2021-2022学年陕西省西安市高新高一年级上册学期期末数学试题【含答案】

2021-2022学年陕西省西安市高新第一中学高一上学期期末数学试题一、单选题1．下列能正确表示集合和关系的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】求出集合N，再求出即可得答案.【详解】解：，故，故选：A2．若，是第二象限的角，则的值等于（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先求得，然后求得.【详解】由于，是第二象限的角，所以，所以.故选：C3．已知向量＝(3，1)，＝(2，λ)(λ∈R)，若⊥，则(

)A．5 B． C． D．10【答案】B【分析】向量垂直，它们数量积为零，求出λ即可计算.【详解】依题意，即，解得，则＝(2，－6)，，故．故选：B.4．三个数a＝0.42，b＝log20.3，c＝20.6之间的大小关系是（

）A．a＜c＜b B．a＜b＜c C．b＜a＜c D．b＜c＜a【答案】C【分析】根据指数函数、对数函数的单调性得0＜a＜1，b＜0，c＞1，由此可判断得选项.【详解】解：∵0＜0.42＜0.40＝1，∴0＜a＜1，∵log20.3＜log21＝0，∴b＜0，∵20.6＞20＝1，∴c＞1，∴b＜a＜c，故选：C．5．已知点是直线与单位圆在第一象限内的交点，设，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据同角三角函数基本关系可得，，解方程可得的值，再由余弦的二倍角公式即可求解.【详解】由题意可得且，则，解得：，所以，故选：A.6．在△中，为边上的中线，为的中点，则A． B．C． D．【答案】A【分析】分析：首先将图画出来，接着应用三角形中线向量的特征，求得，之后应用向量的加法运算法则-------三角形法则，得到，之后将其合并，得到，下一步应用相反向量，求得，从而求得结果.【详解】根据向量的运算法则，可得，所以，故选A.【点睛】该题考查的是有关平面向量基本定理的有关问题，涉及到的知识点有三角形的中线向量、向量加法的三角形法则、共线向量的表示以及相反向量的问题，在解题的过程中，需要认真对待每一步运算.7．已知函数是偶函数，则在上的值域是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】化简可得，根据函数为偶函数可得，再利用余弦函数的性质可求出值域.【详解】因为函数为偶函数，所以.又∵，∴，即.因为，∴，∴当时，的最大值为1，当时，的最小值是.所以在上的值域是.故选：D.8．已知函数，若，则实数的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】首先判断的奇偶性和单调性，由此化简不等式，从而求得的取值范围.【详解】的定义域为，，所以为奇函数，在上递增，由得，∴，，解得.故选：B9．已知函数的图象的相邻两条对称轴间的距离为的图象与轴的交点为，则的图象的一条对称轴方程可以为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】先化简函数为，再根据函数的图象的相邻两条对称轴间的距离为，求得，再根据的图象与轴的交点为，由求得函数解析式，然后令求解.【详解】由题意知，因为函数的图象的相邻两条对称轴间的距离为，所以其最小正周期为，故，因为的图象与轴的交点为，所以，又，所以，所以，令，得，令，得，则的图象的一条对称轴方程可以为.故选：B.【点睛】方法点睛：1．讨论三角函数性质，应先把函数式化成y＝Asin(ωx＋φ)(ω>0)的形式．2．函数y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为，y＝tan(ωx＋φ)的最小正周期为.3．对于函数的性质(定义域、值域、单调性、对称性、最值等)可以通过换元的方法令t＝ωx＋φ，将其转化为研究y＝sint的性质．10．在中，，，且，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由已知数量积相等求得，取中点D，从而求得中线的长，可表示为的函数，由三角函数知识得取值范围．【详解】在中，，即，取中点D，即，则又BD是中线，所以是等腰三角形，BA=BC.由，即，，则，由，则，所以.故选：C．二、填空题11．已知向量，且，则___________.【答案】【分析】由向量平行的坐标表示可直接构造方程求得结果.【详解】解：向量，且，所以，解得.故答案为：.12．函数的零点个数为_______.【答案】2【分析】由题意结合函数零点的概念可转化条件得，在同一直角坐标系中作出函数与的图象，由函数图象的交点个数即可得函数的零点个数.【详解】令，则，在同一直角坐标系中作出函数与的图象，如图：由图象可知，函数与的图象有两个交点，所以方程有两个不同实根，所以函数的零点个数为2.故答案为：2.【点睛】本题考查了函数零点个数的求解及函数与方程的综合应用，考查了数形结合思想与转化化归思想，属于中档题.13．已知，与的夹角为，那么=___________.【答案】【分析】根据向量加法运算公式计算求解即可【详解】解：根据向量模的计算公式得，，所以故答案为：14．