模式识别培训通用课件

王杰(博士/教授/博导)郑州大学电气工程学13837106273wj@模式识别PatternRecognitionChapter22/6/20231王杰(博士/教授/博导)郑州大学电气工程学13837106273wj@模式识别PatternRecognition

Ch.2分类器-基于Bayes决策理论

2.1引言2.1.1问题表述2/6/20232王杰(博士/教授/博导)郑州大学电气工程学13837106273wj@模式识别PatternRecognition

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2.1引言2.1.2全概率公式和贝叶斯准则2/6/20233王杰(博士/教授/博导)郑州大学电气工程学13837106273wj@模式识别PatternRecognition

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2.1引言2.1.2全概率公式和贝叶斯准则2/6/20234王杰(博士/教授/博导)郑州大学电气工程学13837106273wj@模式识别PatternRecognition

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2.1引言

2.1.2全概率公式和贝叶斯准则2/6/20235王杰(博士/教授/博导)郑州大学电气工程学13837106273wj@模式识别PatternRecognition

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2.2贝叶斯决策理论

2.2.1贝叶斯决策的原理2/6/20236王杰(博士/教授/博导)郑州大学电气工程学13837106273wj@模式识别PatternRecognition

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2.2贝叶斯决策理论

2.2.1贝叶斯决策的原理2/6/20237王杰(博士/教授/博导)郑州大学电气工程学13837106273wj@模式识别PatternRecognition

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2.2贝叶斯决策理论

2.2.2最小化分类错误率可以证明，贝叶斯分类器在分类错误率最小化方面最优：由贝叶斯规则：由概率密度函数的定义：和并以上两式可以得到：2/6/20238王杰(博士/教授/博导)郑州大学电气工程学13837106273wj@模式识别PatternRecognition

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2.2.2最小化分类错误率2/6/20239王杰(博士/教授/博导)郑州大学电气工程学13837106273wj@模式识别PatternRecognition

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2.2.2最小化分类错误率Indeed:MovingthethresholdthetotalshadedareaINCREASESbytheextra“grey”area.2/6/202310王杰(博士/教授/博导)郑州大学电气工程学13837106273wj@模式识别PatternRecognition

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2.2贝叶斯决策理论

2.2.3最小化分类平均风险分类错误率最小并非总是最好的，某些情况下有些错误会产生更严重的后果，因此用“损失”来衡量错误有时候更符合实际。(2-10)(2-11)2/6/202311王杰(博士/教授/博导)郑州大学电气工程学13837106273wj@模式识别PatternRecognition

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2.2贝叶斯决策理论

2.2.3最小化分类平均风险(2-12)(2-13)按极小值原理求解(2-11)，必须使积分的每一项最小，因此应选择：设M=2，则有：(2-14)2/6/202312王杰(博士/教授/博导)郑州大学电气工程学13837106273wj@模式识别PatternRecognition

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2.2贝叶斯决策理论

2.2.3最小化分类平均风险(2-15)按照常规，对于正确分类的惩罚应小于错误分类的惩罚，即取：依据假设，(2-12)式在两类情况下可以表示为：其中，比率称为似然比(Likelihood)，(2-15)式称为似然比检验。当取表示正确分类惩罚为零，2中的样本错误地分到1惩罚更大，则2/6/202313王杰(博士/教授/博导)郑州大学电气工程学13837106273wj@模式识别PatternRecognition

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2.2贝叶斯决策理论

例2-1Thenthethresholdvalueis:Threshold forminimumr2/6/202314王杰(博士/教授/博导)郑州大学电气工程学13837106273wj@模式识别PatternRecognition

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2.2贝叶斯决策理论

例2-1Thusmovestotheleftof(WHY?)Considerthereversesituationwhenthemovestotherightof?2/6/202315王杰(博士/教授/博导)郑州大学电气工程学13837106273wj@模式识别PatternRecognition

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2.3判别函数和决策面(DiscriminantFunctions&DecisionSurfaces)

(2-16)(2-17)(2-18)2/6/202316王杰(博士/教授/博导)郑州大学电气工程学13837106273wj@模式识别PatternRecognition

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2.3判别函数和决策面(DiscriminantFunctions&DecisionSurfaces)

