计算机数制与数值编码

计算机硬件基础本课程内容：第一章计算机中数据信息的表示及运算第二章计算机中逻辑运算及逻辑部件第三章中央处理器第四章指令系统和汇编语言第五章存储器第六章外存储设备第七章计算机输入输出接口第八章计算机常用外部设备第一章

计算机中数据信息的表示及运算1.1 数制1.1.1进位计数制进位计数制：用少量的数字符号（也称数码），按先后次序把它们排成数位，由低到高进行计数，计满进位，这样的方法称为进位计数制基数：进位制的基本特征数，即所用到的数字符号个数。例如10进制：0~9十个数码表示，基数为10权：进位制中各位“1”所表示的值为该位的权常见的进位制：2，8，10，16进制。1.十进制(Decimal)基数:10;符号:0,1,2,3,4,5,6,7,8,9；计算规律:“逢十进一”或“借一当十”并列表示:N10=dn-1dn-2••••••d1d0d-1d-2

••••••d-m十进制数的多项式表示: N10=dn-1×10n-1+

dn-2×10n-2+

••••••d1×101+

d0×100+

d-1×10-1+

d-2×10-2+••••••d-m×10-M

其中：m、n为正整数；di表示第i位的系数；10i称为该位的权.例如：123.45=1×102+2×101+3×100+4×10-1+5×10-22、二进制(Binary)基数:2符号:0、1计算规律:逢二进一或借一当二二进制的多项式表示:N2=dn-1×2n-1+

dn-2×2n-2+

••••••d1×21+

d0×20 +

d-1×2-1+

d-2×2-2+••••••d-m×2-m 其中：m、n为正整数；di表示第i位的系数；2i称为该位的权例如:一个二进制数(1101.01)2的表示 .(1101.01)2=1×23+1×22+0×21+1×20+0×2-1+1×2-2=(13.25)10二进制数的性质移位性质：小数点左移一位，数值减小一半小数点右移一位，数值扩大一倍奇偶性质：最低位为0，偶数最低位为1，奇数二进制数的特点优点：只有0，1两个数码，易于用物理器件表示。电位的高低，脉冲的有无，电路通断等都比较容易区别，可靠性高运算规则简单理论证明采用R=e=2.71828进制时，存储设备最省，取3进制比2进制省设备，但2进制易表示。二进制的0，1与逻辑命题中的真假相对应，为计算机中实现逻辑运算和逻辑判断提供有利条件。缺点：书写冗长，不易识别，不易发现错误3、八进制(Octal)基数:8符号:0,1,2,3,4,5,6,7计算规律:逢八进一或借一当八八进制的多项式表示:N8=dn-1×8n-1+

dn-2×8n-2+

••••••d1×81+

d0× 80+

d-1×8-1+

d-2×8-2+••••••d-m×8-m 其中：m、n为正整数；di表示第i位的系数；8i称为该位的权.例如八进制数(376.54)8的表示 (376.54)8=3×82+7

×81+6

×80+5

×8-1+4

×8-24、十六进制(Hexadecimal)基数:16符号:0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F计算规律:逢十六进一或借一当十六十六进制的多项式表示:N16=dn-1×16n-1+

dn-2×16n-2+

••••••d1×161+

d0×160+

d-1×16-1+

d-2×16-2+••••••d-m×16-m其中：m、n为正整数；di表示第i位的系数；16i称为该位的权.例如十六进制数(2C7.1F)16的表示(2C7.1F)16=2×162+12×161+7×160+1

×16-1+15×16-21.1.2进位计数制之间的转换1、R进制转换成十进制的方法按权展开法:先写成多项式,然后计算十进制结果.N=dn-1dn-2••••••d1d0d-1d-2

••••••d-m =dn-1×Rn-1+

dn-2×Rn-2+

••••••d1×R1+

d0×R0+

d-1×R-1+

d-2×R-2+••••••d-m×R-m例如:

写出(1101.01)2,(237)8,(10D)16的十进制数(1101.01)2=1×23+1×22+0×21+1×20+ 0×2-1+1×2-2=8+4+1+0.25=13.25(237)8=2×82+3×21+7×20=128+24+7=159(10D)16=1×162+13×160=256+13=2692、十进制转换成二进制方法一般分为两个步骤：整数部分的转换除2取余法（基数除法）减权定位法小数部分的转换乘2取整法（基数乘法）基数除法：把给定的除以基数,取余数作为最低位的系数,然后继续将商部分除以基数,余数作为次低位系数,重复操作直至商为0

