北师大版椭圆几何性质 - -

椭圆性质1.2椭圆的简单几何性质2.椭圆的标准方程是:3.椭圆中a,b,c的关系是:a2=b2+c2当焦点在x轴上时一、复习：1.椭圆的定义:当焦点在y轴上时

图形方程焦点F(±c，0)F(0，±c)a,b,c之间的关系c2=a2-b2|MF1|+|MF2|=2a(2a>2c>0)定义12yoFFMx1oFyx2FM注:共同点：椭圆的标准方程表示的一定是焦点在坐标轴上，中心在坐标原点的椭圆；方程的左边是平方和，右边是1.不同点：焦点在x轴的椭圆项分母较大.

焦点在y轴的椭圆项分母较大.练习1.方程2(k2-2)x2+k2y2+k2-k-6=0表示椭圆，则实数k的取值范围为

.练习2.已知一圆的圆心为坐标原点，半径为2。从这个圆上任意一点P向x轴作垂线段PP’，则PP’中点M的轨迹方程为

.设M(x,y)，则P(x,2y)又P在圆:x2+y2=4上∴x2+4y2=4上椭圆YXOP（x，y）P1(-x，y)P2（-x，-y）1、

椭圆的对称性F2F1Oxy椭圆关于x轴对称。1对称性F2F1Oxy椭圆关于y轴对称。A2A1A2F2F1Oxy椭圆关于原点对称。1、椭圆的对称性YXOP（x，y）P1（-x，y）P3（-x，-y）结论:椭圆关于x、y轴、原点对称。设椭圆上任意一点P(x,y)关于y轴的对称点是同理椭圆关于x轴对称关于原点对称即在椭圆上,则椭圆关于y轴对称(-x,y)

把x换成-x方程不变,图象关于y轴对称;从图形上看,

椭圆关于x轴、y轴、原点对称.从方程上看：(1)把x换成-x方程不变,图象关于y轴对称;(2)把y换成-y方程不变,图象关于x轴对称;(3)把x换成-x，同时

把y换成-y方程不

变，图象关于原

点成中心对称。1、对称性：所以得到：2、范围：椭圆落在x=±a,y=±b组成的矩形中*顶点:椭圆与它的对称轴的四个交点，叫做椭圆的顶点—四个，即A1、A2、B1、B2

*长轴、短轴:

线段A1A2、B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴。A1A2为2a(0,b)(-a,0)3、椭圆的顶点(0,-b)(a,0)a、b分别叫做椭

圆的长半轴的长和短半轴的长。令x=0，得y=？，说明椭圆与y轴的交点坐标？令y=0，得x=？说明椭圆与x轴的交点坐标？根据前面所学有关知识画出下列图形思考:已知椭圆的长轴A1A2和短轴B1B2

，怎样确定椭圆焦点的位置？oB2B1A1A2F1F2aaccb答：因为a2=b2+c2,所以以椭圆短轴端点为圆心,a长为半径的圆与x轴的交点即为椭圆焦点.2a2b4.椭圆的离心率e(刻画椭圆扁平程度的量)离心率:椭圆的焦距与长轴长的比:记作e，

叫做椭圆的离心率1)e越接近1，c就越接近a，从而b就越小，椭圆就越扁；

2)e越接近0，c就越接近0，从而b就越大，椭圆就越圆；[3]e与a,b的关系:4.椭圆的离心率e(刻画椭圆扁平程度的量)[1]离心率的取值范围∵a>c>0，∴0<e<1.：[2]离心率对椭圆形状的影响:关于x轴、y轴成轴对称；关于原点成中心对称a2=b2+c2|x|≤a,|y|≤b(a,0)、(-a,0)、(0,b)、(0,-b)(c,0)、(-c,0)长半轴长为a,短半轴长为b.a>b椭圆几何性质的应用(1)椭圆的焦点决定椭圆的位置，范围决定椭圆的大小，离心率决定了椭圆的扁圆程度，对称性是椭圆的重要特征，顶点是椭圆与对称轴的交点，是椭圆重要的特殊点；若已知椭圆的标准方程，则根据a、b的值可确定其性质4名师点睛.(2)明确a，b的几何意义，a是长半轴长，b是短半轴长，不要与长轴长、短轴长混淆，由c2＝a2－b2，可得“已知椭圆的四个顶点，求焦点”的几何作图法，只要以短轴的端点B1(或B2)为圆心，以a为半径作弧交长轴于两点，这两点就是焦点．

(4)若椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，则椭圆与x轴的交点A1，A2到焦点F2的距离分别最大和最小，且|A1F2|＝a＋c，|A2F2|＝a－c.(3)如图所示椭圆中的△OF2B2找出a，b，c，e对应的线段或量为a＝|F2B2|，b＝|OB2|，c＝|OF2|，e＝cos∠OF2B2.例4、

求椭圆9x2+25y2=225的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点坐标解：把已知方程化成标准方程这里，因此，椭圆的长轴长和短轴长分别是离心率焦点坐标分别是四个顶点坐标是解题的关键：1、将椭圆方程转化为标程

2、确定焦点的位置和长轴的置课本P67--68页例5、已知椭圆的对称轴为坐标轴，求满足下列条件的椭圆方程：（1）长轴在x轴上，长轴长等于12，离心率等于（2）过点P（-6，0），Q（0，8）；课本P68页课本P69页例6例6“嫦娥二号”于2010年10月1日18时59分57秒在西昌卫星发射中心发射升空

神舟六号在进入太空后，先以远地点347公里、近地点200公里的椭圆轨道运行，后经过变轨调整为距地350公里的圆形轨道.太阳系xyM1A2OM2A1近地点距地面200

，远地点距地面350

，地球半径约为6370．．O标准方程图象范围对称性顶点坐标焦点坐标半轴长焦距a,b,c关系离心率|x|≤a，|y|≤b|x|≤b，|y|≤a关于x轴、y轴成轴对称；关于原点成中心对称（±a,0）,(0,±b)（±b,0）,(0,±a)(±c,0)(0,±c)长半轴长为a,短半轴长为b.焦距为2c;a2=b2+c2小结：基本元素{1}基本量：a、b、