Ingeneral,discriminantfunctions(判别函数)canbedefinedindependentof

theBayesianrule.Theyleadtosuboptimalsolutions,yetifchosenappropriately,canbecomputationallymoretractable(容易的).——SergiosTheodoridis-PatternRecognition2/6/202317王杰(博士/教授/博导)郑州大学电气工程学13837106273wj@模式识别PatternRecognition

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2.4正态分布的贝叶斯分类(BayesianClassifierforNormalDistributions)

(2-19)MultivariateGaussianpdf(ProbabilityDistributionFunction-pdf)(随机变量x的均值或期望)(x的协方差矩阵，CovarianceMatrix)(x的概率分布)函数ln(·)是单调的，定义：2/6/202318王杰(博士/教授/博导)郑州大学电气工程学13837106273wj@模式识别PatternRecognition

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2.4正态分布的贝叶斯分类(BayesianClassifierforNormalDistributions)

(2-20)式(2-19)可以写成：其中，常数Ci为：2/6/202319王杰(博士/教授/博导)郑州大学电气工程学13837106273wj@模式识别PatternRecognition

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2.4正态分布的贝叶斯分类(BayesianClassifierforNormalDistributions)

(2-21)将式(2-20)展开可以写成：一般地，上式是一个非线性二次型，例如，对于：的情况，假设：

式(2-21)又可以表示成：(2-22)2/6/202320王杰(博士/教授/博导)郑州大学电气工程学13837106273wj@模式识别PatternRecognition

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2.4正态分布的贝叶斯分类(BayesianClassifierforNormalDistributions)

Thatis,

isquadratic(二次的)

andthesurfacesarequadrics(二次的),

maybe

ellipsoids(椭圆),parabolas(抛物线),hyperbolas(双曲线),pairsoflines(直线对).Forexample:(图2-4(a))(图2-4(b))2/6/202321王杰(博士/教授/博导)郑州大学电气工程学13837106273wj@模式识别PatternRecognition

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2.4正态分布的贝叶斯分类(BayesianClassifierforNormalDistributions)

图2-4二次决策曲线的例子，(a)椭圆；(b)双曲线2/6/202322王杰(博士/教授/博导)郑州大学电气工程学13837106273wj@模式识别PatternRecognition

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2.4正态分布的贝叶斯分类(BayesianClassifierforNormalDistributions)

2.4.1决策超平面(DecisionHyperplanes)Quadraticterms:

IfALL (thesame)，thequadratictermsarenotofinterest.Theyarenotinvolvedincomparisons.Then,equivalently,wecanwrite:DiscriminantfunctionsareLINEAR(2-23)(2-24)(2-25)2/6/202323王杰(博士/教授/博导)郑州大学电气工程学13837106273wj@模式识别PatternRecognition

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2.4正态分布的贝叶斯分类(BayesianClassifierforNormalDistributions)

2.4.1决策超平面(DecisionHyperplanes)(2-26)(2-27)(2-28)(2-29)2/6/202324王杰(博士/教授/博导)郑州大学电气工程学13837106273wj@模式识别PatternRecognition

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2.4正态分布的贝叶斯分类(BayesianClassifierforNormalDistributions)

2.4.1决策超平面(DecisionHyperplanes)决策平面是一个通过的超平面，当概率时，，超平面经过均值点2/6/202325王杰(博士/教授/博导)郑州大学电气工程学13837106273wj@模式识别PatternRecognition

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2.4正态分布的贝叶斯分类(BayesianClassifierforNormalDistributions)

2.4.1决策超平面(DecisionHyperplanes)图2-5两类情况下的决策线和的正态分布向量2/6/202326王杰(博士/教授/博导)郑州大学电气工程学13837106273wj@模式识别PatternRecognition

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2.4正态分布的贝叶斯分类(BayesianClassifierforNormalDistributions)

2.4.1决策超平面(DecisionHyperplanes)图2-6决策线(a)分布致密类；(b)分布非致密类(a)(b)2/6/202327王杰(博士/教授/博导)郑州大学电气工程学13837106273wj@模式识别PatternRecognition

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2.4正态分布的贝叶斯分类(BayesianClassifierforNormalDistributions)

2.4.1决策超平面(DecisionHyperplanes)(2-30)(2-31)2/6/202328王杰(博士/教授/博导)郑州大学电气工程学13837106273wj@模式识别PatternRecognition