例如：用基数除法将(327)10转换成二进制数2327余数216312811240122002100250221210201(327)10=(101000111)2减权定位法将十进制数依次从二进制的最高位权值进行比较，若够减则对应位置1，减去该权值后再往下比较，若不够减则对应位为0，重复操作直至差数为0。例如：将(327)10转换成二进制数256<327<512 327-256=711 71<1280 71-64=71 7<320 7<160 7<80 7-4=31 3-2=11 1-1=01乘基取整法(小数部分的转换)

把给定的十进制小数乘以2,取其整数作为二进制小数的第一位,然后取小数部分继续乘以2,将所的整数部分作为第二位小数,重复操作直至得到所需要的二进制小数例如:将(0.8125)10转换成二进制小数. 整数部分 2×0.8125=1.6251 2×0.625=1.251 2×0.25=0.50 2×0.5=11 (0.8125)10=(0.1101)2例如:将(0.2)10转换成二进制小数0.2×

2=0.4 整数部分 00.4×2=0.8 00.8×2=1.6 10.6×2=1.2 10.2×2=0.4 00.4×2=0.8 00.8×2=1.6 10.6×2=1.2 1(0.2)10=[0.001100110011….]23、其它进制之间的直接转换法二<-->八 二<-->十六00000000010008001100011100190102001021010A0113001131011B1004010041100C1015010151101D1106011061110E1117011171111F二进制转换成八进制例：(10110111.01101)2(10110111.01101)2=(267.32)8八进制对应数:267.32二进制数补位:010,110,111.011,010二进制数分段:10,110,111.011,01八进制转换二进制方法：先逐位转换，再去掉无效数位例如:(123.46)8 =(001,010,011.100,110)2 =(1010011.10011)2二进制转换成十六进制例：(110110111.01101)2(10110111.01101)2=(1B7.68)16得到十六进制:1B7.68二进制数补位:0001,1011,0111.0110,1000二进制数分段:1,1011,0111.0110,1十六进制转换成二进制方法：先逐位转换，再去掉无效数位例如:(7AC.DE)16 =(0111,1010,1100.1101,1110)2 =(11110101100.1101111)21.2数值数据的编码与表示1.2.1带符号数的编码真值:正、负号加数字绝对值的形式称为该数 字的真值。 例如：

X=+1011y=-1011机器数：在计算机中，符号必须采用数码表 达，符号数码化的数称为机器数。计算机中常用的几种机器数表示法： 原码、补码、反码、移码1、原码表示法原码表示法用“0”表示正号，用“1”表示负号，有效值部分用二进制的绝对值表示。

X1-2-(n-1)≥X≥0

[X]原=1-X=1+|X|0≥X≥-(1-2-(n-1))完成下列数的真值到原码的转换X1=+0.1011011

X2=-0.1011011[X1]原=0.1011011[X2]原=1.1011011小数：

X2n-1-1≥X≥0

[X]原=2n-1-X=2n-1+|X|0≥X≥-(2n-1-1)完成下列数的真值到原码的转换X1=+1011011

X2=-1011011[X1]原=01011011[X2]原=11011011整数：原码小数的表示范围:[+0]原=0.0000000;[-0]原=1.0000000最大值:1-2-(n-1)最小值:-(1-2-(n-1))表示数的个数:2n-

1

若二进制的位数分别是8、16,求其表示的最大值、最小值及表示数的个数8位:127/128，-127/128，25516位:32767/32768,-32767/32768,65535原码整数的表示范围:[+0]原=00000000;[-0]原=10000000最大值:2(n-1)-1最小值:-(2-(n-1)-1)表示数的个数:2n-

1

若二进制的位数分别是8、16,求其表示的最大值、最小值及表示数的个数8位:127，-127，25516位:32767,-32767,65535原码特点：表示简单，易于同真值之间进行转换，实现乘除运算规则简单。进行加减运算十分麻烦。2、补码表示法模：计量器具的容量，或称为模数4位字长的机器表示的二进制整数为：0000~1111共16种状态，模为16=24。N位字长的机器模为2n补码的定义：正数的补码就是正数的本身，负数的补码是原负数加上模。

