数列基础知识点和方法归纳

数列基础知识点和方法归纳等差数列的定义与性质定义：a-a=d(d为常数)，a=a+(n—1)d,推论公式：巳等差中项：x，A，y成等差数列02Af+y土 - 气:-七 二’等差数列前n项和：S="1+an）n=na+凶Hdn2 1 2性质：｛a｝是等差数列n（1）若m+n=p+q，则a+a=a+a；（下标和定理）注意：要求等式左右两边项数相等（2） 数列｛a2」｛a2J；七+1｝仍为等差数列，S；S2「S；S%-叮……仍为等差数列，公差为n2d；（3） 若三个成等差数列，可设为a-d，a，a+d；（4） 若a，b是等差数列，且前n项和分别为S，T，则％=—；nn nnbT（5） ｛a｝为等差数列0S=an2+bn（a，b为常数，是关于n的常数项为0的二次函数）S的最值可求二次函数S=an2+bn的最值；或者求出｛aj中的正、负分界项，艮即当a>0,d<0，解不等式组\an-0可得S达到最大值时的n值.1 Ia<0nn+1当a<0,d>0，由\an-0可得S达到最小值时的n值.1 Ia>0nn+1+a )(a,a为中间两项)n+1 nn++a )(a,a为中间两项)n+1 nn+1S=n(a+a)=n(a+a)==n(a2n 1 2n 2 2n-1SS偶一S奇=nd，—奇=—.Sa偶 n+1=(2n-1)a(a为中间项)n， 2n-1 =(2n-1)a(a为中间项)n， 2n-1 nn等比数列的定义与性质定义:八=q（q为常数，q。0）,a=aqa推论公式- ）a n1 .j—jh7・n等比中项：了、G、y成等比数列乏。"，或g=±*y.等比数列中奇数项同号，偶数项同号，na^q=1）=1气。-/）％I矿=Iw工i）等比数列前n项和公式：性质：｛a｝是等比数列（1） 若m+n=p+q，则a•a=a•a（下标和定理）注意：要求等式左右两边项数相等。mnpq（2）S，S2-S，S3-S2 仍为等比数列，公比为qn。（3（3）｛a｝是正项等比数列，则口四普是等比数列,注意：由S”求a”时应注意什么?n=1时，a=S；n-1.n>2时，a=Sn-1.求数列通项公式的常用方法定义法求通项公式(已知数列为等差数列或等比数列)已知S与"的关系命s与。的关系时求aaJ*(〃=助n 或nn ，n。nS-S(n>2)例：数列｛叫的前M项和二件+1.求数列(■｝的通项公式；解：当片二1时西二说二2，_阡二1)当论2时％=乩-乩一1="-1 「•数列｛气｝的通项公式为 〔孙-1(论2).练习：设数列｛气｝的前m项和为乩，且乩二很-血.求数列的通项公式。(3)求差(商)法例：数列｛a｝，La+上a+ + 上a=2n+5，求an21 222 2nn n解：n=1时，2a=2x1+5，+-a=2n+5n>2时，1+ a2nn>2时，1+ a2n-1n-1—a+—a+21 222①—②得：9〃=①—②得：9〃=2,「・a=2n+1，n]4(n=1)2n+1(n>2)练习：在数列&冲，”"】，“：’，「’.• .""w,求数列的通项公式。(4)累乘法a~^ra~^ra1，£=f(n)

anf(n)，则%=，£=f(n)