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2.4正态分布的贝叶斯分类(BayesianClassifierforNormalDistributions)

2.4.2最小距离分类器(MinimumDistanceClassifiers)(2-32)换个角度考虑，假设等概率类(equiprobable)忽略常量的决策超平面可以表达为(参考讲义(2-20)或教材(2-26))：协方差矩阵为对角时IfEuclideanDistanceSmallerthan也即，此时特征向量可以根据它们与均值点之间的欧氏距离来分类。2/6/202329王杰(博士/教授/博导)郑州大学电气工程学13837106273wj@模式识别PatternRecognition

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2.4正态分布的贝叶斯分类(BayesianClassifierforNormalDistributions)

2.4.2最小距离分类器(MinimumDistanceClassifiers)协方差矩阵为非对角时IfMahalanobis

DistanceSmallerthan

在这种情况下，常量距离

的曲线是椭圆(或者超椭圆)因为协防差矩阵的对称性，可以通过归一划使协防差矩阵对角化：2/6/202330王杰(博士/教授/博导)郑州大学电气工程学13837106273wj@模式识别PatternRecognition

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2.4正态分布的贝叶斯分类(BayesianClassifierforNormalDistributions)

2.4.2最小距离分类器(MinimumDistanceClassifiers)图2-7a)等欧几里德曲线；b)等Mahalanobis曲线2/6/202331Example:2/6/202332王杰(博士/教授/博导)郑州大学电气工程学13837106273wj@模式识别PatternRecognition

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2.5未知概率密度函数的估计(EstimationofUnknownProbabilityDensityFunctions)

2.5.1最大似然参数估计(ParametersEstimationofMaximumLikelihood-ML)2/6/202333王杰(博士/教授/博导)郑州大学电气工程学13837106273wj@模式识别PatternRecognition

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2.5未知概率密度函数的估计(EstimationofUnknownProbabilityDensityFunctions)

2.5.1最大似然参数估计(ParametersEstimationofMaximumLikelihood-ML)2/6/202334王杰(博士/教授/博导)郑州大学电气工程学13837106273wj@模式识别PatternRecognition

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2.5未知概率密度函数的估计(EstimationofUnknownProbabilityDensityFunctions)

图2-8极大似然估计2.5.1最大似然参数估计(ParametersEstimationofMaximumLikelihood-ML)2/6/202335Example:2/6/202336王杰(博士/教授/博导)郑州大学电气工程学13837106273wj@模式识别PatternRecognition

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2.5未知概率密度函数的估计(EstimationofUnknownProbabilityDensityFunctions)

2.5.2最大后验概率估计(EstimationofMaximumAposterioriProbability-MAP)InMaximumLikelihoodmethod,wasconsideredasaparameter；Hereweshalllookatasarandomvectordescribedbyapdf(概率分布函数)p(),assumedtobeknownGivenComputethemaximumof2/6/202337王杰(博士/教授/博导)郑州大学电气工程学13837106273wj@模式识别PatternRecognition

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2.5未知概率密度函数的估计(EstimationofUnknownProbabilityDensityFunctions)

FromBayestheorem

TheMethod2.5.2最大后验概率估计(EstimationofMaximumAposterioriProbability-MAP)2/6/202338王杰(博士/教授/博导)郑州大学电气工程学13837106273wj@模式识别PatternRecognition

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2.5未知概率密度函数的估计(EstimationofUnknownProbabilityDensityFunctions)

图2-9对于的最大似然估计和最大后验概率估计a)中基本相同；b)中差别较大2.5.2最大后验概率估计(EstimationofMaximumAposterioriProbability-MAP)2/6/202339Example:2/6/202340王杰(博士/教授/博导)郑州大学电气工程学13837106273wj@模式识别PatternRecognition

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2.5未知概率密度函数的估计(EstimationofUnknownProbabilityDensityFunctions)

2.5.3贝叶斯推论(BayesianInference)2/6/202341王杰(博士/教授/博导)郑州大学电气工程学13837106273wj@模式识别PatternRecognition

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2.5未知概率密度函数的估计(EstimationofUnknownProbabilityDensityFunctions)

2.5.3贝叶斯推论(BayesianInference)Abitmoreinsightviaanexample：2/6/202342王杰(博士/教授/博导)郑州大学电气工程学13837106273wj@模式识别PatternRecognition

