．解答： 解：（1）∵关于x的不等式f（x）≤0的解集有且只有一个元素，∴二次函数f（x）=x2﹣ax+2（x∈R，a＜0）的图象与x轴相切，则△=（﹣a）2﹣4×2=0，∵a＜0，∴a=﹣2．∴f（x）=x2+2x+2=（x+）2，∴数列{an}的前n项和Sn=（n+）2（n∈N*）．

于是，当n≥2，n∈N*时，an=Sn﹣Sn﹣1=（n+）2﹣[（n﹣1）+]2=2n+2﹣1，当n=1时，a1=S1=（1+）2=3+2，不适合上式．所以数列{an}的通项公式为an=．

（2）由（1）知，Sn=n2+2n+2（n∈N*）．

∵bn=，∴bn===n+2．假设数列{bn}中存在三项bp，bq，br（正整数p，q，r互不相等）成等比数列，则bq2=bp?br，即（q+2）2=（p+2）（r+2），整理，得（pr﹣q）2+2（p+r﹣2q）=0．

因为p，q，r都是正整数，所以，于是pr﹣（）2=0，即（p﹣r）2=0，从而p=r与p≠r矛盾．故数列{bn}中不存在不同的三项能组成等比数列．点评：本题主要考查数列通项公式的求解及等比数列性质的研究．第（1）问由不等式f（x）≤0的解集有且只有一个元素，得到Sn=f（n），然后由此求出数列{an}的通项公式，由Sn求通项an时注意检验初始项a1是否满足；第（2）问判断数列{bn}中是否存在不同的三项能组成等比数列，基本方法是先假设它们成等比数列，再证明问题是否有解．20.已知函数.（1）若函数有两个不同的零点，求实数的取值范围；（2）求当时，恒成立的的取值范围，并证明.参考答案：(1)f(x)有两个零点，x2-alnx=0在（0，+）上有两实根，显然a=,令g(x)=,g/(x)=,令g/(x)=0，x∴g(x)在（0，）单调递增，在（，+）单调递减，又g()=,x>1时g(x)>0.且g(x)0∴=有两根须0<<,∴ae

（2）x2-alnx0恒成立，即x2>2alnx对x>1恒成立.当a时，显然满足。当a>时,>,由（1）知，(g(x))MAX=,,∴0＜a＜e综上x2-alnx0对x>1恒成立的a的范围为a＜e

令a=2，则x2-2lnx0对x>1恒成立，即lnx<x2,令x=,k=2,3,4,…，nlnk<k,ln2,ln3,ln4,…，lnn<n,∴ln2+ln3+ln4+…+lnn<=

21.在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（θ为参数），（Ⅰ）以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求曲线C的极坐标方程；（Ⅱ）直线l的方程为=，求直线l被曲线C截得的弦长．参考答案：【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（Ⅰ）求出曲线C的普通方程，即可求曲线C的极坐标方程；（Ⅱ）直线l的方程为=，则x+y=1代入（x﹣3）2+y2=4解得y=0和y=﹣2，即可求直线l被曲线C截得的弦长．【解答】解：（Ⅰ）曲线C的普通方程为（x﹣3）2+y2=4，即x2+y2﹣6x+5=0，…（2分）将x=ρcosθ，y=ρsinθ代入，得曲线C的极坐标方程是ρ2﹣6ρcosθ+5=0．…（Ⅱ）曲线l的方程ρsinθ+ρcosθ=1，则x+y=1，…（7分）将x=1﹣y代入（x﹣3）2+y2=4解得y=0和y=﹣2，即交点A（1，0），B（3，﹣2），弦长为|AB|=2．…（10分）【点评】本题考查三种方程的互化，考查直线与圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．22.如图，平面四边形ABCD中，AB=AD=CD=1，，将其沿对角线BD折成四面体A′﹣BCD，使平面A′BD⊥平面BCD，若四面体A′﹣BCD顶点在同一个球面上，则该球