山西省运城市北景中学2022年高三数学理月考试卷含解析

山西省运城市北景中学2022年高三数学理月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.甲、乙两位同学在5次考试中的数学成绩用茎叶图表示如图，中间一列的数字表示数学成绩的十位数字，两边的数字表示数学成绩的个位数字．若甲、乙两人的平均成绩分别是、，则下列说法正确的是（）A．＜，甲比乙成绩稳定 B．＜，乙比甲成绩稳定C．＞，甲比乙成绩稳定 D．＞，乙比甲成绩稳定参考答案：B考点：茎叶图；众数、中位数、平均数．专题：概率与统计．分析：由茎叶图可得原式数据，可得各自的平均值和方差，比较可得结论．解答：解：由题意可知甲的成绩为：72，77，78，86，92，乙的成绩为：78，88，88，90，91，∴=（72+77+78+86+92）=81，=（78+88+88+90+91）=87，=[（72﹣81）2+（77﹣81）2+（78﹣81）2+（86﹣81）2+（92﹣81）2]≈7.94，=[（78﹣87）2+（88﹣87）2+（88﹣87）2+（90﹣87）2+（91﹣87）2]≈5.20，∴＜，且＜，乙比甲成绩稳定．故选：B点评：本题考查茎叶图，考查平均值和方差，属基础题2.下列函数中，在区间上是增函数的是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D略3.已知随机变量服从正态分布N(M,4)，且P(＜)+P(≤0)=1，则M=（

）

A.

B.2

C.1

D.参考答案：D4.边长为的三角形的最大角与最小角的和是（）

A．B．C．D．

参考答案：B边7对角为，则由余弦定理可知，所以，所以最大角与最小角的和为，选B.5.记，则的值为A.1 B.2 C.129 D.2188参考答案：C【详解】中，令，得.∵展开式中∴故选C.点睛：二项式通项与展开式的应用：(1)通项的应用：利用二项展开式的通项可求指定项或指定项的系数等.(2)展开式的应用：①可求解与二项式系数有关的求值，常采用赋值法.②可证明整除问题(或求余数).关键是要合理地构造二项式，并将它展开进行分析判断.③有关组合式的求值证明，常采用构造法.6.如图所示，在边长为1的正方形中任取一点，则点恰好取自阴影部分的概率为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C7.在函数，，，偶函数的个数是（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：B，是奇函数,和是偶函数，是非奇非偶函数8.和直线轴对称的直线方程为

（

）

A．

B．

C．

D．

参考答案：A9.设双曲线的离心率，右焦点，方程的两个根分别为，，则点在

A．圆内

B．圆上C．圆外

D．以上三种情况都有可能参考答案：A10.命题“，≥恒成立”的否定是（

）A．，<恒成立；

B．，≤恒成立；C．，≥成立；

D．，<恒成立.参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.执行右面的框图，若输出结果为，则输入的实数的值是

参考答案：12.在△ABC中，AB=BC=2，AC=3，设O是△ABC的内心，若=p+q，则的值为．参考答案：【考点】9H：平面向量的基本定理及其意义．【分析】在两边分别同乘以向量，从而得到，．画出图形并取AC边的中点D，O在BD上，所以，由余弦定理可求得cos∠BAC=，这样进行数量积的计算即可得到关于p，q的两个方程，解方程组即可求出p，q，从而求出．【解答】解：如图，O为△ABC的内心，D为AC中点，则：O在线段BD上；cos∠DAO=，根据余弦定理：cos∠BAC=；由得：；∴=；∴①；同理；∴可以得到②；∴①②联立可求得；∴．故答案为：．13.如果随机变量，且，则＝

．参考答案：根据对称性可知，所以。14.若有穷数列满足，就称该数列为“相邻等和数列”，已知各项都为正整数的数列{an}是项数为8的“相邻等和数列”，且，则满足条件的数列{an}有

个．参考答案：4设，由题意知，，，.∵数列各项都为正整数，∴，则满足条件的数列有4个.15.已知是抛物线的焦点，过且斜率为的直线交于两点．设<,若，则λ的值为

．参考答案：16.

（1）若函数f（x）与g（x）的图像在x=x0处的切线平行，求x0的值

（2）当曲线有公共切线时，求函数上的最值

（3）求证：当m＞－2时，对一切正整数n，不等式f（x）＞g（x）在区间[n，n＋1]上恒成立

参考答案：解：（1），，则，即解得，或（舍去）（2）由（1）得切点横坐标为，∴，∴∴，，令，则－0＋↘极小值↗与的变化如下表

又∵，，∴，（3）函数＝－在区间上是增函数，且，∴当x≥1时，≥即＞在区间[1，＋∞）上恒成立∴原命题成立．17.在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数，a∈R），曲线C的参数方程为（α为参数），设直线l与曲线C交于A、B两点，当弦长|AB|最短时，直线l的普通方程为