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2.5未知概率密度函数的估计(EstimationofUnknownProbabilityDensityFunctions)

2.5.3贝叶斯推论(BayesianInference)图2-10上述表达就是当N→∞时的高斯分布序列2/6/202343王杰(博士/教授/博导)郑州大学电气工程学13837106273wj@模式识别PatternRecognition

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2.5未知概率密度函数的估计(EstimationofUnknownProbabilityDensityFunctions)

2.5.4最大熵估计(MaximumEntropyEstimation)熵的概念来源于香农的信息论，它是关于事件不确定性(或无序性)的度量，或者是系统输出信息中的随机性的度量。熵的定义：(2-33)根据Jaynes[Jayn82]陈述的最大熵原理，在约束条件下，这样的估计符合最大可能随机性的分布。2/6/202344王杰(博士/教授/博导)郑州大学电气工程学13837106273wj@模式识别PatternRecognition

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2.5未知概率密度函数的估计(EstimationofUnknownProbabilityDensityFunctions)

2.5.4最大熵估计(MaximumEntropyEstimation)Example:Constraint：LagrangeMultipliers：2/6/202345王杰(博士/教授/博导)郑州大学电气工程学13837106273wj@模式识别PatternRecognition

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2.5未知概率密度函数的估计(EstimationofUnknownProbabilityDensityFunctions)

2.5.4最大熵估计(MaximumEntropyEstimation)取导数为零得到：由约束条件可以得到：于是得到ME.pdf：结论：未知概率密度的最大熵估计都服从均匀分布(UniformDistribution),可以证明，若将均值和方差作为第二、三个约束，在正负无穷范围内，最大熵估计的结果都是高斯分布，这是MaximumEntropyEstimation的精髓。2/6/202346王杰(博士/教授/博导)郑州大学电气工程学13837106273wj@模式识别PatternRecognition

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2.5未知概率密度函数的估计(EstimationofUnknownProbabilityDensityFunctions)

2.5.5混合模型(MixtureModels)还可以通过密度函数的线性合并获取未知的pdf：意为：一个J分布符合p(x)，则可认为每一点x都可能以概率Pj属于J模型分布。该模型可以接近任意连续密度函数，只需要有足够数量的混合J和适当的参数。Assumeparametricmodeling,i.e.,(2-34)2/6/202347王杰(博士/教授/博导)郑州大学电气工程学13837106273wj@模式识别PatternRecognition

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2.5未知概率密度函数的估计(EstimationofUnknownProbabilityDensityFunctions)

2.5.5混合模型(MixtureModels)ThegoalistoestimategivenasetWhynotML(极大似然)?Asbefore?这是因为未知参数以非线性形式出现在最大化过程中导致计算困难，必须采用非线性优化迭代技术。复杂的原因是缺乏关于已知样本的类标签，即混合体中每一个样本所属的类。没有标签信息使得这一任务成为一个典型的具有不完全数据集的任务。可以考虑采用期望值最大算法(ExpectationMaximization,EM)2/6/202348王杰(博士/教授/博导)郑州大学电气工程学13837106273wj@模式识别PatternRecognition

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2.5未知概率密度函数的估计(EstimationofUnknownProbabilityDensityFunctions)

2.5.5混合模型(MixtureModels)TheExpectation-Maximization(EM)algorithmGeneralformulation：whichare

notobserveddirectly.Weobserve：

amanytoonetransformation2/6/202349王杰(博士/教授/博导)郑州大学电气工程学13837106273wj@模式识别PatternRecognition

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2.5未知概率密度函数的估计(EstimationofUnknownProbabilityDensityFunctions)

2.5.5混合模型(MixtureModels)WhatweneedistocomputeButarenotobserved.HerecomestheEM.Maximizethe

expectationofthelog-likelihood

conditionedontheobservedsamplesandthecurrentiterationestimateof

Thealgorithm:(2-35)(2-36)2/6/202350王杰(博士/教授/博导)郑州大学电气工程学13837106273wj@模式识别PatternRecognition

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2.5未知概率密度函数的估计(EstimationofUnknownProbabilityDensityFunctions)

2.5.5混合模型(MixtureModels)ApplicationtothemixturemodelingproblemAssumingmutualindependence(假设相互独立)则对数似然函数为：(2-37)2/6/202351王杰(博士/教授/博导)郑州大学电气工程学13837106273wj@模式识别PatternRecognition

