山西省朔州市平朔中学2021-2022学年高一数学理下学期期末试题含解析

山西省朔州市平朔中学2021-2022学年高一数学理下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知函数f(x)=2sinωx

(ω>0)在区间[]上的最小值是-2，则ω的最小值等于（

）A.

B.

C.2

D.3参考答案：B略2.给出下列结论：①=±2；②y=x2+1，x∈[﹣1，2]，y的值域是[2，5]；③幂函数图象一定不过第四象限；④函数f（x）=ax+1﹣2（a＞0，a≠1）的图象过定点（﹣1，﹣1）；⑤若lna＜1成立，则a的取值范围是（﹣∞，e）．其中正确的序号是（）A．①② B．③④ C．①④ D．③④⑤参考答案：B【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域．【分析】由根式的化简判断①，根据二次函数的性质判断②，由幂函数的性质判断③，由a0=1和指数函数的判断④，由对数函数的性质判断⑤．【解答】解：：①=|﹣2|=2，①不正确；②y=x2+1，x∈[﹣1，2]，y的值域是[1，5]，②不正确；③由幂函数知：幂函数图象一定不过第四象限，③正确；④令x+1=0得x=﹣1，且y=﹣1，即f（x）=ax+1﹣2的图象过定点（﹣1，﹣1），④正确；⑤由lna＜1得0＜a＜e，即a的取值范围是（0，e），⑤不正确，正确的命题是③④，故选：B．3.若成等比数列，是的等差中项，是的等差中项，则的值为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C4.在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且满足，若点O是△ABC外一点，，则四边形OACB的面积的最大值为（）A. B. C.12 D.参考答案：A【分析】由诱导公式、两角和的余弦公式化简已知的式子，由内角的范围、商的关系、特殊角的三角函数值求出B，结合条件判断出△ABC为等边三角形，设∠AOB＝θ，求出θ的范围，利用三角形的面积公式与余弦定理，表示出得SOACB，利用辅助角公式化简，由θ的范围和正弦函数的性质求出平面四边形OACB面积的最大值．【详解】∵，，∴，化简得，∵为三角形内角，，∴，∴由得，，又∵，∴为等边三角形；设，则，∴，∵，∴，∴当，即时，取得最大值1，∴平面四边形面积的最大值为．故选：A．【点睛】本题考查三角函数中的恒等变换中的公式，余弦定理的应用，考查化简、变形及运算能力，属于中档题．5.已知偶函数的定义域为R，且在上是增函数，则与的大小关系是（

）≤

≥

参考答案：B6.若直角坐标平面内的两个不同的点M、N满足条件①M、N都在函数y=f（x）的图象上；②M、N关于原点对称．则称点对[M，N]为函数y=f（x）的一对“友好点对”（注：点对[M，N]与[N，M]为同一“友好点对”）．已知函数f（x）=，此函数的“友好点对”有（）A．0对 B．1对 C．2对 D．3对参考答案：C【考点】进行简单的合情推理．【专题】新定义．【分析】根据题意：“友好点对”，可知，欲求f（x）的“友好点对”，只须作出函数y=﹣x2﹣4x（x≤0）的图象关于原点对称的图象，看它与函数f（x）=log3x（x＞0）交点个数即可．【解答】解：根据题意：当x＞0时，﹣x＜0，则f（﹣x）=﹣（﹣x）2﹣4（﹣x）=﹣x2+4x，则函数y=﹣x2﹣4x（x≤0）的图象关于原点对称的函数是y=x2﹣4x（x≥0）由题意知，作出函数y=x2﹣4x（x≥0）的图象及函数f（x）=log3x（x＞0）的图象如下图所示由图可得两个函数图象共有两个交点即f（x）的“友好点对”有：2个．故选：C．【点评】本题主要考查了奇偶函数图象的对称性，以及数形结合的思想，解答的关键在于对“友好点对”的正确理解，合理地利用图象法解决．7.已知向量，.若，则x的值为（

）A．－2

B．

C．

D．2参考答案：D向量，，因为，可得，解得，故选D.

8.在△ABC中，是它的三条边，若，则△ABC是直角三角形，然而，若，则△ABC是锐角三角形，若，则△ABC是（

）A．锐角三角形

B．直角三角形

C．钝角三角形

D．由的值确定参考答案：A略9.两条异面直线在平面上的投影不可能是

A、两个点

B、两条平行直线

C、一点和一条直线

D、两条相交直线参考答案：A10.函数的图象是下列图象中的(

)参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知某几何体的三视图如图所示，其正视图与侧视图都是边长为2的等边三角形，则该几何体的体积等于

.参考答案：12.函数的单调递减区间为

.参考答案：(－∞,－1)

