工程制图课件项目三

项目三 基本体与立体表面的交线［学习目的］1．掌握基本体视图的绘制方法。2．掌握截切体视图的绘制方法。3．相交立体视图的绘制方法。4．培养空间想像和空间构思能力。［重点和难点］重点：基本体和截切体视图的绘制方法。难点：截交线和相贯线的求解。任务任务1平面立体的投影任务2平面截切体的投影任务3回转体的投影任务4回转截切体的投影任务5相交立体的投影任务1平面立体的投影一.任务内容已知正六棱柱在投影体系中的位置如图3-1所示，请绘制出其三面投影。图3-1任务图二．任务目的1．学习平面立体的投影知识。2．学习平面的投影特点。三．任务知识1.平面立体的投影方法由于平面立体的表面是由若干个平面所围成，因此，平面立体的投影可归结为平面立体各表面的投影。2.平面立体的投影特点（1）平面立体的投影可归纳为平面立体上各表面的投影。（2）平面立体上各表面的投影，根据立体表面与投影面的相对位置关系,平面立体的投影结果如表3-1所示。（3）平面立体的同一表面上任意两点间的连线为直线段，直线段在各投影面上的投影仍为直线段。表3-1立体表面的投影与投影面的关系立体表面与投影面的关系立体表面在投影面上的投影平行反映该表面的实形，为多边形垂直积聚成一条直线倾斜原形的类似形，为多边形3.平面立体的投影步骤（1）形体分析：分析平面立体的形状特点及各面的投影特性。初步估测平面立体在各投影面的投影。（2）确定坐标系及45º辅助线。（3）绘制视图对称中心线和基准线。（4）绘制平面立体上有特点表面的投影(相对于投影面垂直或平行的面或线)。（5）绘制其它表面或棱线的投影。（6）分析各点、线、面的可见性。（7）检查。注意：作图熟练后辅助线可以省略不画，以后相同不再重复说明。四.任务实施1.形体分析正六棱柱由顶面，底面和六个侧棱面围成。顶面，底面分别由六条底棱线围成（正六边形）；每个侧棱面又由两条侧棱线和两条底棱线围成（矩形）。为六棱柱编号如图3-2所示。图3-2六棱柱顶点编号2.任务实施过程（1）想像立体的各面投影，如表3-2所示。（2）想像立体平面投影，如图3-3所示。（3）绘图步骤绘图过程如图3-4所示。视图投影图说明俯视图顶面和底面与水平面投影面平行，它们在水平投影面上投影重合且反映实形，其它六个侧面与水平投影面均垂直，在水平投影面上的投影积聚为直线。共3页第1页视图投影图说明主视图顶面和底面与正立投影面垂直，因此，它们在正立投影面上投影积聚为直线；其它六个侧面中面BB1CC1和面EE1FF1与正立投影面平行，它们在正立投影面上的投影反映实形；面AA1BB1、面CC1DD1、面DD1EE1、面FF1AA1与正立投影面相倾斜，在正立投影面上的投影为原形的类似形。

共3页第2页视图投影图说明左视图顶面和底面与侧立投影面垂直，因此，它们在侧立投影面上投影积聚为直线；其它六个侧面中面BB1CC1和面EE1FF1与侧立投影面垂直，在侧立投影面上的投影积聚为直线；面AA1BB1、面CC1DD1、面DD1EE1、面FF1AA1与侧立投影面相倾斜，在侧立投影面上的投影为原形的类似形。共3页第3页（a）各面投影（b）三视图图3-3六棱柱的投影（a）绘制基准线（b）绘制正六棱柱底面的外接圆共4页第1页（c）绘制正六棱柱俯视图投影－正六边形（d）绘制主视图共4页第2页（e）修整主视图和俯视图（f）绘制45º线和左视图基准线共4页第3页（g）修整左视图（h）加深三视图图3-4六棱柱视图绘制过程共4页第4页五．相关知识1.平面的投影在三投影面体系中，空间平面对投影面的相对位置有三种：投影面垂直面、投影面平行面和一般位置平面。前两种统称为特殊位置平面。下面分别介绍三种投影面的投影特性。（1）投影面垂直面（2）投影面平行面（3）一般位置平面（1）投影面垂直面投影面垂直面是指垂直于某一投影面，同时倾斜于其它两投影面的平面。投影面垂直面有三种：铅垂面（⊥H面）；正垂面（⊥V面）；侧垂面（⊥W面）。平面与投影的夹角分别用α（与水平投影面的夹角）、β（与正立投影面的夹角）、γ（与侧立投影面的夹角）表示。