X1-2-(n-1)≥X≥0

[x]补= 2+X=2-|X|0>X≥-1

完成下列数的真值到补码的转换X1=+0.1011011

X2=-0.1011011[X1]补=0.1011011[X2]补=1.0100101小数：

X2(n-1)-1

≥X≥0

[x]补=2n+X=2n-|X|0>X≥-

2(n-1)完成下列数的真值到补码的转换X1=+1011011

X2=-1011011[X1]补=01011011[X2]补=10100101整数：补码简易求取方法：

正数：[X]补=[X]原 负数：符号除外，各位取反，末位加1例：X=-1001001

[X]原=11001001，[X]补=10110110+1=10110111或[X]补=28+X=100000000-1001001=10110111 100000000 -1001001 10110111补码的表示范围:N位纯整数的表示范围:2n-1-1

~-2n-1N位纯小数的表示范围:1-2-(n-1)~-1

无论整数还是小数，零的表示均是唯一的。故N位纯整数或纯小数均能表示2n个数补码的优点：最大的优点就是易由[X]补求[-X]补，可将减法运算简化成加法运算。即： [X]补-[Y]补=[X]补+[-Y]补由[X]补求[-X]补的方法： 连同符号各位取反， 末位加1。例： X=+1001001 [X]补=01001001 [-X]补=101101113、反码表示法正数的表示与原、补码相同，负数的补码符号位为1，数值位是将原码的数值按位取反，就得到该数的反码表示

X1≥X≥0[X]反=(2-2-(n-1))+X0≥X>-(1-2-(n-1)) X1=+0.1011011,[X1]反=0.1011011

X2=-0.1011011,[X2]反=1.0100100小数:整数:

X2n-1

>X

≥0[X]反=(2n-1)+X0≥X>-2n-1 X3=+1011011,[X3]反=01011011

X4=-1011011,[X4]反=10100100 [+0]反=00000000;[-0]反=111111114、移码表示法[X]移=2n-1+X

2n-1-1

≥X≥

-2n-1X1=1010101[X1]补=01010101[X1]移=11010101X2=-1010101[X2]补=10101011[X2]移=001010115、机器数表示法小结[X]原、[X]反、[X]补用“0”表示正号，用“1”表示负号；[X]移用“1”表示正号，用“0”表示负号。如果X为正数，则[X]原=[X]反=[X]补。如果X为0，则[X]补、[X]移有唯一编码，[X]原、[X]反有两种编码。移码与补码的形式相同，只是符号位相反。1.2.2计算机中数的表示方法数值范围：一种数据类型所能表示的最大值 和最小值数据精度：实数所能表示的有效数字的位数。数值范围和数据精度均与使用多少位二进 制位数以及编码方式有关。计算机用数字表示正负，却隐含规定小数点，采用“定点”、“浮点”两种表示形式。1、数的定点表示方法1）有符号数的定点表示（1）定点整数——小数点位置固定在数的最低位之后如：Dn-1Dn-2••••••D1D0

.范围：

2n-1-1

~

-2n-1(16位时32767~-32768)（2）定点小数——小数点位置固定在数的符号位之后 、数值最高位之前。如：D0.

D-1••••••D-(n-2)D-(n-1)范围：1-2-(n-1)~-1

(16位时32767/32768~-1)2）无符号数的定点表示（1）定点整数——小数点位置固定在数的最低位之后

如：Dn-1Dn-2••••••D1D0.N位无符号定点整数可表范围：

0~

2n-1

（2）定点小数——小数点位置固定在数值最高位之前

如：.D0D-1••••••D-(n-2)D-(n-1)N位无符号定点小数可表范围：0~

1-2-(n)1、数的定点表示方法1）浮点数的表示：是把字长分成阶码和尾数两部分。其根据就是：①JEm-2…….E0S

D-1……D-(n-1)

阶符阶码值数符.尾数值

②

SJEm-2…….E0D-1……D-(n-1)

数符阶符阶码值.尾数值通常，阶码为补码或移码定点整数，尾数为补码或原码定点小数。2、数的浮点表示方法2）浮点数的规格化目的：字长固定情况下提高表示精度措施：