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2.5未知概率密度函数的估计(EstimationofUnknownProbabilityDensityFunctions)

2.5.5混合模型(MixtureModels)2/6/202352王杰(博士/教授/博导)郑州大学电气工程学13837106273wj@模式识别PatternRecognition

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2.5未知概率密度函数的估计(EstimationofUnknownProbabilityDensityFunctions)

2.5.6非参数估计(NonparametricEstimation)图2-11直方图方法估计概率密度近似值；a)细划分；b)粗划分2/6/202353王杰(博士/教授/博导)郑州大学电气工程学13837106273wj@模式识别PatternRecognition

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2.5未知概率密度函数的估计(EstimationofUnknownProbabilityDensityFunctions)

2.5.6非参数估计(NonparametricEstimation)(2-38)2/6/202354王杰(博士/教授/博导)郑州大学电气工程学13837106273wj@模式识别PatternRecognition

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2.5未知概率密度函数的估计(EstimationofUnknownProbabilityDensityFunctions)

2.5.6非参数估计(NonparametricEstimation)ParzenWindowsMethod在一个超立方体中分割多维空间，定义函数：(2-39)图2-12在超立方体内定义多维空间也即，在以原点为中心的单位超立方体内的所有点的函数为1，其余为零。2/6/202355王杰(博士/教授/博导)郑州大学电气工程学13837106273wj@模式识别PatternRecognition

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2.5未知概率密度函数的估计(EstimationofUnknownProbabilityDensityFunctions)

2.5.6非参数估计(NonparametricEstimation)于是可以将一维的概率密度函数表达式(2-38)改写为：(2-40)上述公式的解释：落在以x为中心的单位超方体内的试验点总数KN除以体积和总个数，但问题是不连续而p(x)连续。可以通过扩展不连续函数得到一个近似的连续函数p(x)，但是这种不连续必然影响p(x)的平滑性质。Parzen窗就是使用平滑的函数代替原来不连续的函数从而生成(2-40)式。2/6/202356王杰(博士/教授/博导)郑州大学电气工程学13837106273wj@模式识别PatternRecognition

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2.5未知概率密度函数的估计(EstimationofUnknownProbabilityDensityFunctions)

2.5.6非参数估计(NonparametricEstimation)Parzenwindows-kernels-potentialfunctions：(2-41)Meanvalue：(2-42)Henceunbiasedinthelimit，independentwithbigorsmallofN.2/6/202357王杰(博士/教授/博导)郑州大学电气工程学13837106273wj@模式识别PatternRecognition

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2.5未知概率密度函数的估计(EstimationofUnknownProbabilityDensityFunctions)

2.5.6非参数估计(NonparametricEstimation)Variance：Thesmallerthehthehigherthevariance图2-13Parzen窗计算概率密度函数，样本数N=1000；a)h=0.1b)h=0.82/6/202358王杰(博士/教授/博导)郑州大学电气工程学13837106273wj@模式识别PatternRecognition

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2.5未知概率密度函数的估计(EstimationofUnknownProbabilityDensityFunctions)

2.5.6非参数估计(NonparametricEstimation)Variance：ThehighertheNthebettertheaccuracy图2-14Parzen窗计算概率密度函数，h=0.8N=1000N=200002/6/202359王杰(博士/教授/博导)郑州大学电气工程学13837106273wj@模式识别PatternRecognition

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2.5未知概率密度函数的估计(EstimationofUnknownProbabilityDensityFunctions)

2.5.6非参数估计(NonparametricEstimation)分类方法，回忆：(2-43)采用Parzen窗的分类公式为：2/6/202360王杰(博士/教授/博导)郑州大学电气工程学13837106273wj@模式识别PatternRecognition

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2.5未知概率密度函数的估计(EstimationofUnknownProbabilityDensityFunctions)

2.5.6非参数估计(NonparametricEstimation)CURSEOFDIMENSIONALITYInallthemethods,sofar,wesawthatthehighestthenumberofpoints,