表3-3列出了三种投影面垂直面的投影情况和特征。下面以铅垂面为例，进一步说明其投影特性。铅垂面共3页第1页正垂面共3页第2页侧垂面共3页第3页投影面垂直面的投影特性是：1）在所垂直的投影面上的投影积聚成一条直线；2）具有积聚性的投影与投影轴的夹角，反映该平面与相应投影面的倾角；3）另外两个投影面上的投影为原图形的类似形。（2）投影面平行面投影面平行面是指平行于某一投影面，同时又垂直于另外两投影面的平面。投影面平行面有三种：水平面（∥H面）；正平面（∥V面）；侧平面（∥W面）。

表3-4列出了三种投影面平行面的投影情况和特征。现以正平面为例，进一步说明其投影特征。水平面共3页第1页正平面共3页第2页侧平面共3页第3页投影面平行面的投影特性：1）在其所平行的投影面上的投影，反映平面图形的实形；2）在另外两个投影面上的投影均积聚成直线，且平行于相应的投影轴。（3）一般位置平面对三个投影面都倾斜的平面，称为一般位置平面。图3-5所示△ABC是一般位置平面，由于它对三个面都倾斜，所以三个投影均不反映实形，是原图形的类似形。同时各投影也不反映该平面对各投影面的倾角α、β、γ。由此得到一般位置平面的投影特性是：一般位置平面在三个投影面上的投影均为原图形的类似形，且形状缩小。图3-5一般位置平面的投影六．思考与练习1．什么叫平面立体，平面立体有何特点？2．根据如图3-6所示三棱锥想像其投影是什么样的？提示：三棱锥放置时下表面与水平面平行，看不见的那个边与正面平行。3.一立体的不完全投影如图3-7所示，请根据已有的投影想像其空间结构，并补全其各面投影。图3-6题2图图3-7题3图任务2平面截切体的投影一．任务内容一立体的不完全投影如图3-7所示，请根据已有的投影想像其空间结构，补全其各面投影。图3-7任务图二．任务目的1．学习平面与平面立体交线的求解方法。2．学习点的投影和直线的投影。三．任务知识1．点的投影点是最基本的几何元素，一切几何形体都可看成是点的集合。点在三投影面体系中的投影规律如图3-8所示。1）点的正面投影和水平投影的连线垂直于OX轴；2）点的正面投影和侧面投影的连线垂直于OZ轴；3）点的水平投影和侧面投影具有相同的Y坐标。

（a）（b）（c）图3-8点在三投影面体系中的投影（2）点的直角坐标与三面投影规律1）空间点具有三个坐标（x,y,z）。而该空间点的任一投影，均反映了该点的某两个坐标值，即a(xA,yA),a＇(xA,zA),a″(yA,zA)。2）空间点的每一个坐标值，反映了该点到某投影面的距离。由上可知，点A的任意两个投影反映了点的三个坐标值。有了点A的一组坐标（xA,yA，zA），就能唯一确定该点的三面投影（a,a′,a″）。六．思考与练习（3）两点间的相对位置两点间的相对位置是指空间两点之间上下、左右、前后的位置关系。根据两点的坐标，可判断空间两点间的相对位置。两点中，x坐标值大的在左，；y坐标值大的在前；z坐标值大的在上。图3-9（a）中，xA>xB，则点A在点B之左；yA>yB，则点A在点B之前；zA<zB，则点A在点B之下。即点A在点B之左、前、下方，如图3-9（b）所示。（a）（b）图3-9两点间的相对位置（4）重影点属于同一条投射线上的点，在该投射线所垂直的投影面上的投影重合为一点。空间的这些点，称为该投影面的重影点。在图3-10中，空间两点A、B属于对H面的一条投射线，则点A、B称为H面的重影点，其水平投影重合为一点a（b）。同理，点C、D称为对V面的重影点，其正面投影重合为一点c′（d′）。（a）（b）图3-10重影点二．任务目的2．直线的投影直线的投影一般仍为直线，特殊情况下，可积聚成一点。根据初等几何知识：两点确定一条直线。