ana两边分别相乘得，f1=a

a11 k=1例：数列｛a｝中，a=3,一"，求］

n1an+1 «naaaia2a12—. naaaia2a12—. n————a23n-l 9n-1i=3,••a=—nan1 nni练习：已知"1=3%+1=371+2财"-1),求数列｛%｝的通项公式。练习：已知(5)累加法形如％ ％=1(町的递推式。TOC\o"1-5"\h\z由a-a=f(n),a=a,求。，用迭加法nn-l 1 0 na-a=f(2)2 1ta-a=f(3) —、一，g心2时，3 2 两边相加得q—a=f(2)+f(3)+……+f(〃)\o"CurrentDocument"• n 1a-a=f(n)nn-l.・・L°+f⑵+八3)+……+/w例：已知数列'〔％｝满足％=侦％=%-1+3几-2(22),⑴求也与气的值。(2)求数列(％｝的通项公式练习：已知数列｛气｝中，印二％^+i-^-2^-2=0伞时).求数列(％｝的通项公式;⑹构造法形如］=ca+d(c、d为常数，c^O,cul,d尹。)的递推式。nn-l可转化为等比数列，设Q+jv=c(q+工)=＞。=ca+(c-l)xn n—1 nn-l令(c-l)x=d,= *.\a+—^―|是首项为a+',c为公比的等比数列c—l\nC-1］ 1 C-1例已知数昴｝例已知数昴｝满苴L=1, 二邑+心耳求数"J的通项公式;解Q)E回二％+1,卜+1=2(%+1),祀L=l,故数站+1)是首项为，公比为的等比数列,即立工+1=2™,因此即立工+1=2™,因此1=2B-1练习1： ®—逆，「—X，，求数列｛a｝的通项公式。n练习2：已知数列｛a｝满足a=2a

nn练习2：已知数列｛a｝满足a=2a

nn+1+3X5n,4=6，求数列｛a｝的通项公式。(7)倒数法例：a=1,a= n^，求an由已知得:1a+21 1 =―n=—+a 2a 2a・111

1• aa2...<上］为等差数列，1=1aI anJ 1公差为上，・•.上=1+(n—1)」=L(n+1)，

2a 22练习：已知数列心的首项，："一. 七a=｛SJn=1)总结：公式法、利用 nS-S｝(n>2)、累加法、累乘法.构造等差或等比a=pa+q或nn1

n+1 nan+1=pa”+f(n)、待定系数法、对数变换法、迭代法。求数列前n项和的常用方法(1)定义法：如果已知数列为等差或者等比数列，这用对应的公式求和等差数列前n项和：S=("广5=na+些二Ud

n2 1 2，=1)5n=印［1-/)％-"易-=I(0尹1)等比数列前n项和公式：常见公式：上••一二•】"切心-" 1^15……01)「2 2 1 7 1 ，耳， 3】 71+2+3+…十71=萨(丸+l)〔2n+1) 1+2+3+■-+n=^\n(n+(2)错位相减法'七两边同乘以一个适当的数或者式'七两边同乘以一个适当的数或者式然后把所得的等式与原等式相减，对应项互相抵消，最后得出前n项的和'•.一般适用于｛a｝为等差数列，n数列)前项互相抵消，最后得出前n项的和'•.一般适用于｛a｝为等差数列，n数列)前n项和，可由S-qS，求Sn，其中q为｛b｝的公比.豹｝为等比数列，求数列"｝(差比例：S=1+2x+3x2+4x3+ +nxn一1nx*S=x+2x2+3x3+4x4+ +(n-1)xn-1+nxnnCD ^②(1—x)S=1+x+x2+ +xn-1—nxnnx.1时，s=n-竺，n(1—x)21—xx=1时，S=1+2+3+n(n+1)练习：已知数列囱)是等差数列，间是等比数列，且m，¥54,%+%+%二上+上求数列和W的通项公式数列仁｝满足孔二农，求数列的前》项和&.(2)裂项法把数列的通项公式拆成两项差的形式，相加过程中消去中间项，只剩下有限项再求和。常见形式：①若｛a｝是公差为d的等差数列，则商E=V如-福?)■1②*fI： I③-I!：<■-■') 广l•I.E：-如：｛a｝是公差为d的等差数列，求■1②*fI： I③-I!：<■-■') 广l•I.E：-如：｛a｝是公差为d的等差数列，求T_!_k=1kk+11 1a•aa(a+d)dkak ak+17・T1.• k=1akak+1 k=1dkak ak+17ka1a27ka2a37-—a7n+1ka1 an+17练习：已知数列。"的前n项和凡二疽+2”，①求数列｛%)的通项公式;②求数列的前n项和矿。(3)倒序相加法把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加.n-1 n|相加2S=(a+a)+(a+a)+…+(a,•+a+aJn1n2 n-1 1［练习］已知f(x)=三，则

1+X2. r1\f(1)+f(2)+f-+f(3)+f-,一/1\

由f(x)+f-= +1+X21++-^=12 1+X2 1+X2・.•原式=f(1)+f(2)+f-+f(3)+f-+f(4)+f-k