N,thebettertheresultingestimate.Ifintheone-dimensionalspaceaninterval,filledwith

N

points,isadequately(充分)(forgoodestimation),inthetwo-dimensionalspacethecorrespondingsquarewillrequireN2

andintheℓ-dimensionalspacetheℓ-dimensionalcubewillrequireNℓpoints.Theexponentialincreaseinthenumberofnecessarypointsinknownasthecurseofdimensionality.Thisisamajorproblemoneisconfrontedwithinhighdimensionalspaces.2/6/202361王杰(博士/教授/博导)郑州大学电气工程学13837106273wj@模式识别PatternRecognition

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2.5未知概率密度函数的估计(EstimationofUnknownProbabilityDensityFunctions)

2.5.6非参数估计(NonparametricEstimation)NAÏVE(简易的)–BAYESCLASSIFIERLetandthegoalistoestimatei=1,2,…,M.Fora“good”estimateofthepdfonewouldneed,say,Nℓpoints.Assumex1,x2,…,

xℓ

mutuallyindependent.Then:Inthiscase,onewouldrequire,roughly,N

pointsforeachpdf.Thus,anumberofpointsoftheorderN·ℓwouldsuffice.ItturnsoutthattheNaïve–Bayesclassifierworksreasonablywellevenincasesthatviolate(破坏、不满足)theindependenceassumption.(2-44)2/6/202362王杰(博士/教授/博导)郑州大学电气工程学13837106273wj@模式识别PatternRecognition

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2.5未知概率密度函数的估计(EstimationofUnknownProbabilityDensityFunctions)

2.5.6非参数估计(NonparametricEstimation)KNearestNeighborDensityEstimation(K-最近邻密度分类)InParzen:ThevolumeisconstantThenumberofpointsinthevolumeisvaryingNow:KeepthenumberofpointsconstantLeavethevolumetobevarying2/6/202363王杰(博士/教授/博导)郑州大学电气工程学13837106273wj@模式识别PatternRecognition

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2.5未知概率密度函数的估计(EstimationofUnknownProbabilityDensityFunctions)

2.5.6非参数估计(NonparametricEstimation)K-最近邻密度分类结果解释：在高密度区，体积小，低密度区，体积大。如果采用Mahalanobis距离，则得到超球面空间的超椭圆体图2-15K-近邻密度估计；a)密度大体积小b)密度小体积大(2-45)2/6/202364王杰(博士/教授/博导)郑州大学电气工程学13837106273wj@模式识别PatternRecognition

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2.5未知概率密度函数的估计(EstimationofUnknownProbabilityDensityFunctions)

2.5.6非参数估计(NonparametricEstimation)最近邻规则(TheNearestNeighborRule)给定一个未知特征向量x和一种距离测量方法，于是：在N个训练向量之外，不考虑类的标签来确定k近邻。在两类的情况下，k选为奇数，一般不是类M的倍数；在k个样本之外，确定属于ωi(i=1,2,…M)类的向量的个数ki，显然∑iki=k；x属于样本最大值ki的那一类ωi，也即在训练样本数足够大时，这种简单规则具有良好性能。当N→∞,用PB表示最优Bayes理论错误率，最近邻规则的分类错误率PNN由下式约束：(2-46)2/6/202365王杰(博士/教授/博导)郑州大学电气工程学13837106273wj@模式识别PatternRecognition

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2.5未知概率密度函数的估计(EstimationofUnknownProbabilityDensityFunctions)

2.5.6非参数估计(NonparametricEstimation)

ForsmallPB:2/6/202366王杰(博士/教授/博导)郑州大学电气工程学13837106273wj@模式识别PatternRecognition

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2.6贝叶斯网络(BayesianNetworks)

2.6.1贝叶斯概率链规则(BayesProbabilityChainRule)(2-47)(2-48)现假设每个随机变量xi的条件依赖性被限制于各自的乘积表达式中出现的特征子集，例如说：其中：具体假设例如l=6，于是可以假定：则：TheaboveisageneralizationoftheNaïve–Bayes.FortheNaïve–Bayestheassumptionis:Ai=Ø,fori=1,2,…,ℓ2/6/202367王杰(博士/教授/博导)郑州大学电气工程学13837106273wj@模式识别PatternRecognition

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2.6贝叶斯网络(BayesianNetworks)

2.6.1贝叶斯概率链规则(BayesProbabilityChainRule)Agraphicalwaytoportray(描绘)conditionaldependenciesisgivenbelowAccordingtothisfigurewehavethat:x6isconditionallydependentonx4,x5.x5

on

x4