我们用直线段的投影表示直线的投影，即作出直线段上两端点的投影，则两点的同面投影连线为直线的投影，如图3-11所示。另外，已知直线上一点的投影和该直线的方向，也可画出该直线的投影。（a）（b）（c）图3-11直线的投影3．截交线（1）截交线的概念平面与立体相交，可设想为立体被平面所截，这个平面称为截平面；截平面与立体表面的交线称为截交线；截交线所围成的封闭区域称为截断面。如图3-12所示。图3-12截交线与截平面（2）截交线的性质因截交线为平面与立体表面的交线，因此截交线具有以下性质：1）共有性截交线既属于截平面又属于立体表面，为截平面与立体表面的共有线。2）封闭性由于立体是由不同表面所包围成的一个封闭空间，因此截交线是一个封闭的平面图形。3）截交线的形状截交线的形状取决于被截立体的几何性质及其与截平面的相对位置。若平面与平面立体相交，其截交线为封闭的平面折线；若平面与曲面立体相交，其截交线为封闭的平面曲线或平面曲线和直线围成的封闭的平面图形。（3）求截交线的方法截交线是由那些既在截平面上，又在立体表面上的点集合而成。截交线的求法，可归结为求截平面和立体表面的共有点的问题。求出这些共有点的各面投影后，按其可见性用实线或虚线将这些截交线上的点依次连成平面多边形或平面曲线即为所求截交线的投影。求截交线的一般方法有：1）积聚性法已知截交线的两个投影(截平面有积聚性的一个投影和被截切立体表面有积聚性的一个投影)，根据共有点性质和共有点所在表面的积聚性，求出截交线的另一个投影的方法称为积聚性法。2）辅助线法过截交线上任一点在立体表面上作辅助线，通过辅助线的三面投影求截交线上该点的各面投影，进而求出截交线投影的方法称为辅助线法。3）辅助面法过截交线上的任意一点作辅助平面（一般为特殊面），而该辅助平面与截平面、被截立体表面必然相交，根据三面共点的几何原理，求解截交线上点的投影的方法称为辅助面法。（4）求截交线的一般步骤1）形体分析①分析组成立体表面形状。②分析截平面和立体或回转轴线相对位置。③初步判断截交线的形状。2）求截交线上各端点的投影。3）判别各点可见性，依次连接各端点。4）判别总体可见性，完成作图。5）检查。四．任务实施1.分析由图3-7所示可以看出该立体原型是一个三棱锥，且该三棱锥被一个侧垂面所截。截三棱锥的平面与三棱锥的三个表面相交必然会有三条交线，因此截断面的形状是一个三角形。截断面之上的部分被切掉，下面的部分被保留。因截交线的形状是一个三角形，因此，只需求出其三个端点即可。而三个端点是截平面与三条棱线的交点。2.任务实施过程（1）对该立体的各个顶点进行标记如图3-13所示。（2）补画各面投影。绘图过程如表3-5所示。（a）立体图（b）平面图图3-13顶点标记1．求点D、E、F的正面与水平面投影共5页第1页2．连接截交线共5页第2页3．加深截交线共5页第3页4．加深其它图线共5页第4页5．擦除多余图线共5页第5页五．相关知识1.各种位置直线及其投影特性根据直线相对投影面的位置不同，直线可分为三类：投影面平行线；投影面垂直线；一般位置直线。前两类统称为特殊位置直线。 直线与其水平投影、正面投影、侧面投影的夹角，分别称为该直线对投影面H、V、W的倾角，分别用α、β、γ表示。（1）投影面平行线及其投影特性平行于某一个投影面，而与另外两个投影面倾斜的直线称为投影面平行线。它又分为三种：水平线（只∥H面）；正平线（只∥V面）；侧平线（只∥W面）。下面以水平线为例介绍其投影特性。水平线水平线投影特性