已知函数，下列说法正确的序号是___________.①函数的周期为；②；③在区间上单调递增；④的图像关于点中心对称.【答案】②③【分析】应用特殊值法，结合周期性、对称的性质判断①、④，利用是函数的周期直接求判断②；由已知区间有，即可判断③.【详解】解：对于①，函数，，，函数的周期不是，故①不正确.对于②，因为，所以是函数的周期，所以，②正确；对于③，当时，，因为，所以在区间上单调递增，③正确；对于④，，，则，所以的图像不关于点中心对称，故④不正确.故答案为：②③.三、解答题15．已知tanα＝2.(1)求的值；(2)求的值【答案】(1)-3(2)【分析】（1）由正切的和角公式求解即可；（2）由余弦的二倍角公式与弦的齐次式弦化切求解即可【详解】（1）；（2）16．试用向量的方法证明：在中，.【答案】证明见解析【分析】设，从而得出，化简整理可得，两边同时与作内积，利用向量的数量积公式即可求解.【详解】设，从而得出，，，，得证.17．某企业欲做一个介绍企业发展史的铭牌，铭牌的截面形状是如图所示的扇形环面（由扇形OAD挖去扇形OBC后构成的）.已知，，线段BA，CD与，的长度之和为30，圆心角为弧度.(1)求关于x的函数表达式；(2)记铭牌的截面面积为y，试问x取何值时，y的值最大？并求出最大值.【答案】(1)；(2)，.【分析】（1）根据扇形的弧长公式结合已知条件可得出关于、的等式，即可得出关于的函数解析式；（2）利用扇形的面积公式结合二次函数的基本性质可求得的最大值，即可得出结论.【详解】（1）解：根据题意，可算得，．因为，所以，所以，.（2）解：根据题意，可知，当时，.综上所述，当时铭牌的面积最大，且最大面积为.18．已知函数.(1)求函数的对称中心；(2)若，且，求的值.【答案】(1)(2)【分析】(1)利用二倍角公式和辅助角公式将函数化简为，根据正弦函数的对称中心，令，解之即可求解；(2)结合（1）的结论，将化简整理可得：，进而求出，代入即可求解.【详解】（1）因为，令，则，所以函数的对称中心为；（2），所以，又，所以，则.19．已知向量a＝(cos2ωx－sin2ωx，sinωx)，b＝(，2cosωx)，设函数f(x)＝a·b(x∈R)的图象关于直线x＝对称，其中ω为常数，且ω∈(0，1)．(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间；(2)若将y＝f(x)图象上各点的横坐标变为原来的，再将所得图象向右平移个单位，纵坐标不变，得到y＝h(x)的图象，若关于x的方程h(x)＋k＝0在上有且只有一个实数解，求实数k的取值范围．【答案】（1）T＝6π；单调递增区间为，k∈Z.（2）{k|或k＝－2}．【分析】（1）先利用平面向量的数量积定义和二倍角公式、辅助角公式得到，再利用对称性求出值，再利用三角函数的性质进行求解；（2）先利用三角函数图象变换得到，再令，利用三角函数的图象和数形结合思想进行求解.【详解】(1)f(x)＝a·b＝(cos2ωx－sin2ωx)＋2sinωxcosωx＝cos2ωx＋sin2ωx＝2sin.∵直线x＝是y＝f(x)的图象的一条对称轴，∴(k∈Z)，即ω＝k＋(k∈Z)．又ω∈(0，1)，∴ω＝，f(x)＝2sin，∴T＝6π.令，k∈Z，得，k∈Z，即函数f(x)的单调递增区间为，k∈Z.(2)由（1）得f(x)＝2sin，将y＝f(x)图象上各点的横坐标变为原来的，再将所得图象向右平移个单位，纵坐标不变，得到y＝2sin的图象，∴h(x)＝2sin.令＝t，∵0≤x≤，∴－≤t≤，方程h(x)＋k＝0在上有且只有一个实数解，即方程2sint＋k＝0在上有且只有一个实数解，亦即y＝2sint，t∈的图象与直线y＝－k有且只有一个交点，画出图象分析可知－≤－k＜或－k＝2，即或k＝－2.故实数k的取值范围是{k|或k＝－2}．【点睛】本题主要考查三角恒等变换、三角函数的图象和性质、三角函数的图象变换，意在考查学生的逻辑思维能力和综合分析解决问题的能力，属于中档题．解决本题的易错点在于三角函数的图象变换，学生往往得到错误的结果“”，在处理图象平移时，要注意平移的单位仅对于“自变量”而言，如本题中.20．设函数，若实数使得对任意恒成立，求的值.【答案】【分析】整理得，，则可整理得，，据此，列出方程组，，解方程组，可得答案.【详解】解：，，即，即，化为：，依题意，对任意恒成立，，由得：，故答案为：21．若函数对定义域内的每一个值，在其定义域内都存在唯一的，使成立，则称该函数为“依赖函数”.（1）判断函数是否为“依赖函数”，并说明理由；（2）若函数在定义域上为“依赖函数”，求的取值范围；（3）已知函数在定义域上为“依赖函数”，若存在实数：，使得对任意的，不等式都成立，求实数的最大值.【答案】（1）不是“依赖函数”，理由见解析；（2）；（3）最大值为.【解析】（1）由“依赖函数”的定义进行判断即可；（2）先根据题意得到，解得：，再由，解出，根据的范围即可求出的取值范围；（3）根据题意分，，考虑在上单调性，再根据“依赖函数”的定义即可求得的值，代入得恒成立，由判别式，即可得到，再令函数在的单调性，求得其最值，可求得实数的最大值.【详解】（1）对于函数的定义域内存在，则无解，故不是