13.若函数（>0且≠1）的值域为，则实数的取值范围是________________.参考答案：或14.在△ABC中，已知角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，，若△ABC有两解，则x的取值范围是__________．参考答案：【分析】利用正弦定理得到，再根据有两解得到，计算得到答案.【详解】由正弦定理得：若△ABC有两解：故答案为【点睛】本题考查了正弦定理，△ABC有两解，意在考查学生的计算能力.15.数列中,,且(,),则这个数列的______________.参考答案：略16.已知=（4，2），则与垂直的单位向量的坐标为．参考答案：或．【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系．【分析】设出与垂直的单位向量的坐标，由题意列方程组，求解后即可得到答案．【解答】解：设与垂直的单位向量．则，解得或．故答案为或．17.奇函数在区间上是增函数，在区间上的最大值为，最小值为，则__________。参考答案：在区间上也为递增函数，即

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.因发生意外交通事故,一辆货车上的某种液体泄漏到一鱼塘中.为了治污,根据环保部门的建议,现决定在鱼塘中投放一种可与污染液体发生化学反应的药剂.已知每投放,且个单位的药剂,它在水中释放的浓度(克/升)随着时间(天)变化的函数关系式近似为,其中.若多次投放,则某一时刻水中的药剂浓度为每次投放的药剂在相应时刻所释放的浓度之和.根据经验,当水中药剂的浓度不低于4(克/升)时,它才能起到有效治污的作用.（Ⅰ）若一次投放4个单位的药剂,则有效治污时间可达几天?（Ⅱ）若第一次投放2个单位的药剂,6天后再投放个单位的药剂,要使接下来的4天中能够持续有效治污,试求的最小值(精确到0.1,参考数据:取1.4).参考答案：解：（Ⅰ）因为,所以则当时,由,解得,所以此时当时,由,解得,所以此时综合,得,若一次投放4个单位的制剂,则有效治污时间可达8天（Ⅱ）当时,==,,则，而,所以,用定义证明出：故当且仅当时,有最小值为令,解得,所以的最小值为略19.如图，在正方体中，分别为棱的中点（I）判定四点是否在同一平面上？若在同一平面上，请加以证明，若不在同一平面上，请说明理由。（II）已知正方体的棱长为2，沿平面截去三棱锥，（i）求余下几何体的体积；（ii）求余下几何体的表面积.参考答案：解：（I）答：D，，Ｅ，Ｆ四点在同一个平面上....................................................(1分）证明：连结，由分别为棱的中点，所以,又由正方体知AB1ⅡDC1,由平行公理得EFⅡDC1,因此，D，，Ｅ，Ｆ四点在同一个平面上.........(4分）（II）（i）由三棱锥的体积.....................................(6分）所以，余下几何体的体积V.正方体－=...................................................(8分）(ii)依题意可得在Δ中，过作垂直于EF，垂足为H，则，所以Δ的面积.........................(10分）余下几何体的表面积S=.........................................(12分）略20.已知函数.（1）求函数的定义域；（2）判断的奇偶性并证明你的结论；（3）试讨论的单调性.参考答案：解：（1）依题意得，解得﹣1＜x＜1，且x≠0，即定义域为.

4分（2）函数f(x)是奇函数.证明如下：易知定义域关于原点对称，又对定义域内的任意有即，故函数f(x)是奇函数．

8分（3）由（2）知要判断其单调性只需要确定在上的单调性即可.设是区间上的任意两个实数，且.∴=.∵0＜x＜x＜1，∴，由得，，即.∴在上为减函数;同理，可证在上也为减函数.12分21.如图，有一块矩形草地，要在这块草地上开辟一个内接四边形建体育设施（图中阴影部分），使其四个顶点分别落在矩形的四条边上，已知AB＝a（a>2），BC＝2，且AE＝AH＝CF＝CG，设AE＝x，阴影部分面积为y.（1）求y关于x的函数关系式，并指出这个函数的定义域；（2）当x为何值时，阴影部分面积最大？最大值是多少？参考答案：∴y＝－2x2＋(a＋2)x，函数的定义域为

（2）对称轴为x=，又因为a>2,所以当1＜，即2＜a<6时，则x＝时，y取最大值。当≥2，即a≥6时，y＝－2x2＋(a＋2)x，在0，2]上是增函数，则x＝2时，y取最大值2a－4.

综上所述：当2＜a<6时，x＝时，阴影部分面积最大值是；当a≥6时，x＝2时，阴影部分面积最大值是2a－4.略22.已知数列{an}为单调递增数列，，其前n项和为Sn，且满足.（1）求数列{an}的通项公式；（2）若数列，其前n项和为Tn，若成立，求n的最小值.参考答案：（1）；（2）10试题分析：（1）先根据和项与通项关系得项之间递推关系，再根据等差数列定义及其通项公式得数列的通项公式；（2）先根据裂项相消法求，再解不等式得，即得的最小值.试题解析：（1