1）水平线的正面投影平行OX轴，侧面投影平行于OY轴，且均小于实长。因为AB上各点与H面等距，即z坐标相等，所以a′b′∥OX,a″b″∥OY。同时，a′b′=AB·cosß<AB，a″b″=AB•cosγ<AB。2）水平线的水平投影反映直线实长。因为ABba是矩形，ab∥AB，所以ab=AB。3）水平线的水平投影与OX、OY轴的夹角分别反映该直线对V面、W面的倾角β、γ。因为AB∥ab，a′b′∥OX，a″b″∥OY，所以ab与OX、OY的夹角即为AB对V面、W面的真实夹角β、γ。正平线侧平线投影面平行线的投影特性为：1）在它所不平行的两个投影面上的投影平行于相应的投影轴，但不反映实长。2）在它所平行的投影面上的投影反映实长，且与投影轴的夹角，分别反映该直线对另两个投影面的真实夹角。（2）投影面垂直线及其投影特性 垂直于某一个投影面，而与另外两个投影面平行的直线，称为投影面垂直线。它分为三种：铅垂线（⊥H面）；正垂线（⊥V面）；侧垂线（⊥W面） 下面以铅垂线为例，介绍其投影特性：铅垂线铅垂线投影特性：1）由于AB垂直H面，所以A、B两点对H面的投影积聚为一点；2）AB垂直H面，必平行V、W面，所以AB在V、W面上的投影均反映实长；3）直线AB垂直H面，必垂直OX、OY轴，所以a′b′⊥OX轴，a″b″⊥OYW轴。正垂线侧垂线投影面垂直线的投影特性为：1）直线在所垂直的投影面上的投影积聚为一点；2）另外两个投影面上的投影垂直相应的投影轴，且反映线段的实长。（3）一般位置直线 对三个投影面都倾斜的直线，称为一般位置直线。图3-14表示一般位置直线AB的三面投影。因为α、β、γ均不等于零，所以ab=AB•cosα<AB,aˊbˊ=AB·cosβ<AB,a″b″=AB·cosγ<AB，一般位置直线的投影与相应投影轴的夹角,都不反映该直线对投影面的倾角。

由上述可知，一般位置直线的投影特性为：三个投影都倾斜于投影轴，且不反映该直线的实长；投影与投影轴的三个夹角，都不反映直线对投影面的倾角。（a）（b）图3-14一般位置直线2.点与直线的相对位置(1)点与直线的从属关系点与直线的从属关系有两种情况，即点在直线上和点不在直线上。判断点是否在直线上的定理： 定理3-1：若点在直线上，则点的各面投影必在直线的同面投影上。反之，若点的各面投影均在直线的同面投影上，则点必在该直线上。 如图3-15所示，点C在直线AB上，其水平投影c必在ab上，正面投影c′必在a′b′上。D、E两点都不在直线AB上。（a）（b）图3-15点与直线的从属关系 定理3-2：若点在直线上，则点分直线长度之比等于其投影分直线投影之比。反之，若点投影分直线各投影长度之比相等，则该点必此在直线上。 如图3-16所示,因a′m′:m′b′≠am:mb,故点M不在AB上。 （a）（b）图3-16判断点是否在直线上（2）两直线的相对位置 两直线的相对置有三种情况:平行、相交、交叉。平行和相交的两直线均属于同一平面(共面)的直线,而交叉两直线则不属于同一平面(异面)的直线。下面分别讨论它们的投影特性。1）两直线平行 定理：若空间两直线互相平行，则两直线的各同面投影必定互相平行。反之，若两直线的各同面投影互相平行，则两直线在空间也必定互相平行。 定理：若两直线平行，其长度之比等于各同面投影长度之比。 如图3-17（a）（b）（c）所示（a）（a）共2页第1页（b）（c）图3-17平行两直线的投影共2页第2页2）两直线相交 定理：若两直线在空间相交，则它们的各同面投影必相交，且交点符合点的投影规律。反之，如果两直线的各同面投影相交且交点符合点的投影规律，则此两直线在空间必定相交。(如图3-18所示) 定理：若两条直线各面投影均相交，且交点分直线之比等于其投影分直线投影之比，则两直线必相交。(如图3-19所示)（a）（b）图3-18相交两直线的投影共2页第1页（a）（b）图3-19判断两直线是否相交共2页第2页3）交叉两直线 既不平行也不相交的两直线,称为交叉两直线。