．参考答案：x+y﹣4=0【考点】直线的参数方程．【分析】普通方程为y﹣1=a（x﹣3），过定点P（3，1），当弦长|AB|最短时，CP⊥AB，求出CP的斜率，可得AB的斜率，即可得出结论．【解答】解：直线l的参数方程为，普通方程为y﹣1=a（x﹣3），过定点P（3，1）曲线C的参数方程为（α为参数），普通方程为（x﹣2）2+y2=4，当弦长|AB|最短时，CP⊥AB，∵kCP==1，kAB=﹣1∴直线l的普通方程为x+y﹣4=0，故答案为：x+y﹣4=0．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.某公司准备将1000万元资金投入到市环保工程建设中，现有甲、乙两个建设项目选择，若投资甲项目一年后可获得的利润ξ1（万元）的概率分布列如表所示：ξ1110120170Pm0.4n且ξ1的期望E（ξ1）=120；若投资乙项目一年后可获得的利润ξ2（万元）与该项目建设材料的成本有关，在生产的过程中，公司将根据成本情况决定是否在第二和第三季度进行产品的价格调整，两次调整相互独立且调整的概率分别为p（0＜p＜1）和1﹣p．若乙项目产品价格一年内调整次数X（次数）与ξ2的关系如表所示：X012ξ241.2117.6204.0（Ⅰ）求m，n的值；（Ⅱ）求ξ2的分布列；（Ⅲ）若该公司投资乙项目一年后能获得较多的利润，求p的取值范围．参考答案：【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）由离散型随机变量的分布列及数学期望的性质列出方程组，能求出m，n的值．（Ⅱ）ξ2的可能取值为41.2，117.6，204，分虽求出相应的概率，由此能求出ξ2的分布列．（Ⅲ）求出可得E（ξ2），由于该公司投资乙项目一年后能获得较多的利润，从而E（ξ2）＞E（ξ1），由此能求出p的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由题意得，解得m=0.5，n=0.1．（Ⅱ）ξ2的可能取值为41.2，117.6，204，P（ξ2=41.2）=（1﹣p）[1﹣（1﹣p）]=p（1﹣p），，P（ξ2=204）=p（1﹣p），所以ξ2的分布列为：ξ241.2117.6204Pp（1﹣p）p2+（1﹣p）2p（1﹣p）（Ⅲ）由（Ⅱ）可得，由于该公司投资乙项目一年后能获得较多的利润，所以E（ξ2）＞E（ξ1），所以﹣10p2+10p+117.6＞120，解得0.4＜p＜0.6，所以p的取值范围是（0.4，0.6）．19.（12分）某企业投资甲、乙两个项目的利润率分别为随机变量和．根据市场调查，和的分布列分别为5%10%2%8%12%P0.80.2P0.20.50.3（1）在甲、乙两个项目上各投资100万元，和分别表示投资项目甲和乙所获得的利润，求方差，；

（2）将万元投资甲项目，万元投资乙项目，表示投资甲项目所得利润的方差与投资乙项目所得利润的方差的和．求的最小值．（注：）参考答案：解析：（1）由题设可知和的分布列分别为

-510P0.80.2

-2812P0.20.50.3

，，，．

6分（2），当时，为最小值．

12分20.已知函数f（x）=lnx，g（x）=f（x）+ax2﹣3x，函数g（x）的图象在点（1，g（1））处的切线平行于x轴．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）求函数g（x）的极小值；（III）设斜率为k的直线与函数f（x）的图象交于两A（x1，y1），B（x2，y2），（x1＜x2），证明：＜k＜．参考答案：【考点】6D：利用导数研究函数的极值；6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）求出函数g（x）的导数，根据切线方程求出a的值即可；（Ⅱ）求出g（x）的导数，得到函数g（x）的导数，从而求出函数g（x）的极小值即可；（Ⅲ）法一：表示出k，问题转化为即证，令（t＞1），即证（t＞1），令k（t）=lnt﹣t+1（t＞1），根据函数的单调性证明即可；法二：依题意得，令h（x）=lnx﹣kx，根据函数的单调性证明即可．【解答】解：（Ⅰ）依题意得g（x）=lnx+ax2﹣3x，则由函数g（x）的图象在点（1，g（1））处的切线平行于x轴得：g'（1）=1+2a﹣3=0∴a=1（4分）（Ⅱ）由（Ⅰ）得=∵函数g（x）的定义域为（0，+∞），令g'（x）=0得或x=1函数g（x）在上单调递增，在单调递减；在（1，+∞）上单调递增，故函数g（x）的极小值为g（1）=﹣2（8分）（III）证法一：依题意得，要证，即证因x2﹣x1＞0，即证令（t＞1），即证（t＞1）（9分）令k（t）=lnt﹣t+1（t＞1）则∴k（t）在（1，+∞）上单调递减，（10分）∴k（t）＜k（1）=0即lnt﹣t+1＜0，∴lnt＜t﹣1﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣①令（t＞1）则＞0∴h（t）在（1，+∞）上单调递增，（11分）∴h（t）＞h（1）=0，即（t＞1）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣②综①②得（t＞1），即．（12分）证法二：依题意得，令h（x）=lnx﹣kx，则，由h'（x）=0得，当时，h'（x）＜0，当时，h'（x）＞0，∴h（x）在单调递增，在单调递减，又h（x1）=h（x2），∴，即（12分）【点评】本题考查了函数的单调性问题、考查导数的应用以及分类讨论思想，考查不等式的证明，是一道综合题．21.（本小题满分16分）已知函数，.（1）若函数有三个极值点，求的取值范围；（2）若依次在处取到极值，且，求的零点；（3）若存在实数，使对任意的，不等式恒成立，试求正整数的最大值.参考答案：（1）①∵有3个极值点，∴有3个不同的根，

--------2分令，则，从而函数在，上递增，在上递减.∵有3个零点，∴，∴.

-----------------4分（2）是的三个极值点∴----6分∴，∴或（舍∵）∴，

所以，的零点分别为，1，.

-------------------10分（3）不等式，等价于，即.转化为存在实数，使对任意的，不等式恒成立.即不等式在上恒成立.即不等式