图3-17（b）（c）和图3-19所示直线AB与直线CD不相交又不平行，故两者交叉。六．思考与练习1．平面截切体的截交线的形状由什么决定？2．平面截切体上截交线的求解方法是什么？3．平面立体上任意两点间的连线是什么线？4．直线如何分类，各类直线有何投影特性？5．如何判断两条直线之间的关系？6．一立体的不完全投影如图3-20所示，请根据已有的投影想像其空间结构，并补全其各面投影。7．若将一个圆柱置于投影体系中，那么圆柱的投影如何表达？图3-20任务图任务3回转体的投影一．任务内容 如图3-21所示，一圆柱底圆直径为30，高度为40，请想像并绘制其三面投影。图3-21任务图二．任务目的1．学习有关回转体的基础知识。2．学习回转体的投影特性。三．任务知识1．回转体的概念（1）回转面：由一条动线绕着一条定直线回转一周而形成的立体表面称为回转面。（2）回转轴：保持不动的定直线称为回转轴；（3）母线：绕回转轴旋转的动线称为母线；（4）素线：回转面上任意位置的母线称为素线；（5）纬圆：母线上任意点的旋转轨迹是一个圆，称为纬圆。（6）转向轮廓线：从某一方向上观察立体时，立体可见部分与不可见部分的分界线称为转向轮廓线。（7）回转体：回转面或回转面和平面构成的立体称为回转体。如圆柱、圆锥、圆球、圆环等。 如图3-22所示图3-22回转体2.回转面的特点（1）垂直于回转轴的平面与回转面相交，其交线为一与回转轴垂直的圆(纬圆)。（2）包含回转轴的平面与回转面相交，其交线与母线形状相同。3.回转体的投影方法 回转体一般由回转面(如圆球、圆环等)或回转面与平面围成（如圆柱、圆锥等）。因此，回转体的投影也就归结为回转面的投影与平面的投影。而回转面的投影一般用转向轮廓线表达。平面的投影可用我们前面所学过的知识表达。四．任务实施1.任务分析 圆柱由顶面，底面和圆柱面围成。圆柱面是由一直母线绕与之平行的轴线回转而成。若按图3-23所示位置放置，该圆柱各面分析如表3-8所示。表3-8圆柱表面分析表圆柱表面相对投影面位置正面投影水平投影侧面投影顶面和底面水平面直线反映实形（圆）直线圆柱面铅垂面矩形圆矩形图3-23圆柱2.任务实施过程（1）确定坐标系及45º辅助线。（2）绘制视图对称中心线和基准线。（3）绘制水平投影。（4）绘制正面投影及侧面投影。（5）分析可见性。（6）检查。结果如图3-24所示。图3-24圆柱的投影五．相关知识1.其它回转体的投影（1）圆锥的投影（2）圆球的投影（3）圆环的投影（a）三面投影原理图（b）三视图图3-25圆锥的三面投影原理图与三视图（a）三面投影原理图（b）三视图图3-26圆球的三面投影原理图与三视图图3-27圆环三视图2.回转体表面上取点 回转体表面取点的方法 首先，确定点所在的表面，并分析该表面的投影特性，若该表面垂直于某一投影面，则点在该投影面上的投影必落在该平面的积聚性投影上。即利用积聚性法求解点的投影，再利用点的投影规律求解点的其它投影面投影。若点所在的表面不具有积聚性，一般考虑使用。圆柱表面取点的步骤1）确定点所在的表面。2）分析点所在表面的投影特性。3）根据点所在平面的投影特性利用积聚性法、辅助直线法或辅助平面法进行求解求解点的投影。4）根据点所处圆柱表面的位置，确定点的可见性。5）检查。 【例3-1】已知圆柱上点A、B、C的正面投影，请做出它们的其它两面投影。题目答案

（a）原题（b）作图结果 【例3-2】如图3-29所示，已知圆锥上点M、N、F、H的正面投影，请作出它们的其它两面投影。题目答案（a）原题（b）答案 【例3-3】如图3-30所示，已知圆球表面上点A、B、C的正面投影，请作点A、B、C的其它两面投影。题目答案（a）原题（b）答案 【例3-4】如图3-31所示，已知圆环上一点M的正面投影，请做出点M的其它两面投影。题目答案（a）原题（b）答案六．思考与练习1．什么叫回转体？回转体有何特点？2．描述常见回转体的投影？3．圆柱被平面截的投影有哪些可能？如何表达？4．圆锥被平面截的投影有哪些可能？如何表达？任务4回转截切体的投影一．任务内容 一立体的不完全投影如图3-32所示，请根据已有的投影想像其空间结构，补全其各面投影。图3-32任务图二．任务目的1．学习回转体截交线的求解方法。2．熟悉各种回转体截交线的特点。三．任务知识1.回转体表面上截交线的性质（1）截交线上每一点均为截平面与回转面的共有点。（2）截交线为封闭的平面曲线。2.回转体表面上截交线的求解步骤（1）形体分析 1）分析组成立体表面形状。 2）分析截平面和立体或回转轴线相对位置。 3）初步判断截交线的形状。（2）求截交线上特殊点（顶点，极限点等）和中间点的投影。（3）判别各点可见性，光滑连接。（4）判别总体可见性，完成作图。（5）检查。四．任务实施1.任务分析 由图3-32可以看出，该立体是由一个正垂面截切圆柱而成。（1）正垂面相对于圆柱轴线倾斜且正垂面与圆柱的上下圆柱面没有相交，故正垂面截切圆柱生成的截交线为一椭圆；截交线在正面的投影积聚成一条直线段。（2）因截交线上的点均在圆柱面上，而圆柱面在水平面的投影均积聚在圆柱在水平面的投影——圆上。因此截交线在水平面的投影为圆，并与圆柱在水平面的投影相重合。（3）因正垂面与侧面相倾斜，因此截交线在侧面的投影为它的类似形——椭圆。圆柱截切体的空间结构如图3-33所示。图3-33圆柱空间结构2.任务实施过程（1）绘制圆柱截切体在水平面的投影——圆。（2）标注特殊点：Ⅰ、Ⅲ、Ⅴ、Ⅶ在水平面的投影。这些点是截交线的最左、最前、最右、最后点，并求出这些点其它两面投影，如图3-34所示。（3）标注中间点：Ⅱ、Ⅳ、Ⅵ、Ⅷ在在水平面的投影（注意：标注时，使四个中间点相互对称，可以简化操作）并求出这些点其它两面投影，如图3-34所示。（4）将这些点的侧面投影依次光滑连接起来，即为所求的截交线的侧面投影。结果如图3-34所示。（5）绘制其它位置的投影线，如图3-34所示。（6）检查。五．相关知识图3-34实施过程1.圆柱截交线 由于截平面与圆柱体的相对位置不同，截交线的形状可分为以下几种：（1）圆（2）矩形（3）椭圆（4）复合图形截交线为圆共4页第1页截交线为矩形共4页第2页交线为椭圆共4页第3页交线为复合图形共4页第4页2.圆锥的截交线（1）直线：:截平面过锥顶；如表3-22（A）所示。（2）圆:：截平面垂直于轴线；如表3-22（B）所示。（3）椭圆：截平面与轴线倾斜；如表3-22（C）所示。（4）抛物线；如表3-22（D）所示。（5）双曲线一支；如表3-22（E）所示。直线共5页第1页圆共5页第2页椭圆共5页第3页抛物线共5页第4页双曲线一支共5页第5页

【例3-5】如图3-35（a）所示，求圆锥被正垂面截切后的截交体投影。（1）形体分析1）正垂面相对于圆锥轴线倾斜且与圆锥素线不平行,因此属于圆锥截交线的第三种情况,但截平面又与圆锥的下表面相交，因此截交线为椭圆弧与直线段组成的封闭图形，如表3-22C、D所示；截交线在正面的投影积聚成一条直线段。2）因正垂面与水平面相倾斜，因此截交线在水平面的投影为它的类似形——椭圆弧与直线组成的封闭图形。3）因正垂面与侧面相倾斜，因此截交线在侧面的投影为它的类似形——椭圆弧与直线组成的封闭图形。（2）作图方法与步骤1）标注特殊点Ⅰ、Ⅲ、Ⅴ、Ⅶ的正面的投影。这些点是截交线的最左、最前、最右、最后点，求出这些点的其它两面投影，如图3-35（b）所示。2）标注中间点Ⅱ、Ⅳ、Ⅵ、Ⅷ的正面的投影。求出这些点的其它两面投影，如图3-35（b）所示。3）将这些点的水平面投影和侧面投影依次光滑连接起来，即为所求的截交线的水平面投影和侧面投影，结果如图3-35（b）所示。4）检查。（a）原题（b）答案3.球的截交线 任何截平面与圆球相交，截交线都是圆；当圆平行于投影面时，圆在投影面上的投影是圆；当圆倾斜于投影面时，圆在投影面上的投影是椭圆；当圆垂直于投影面时，圆的投影为直线。圆或直线椭圆 【例3-6】如图3-36（a）所示，求作圆球截切体的水平面投影和侧面投影。（1）形体分析 截平面为正垂面，截交线是圆，且截交线在正投影面的投影积聚成一条直线；在水平面和侧面的投影为椭圆。（a）原题（2）作图方法与步骤1）标注特殊点Ⅰ、Ⅲ、Ⅴ、Ⅶ的正面投影，并作出它们的其它两面投影。2）标注中间点Ⅱ、Ⅳ、Ⅵ、Ⅷ的正面投影，并作出它们的其它两面投影。3）依次光滑连接各点的同面投影，即为所求的圆球截切体的截交线各面投影。4）作为圆球转向轮廓线在各面的投影，并判断它们的可见性。5）整理，去除圆球截切体投影中不存在的图线。结果如图3-36（b）所示。6）检查。（b）答案4.组合体的截交线 当平面与组合体相截时，可分别讨论该截平面与各基本体的截交线情况，再分析截平面截切各基本体相交处的情况。 【例3-7】请求出如图3-37所示组合截切体的各面投影。（1）形体分析 1）截平面为水平面，截交线在正投影面和侧立投影面上的投影积聚成直线；在水平面的投影为反映实形。 2）截平面与被截的圆柱体的轴线相平行，因此截平面与两圆柱的截交线都是矩形。而截平面与两圆柱的截交线在同一个平面上，因此应去除平面中的一些多余线段。如图3-38（b）所示。图3-37同轴圆柱组合体的截交线（2）作图方法与步骤1）作出组合体在水平面和侧面的投影。2）标注截交线上的转折点：Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ、Ⅵ、Ⅶ、Ⅷ的正面投影，并作出它们的其它两面投影。3）做出截交线在侧面的投影——直线。4）依次连接各点在水平面的投影。5）整理，将点Ⅱ和点Ⅶ间的粗实线改为虚线（原因请读者自行分析）。结果如图3-38（a）所示。6）检查。此处无线（a）平面图（b）立体图图3-38同轴圆柱体截切体的三视图

【例3-8】请求出如图3-39所示组合体在水平面和侧面的投影。1．形体分析 分析组合体表面的组成情况及表面特征。 （1）由图3-39可以看出,该组合体是由圆锥和圆柱组合而成，且圆锥的底圆直径与圆柱的底圆直径相等。截切平面有两个，一个为水平面，另一个是侧平面。 （2）水平截切面同时截切圆锥和圆柱，并与它们的轴线相平行，因此该截切面截得的截交线是由双曲线和矩形组合而成的平面图形。侧平截切面截切圆柱的一部分，并与圆柱的轴线相垂直，因此该截切面截得的截交线为圆弧和直线组合而成的平面图形。 （3）组合体的立体结构如图3-40（a）所示。图3-39求组合体在水平面和侧面的投影2．根据组合体表面的投影特性，确定截交线投影的求解方法。 由图3-39可知，截切平面相对于投影面和组合体都处于特殊位置，当与轴线垂直的平面截切组合体时，所得到的截交线均为圆，因此应采用辅助平面法求截交线上的点。3．做出截交线在侧面的投影。 截交线在侧面的投影是一条直线。由截平面的正面投影直接可以根据高平齐做出。4．标出并求出截交线上特殊点与中间点的投影。 在主视图上标出特殊点Ⅰ、Ⅳ、Ⅴ、Ⅵ、Ⅶ和中间点Ⅱ、Ⅲ的正面投影。并利用辅助平面法求出这些点的其它两面投影。5．判别各点可见性，进行光滑连线。 因水平截交线与水平面平行，因此各点在水平面的投影均可见。光滑依次连接各点。得到截交线的水平投影。6．判别整体可见性，完成作图。 因水平截交线均在同一个平面内，因此截交线围成一个封闭的平面图形，点Ⅳ、Ⅴ间不应有直线。结果如图3-40（b）所示。7．检查。 注意圆锥与圆柱相交处原有交线，被截平面截切后点4、5间的部分被截平面截掉，但其他部分仍存在；而圆柱与圆锥的交线仅被截掉上面一部分，下面的部分仍然存在，因此点4、5间应有虚线，如图3-40（b）所示。有实线有虚线（a）立体图（b）平面图图3-40同轴圆柱、圆锥组合体的截交线六．思考与练习1．圆柱的截交线有哪几种情况？2．圆锥的截交线有哪几种情况？3．圆球的截线有哪几种情况？4．求解组合体的截交线时应注意哪些问题？5．一立体的不完全投影如图3-41所示，请根据已有的投影想像其空间结构，补全其各面投影。6．如图3-42所示，两圆柱正交，其三视图如何表达？图3-41练习图任务5相交立体的投影一．任务内容 两圆柱正交，如图3-42所示，请绘制其三视图。图3-42任务图二．任务目的1．学习相贯线的有关概念。2．掌握相贯线的求解方法。三．任务知识1.相贯线的概念 工程制图中将立体表面间的交线称为相贯线,如图3-43所示。工程上画出相贯线的意义，在于用它来完整、清晰地表达出零件各部分的形状和相对位置，为准确读图和制造零件提供条件。工程上最常见的相贯线是回转体表面间的交线。相贯线相贯线图3-43相贯线2.相贯线的性质（1）共有性:相贯线是两相交立体表面的共有线，也是两立体表面的分界线，则相贯线上的点为两立体表面的共有点。（2）封闭性:由于立体结构形状具有一定的空间范围，故相贯线一般为封闭的空间曲线，特殊的为平面曲线或平面多边形。（3）相贯线的形状:相贯线的形状与相交两立体的表面特征有关，与相交两立体间的相对位置有关。3.求相贯线投影的方法 求相贯线投影最常用的方法是表面取点法。表面取点法是指通过求取相贯线上各点的各面投影，并将各点同面投影依次光滑连接起来近似代替相贯线投影的方法。4.求相贯线的步骤（1）形体分析。分析相贯体表面的组成情况及表面特征，推断相贯线的结构形状。（2）根据相贯体表面的投影特性，确定相贯线上点投影的求取方法。（3）标出并求出相贯线上特殊点与中间点的各面投影。（4）判别各点可见性，进行光滑连线。（5）判别整体可见性，完成作图。（6）检查。四．任务实施任务分析（1）大小圆柱轴线分别垂直于侧面，水平面。交线为一条封闭的空间曲线。（2）由大小圆柱位置可知:大圆柱在侧面，小圆柱在水平面投影具有积聚性，且都是积聚成圆。（3）因相贯线上的所有点都在小圆柱的表面上，而小圆柱表面上的所有点在水平面的投影都积聚在水平面的小圆上，因此,相贯线在水平上的投影就是水平面上的小圆。（4）因相贯线上的所有点都在大圆柱的表面上，而大圆柱表面上的所有点在侧面的投影都积聚在侧面的大圆上，因此，相贯线在侧面上的投影就是侧面大圆上的一段（大圆柱与小圆柱重合部分）。（5）因相贯线前后对称，因此相贯线在正面的投影形状如图3-44所示。（6）根据本题的特点，相贯线上的点的求解可以有两种方法。一种方法为积聚性法，根据相贯线上所有点在水平面的投影均在小圆柱水平投影那个圆上，进而求出这些点在其它两面的投影；第二种方法为辅助面法，可以假想用一辅助水平面与两圆柱均相交，因假想的是一水平面，因此该辅助平面与小圆柱的截交线是圆，而与大圆柱的交线是矩形，则矩形与圆的交点必为相贯线上的点，根据这种原理来求解相贯线上点的投影。2.任务实施过程（1）作相贯线在水平面的投影——小圆，如图3-44所示。（2）求取相贯线上的点的投影方法一：积聚性法方法二：辅助面法（3）作相贯线在侧面上的投影，即为3＂和7＂之间的圆弧。（4）在正面依次光滑连接各点，即为所求相贯线在正面的投影。因4＇与6＇、3＇与7＇、2＇与8＇是重影点，因此，6＇、7＇、8＇不可见，结果如图3-44所示。（5）补全大小圆柱在水平面和侧面的投影，结果如图3-44所示。（6）检查。方法一：积聚性法1）在相贯线的水平面上的投影——圆上取特殊点Ⅰ、Ⅲ、Ⅴ、Ⅶ并求出这些点在正面和侧面上的投影，如图3-44所示。2）在相贯线的水平面上的投影——圆上取中间点Ⅱ、Ⅳ、Ⅵ、Ⅷ，并求出这些点在正面和侧面上的投影，如图3-44所示。方法二：辅助面法1）在相贯线的水平面上的投影——圆上取特殊点Ⅰ、Ⅲ、Ⅴ、Ⅶ，并求出这些点在正面和侧面上的投影。2）在正面投影上合适位置作辅助水平面PV与两圆柱均相交，并求出该辅助平面与两圆柱的截交线各面投影。两截交线投影的交点Ⅱ、Ⅳ、Ⅵ、Ⅷ，即为相贯线上点的投影。 如图3-44所示。图3-44一般画法求相贯线五．相关知识1.本任务的简化画法（1）分析: 该结构为两圆柱正交。