高中数学集合

第一节集合

完全与教材同步，主干知识精心提炼。素质和能力源于基础，基础知识是耕作“半亩方塘”的工具。视角从【考纲点击】中切入，思维从【考点梳理】中拓展，智慧从【即时应用】中升华。科学的训练式梳理峰回路转，别有洞天。去尽情畅游吧，它会带你走进不一样的精彩！三年34考高考指数:★★★★★1.了解集合的含义、元素与集合的“属于”关系.2.能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题.3.理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集.4.在具体情境中,了解全集与空集的含义.5.理解两个集合的并集与交集的含义,会求两个简单集合的并集与交集.6.理解在给定集合中一个子集的补集的含义,会求给定子集的补集.7.能使用Venn图表达集合的关系及运算.1.集合的运算是高考考查的重点.2.常与函数、方程、不等式交汇，考查学生借助Venn图、数轴等工具解决集合的运算问题的能力，要求学生具备数形结合的思想意识.3.以选择题、填空题的形式考查，属低档题.1.集合的基本概念（1）元素的特性①________②________③________（2）集合与元素的关系（3）集合的分类①________②________③_______确定性互异性无序性∈

有限集无限集空集（4）常见集合的符号(5)集合的表示方法①_________②_________③__________列举法描述法Venn图法________NN*或N+ZQRØ自然数集正整数集整数集有理数集实数集空集__________________【即时应用】(1)判断下列结论是否正确（请在括号中填写“√”或“×”）：①Z={全体整数}()②R={实数集}={R}()③{(1，2)}={1，2}()④{1，2}={2，1}()（2）若集合A={1，a2}，则实数a不能取的值为________.【解析】(1)①不正确，正确写法为Z={整数};②不正确，正确写法为R={实数}；而{R}表示以实数集为元素的集合；③不正确，集合{（1，2）}表示元素为点（1，2）的点的集合，而{1，2}则表示元素为数1，2的数的集合，它们是不相等的；④正确，根据集合中元素的无序性可知{1，2}={2，1}.（2）由a2≠1,得a≠±1.答案：（1）①×②×③×④√（2）±12.集合间的基本关系A中任意一个元素都是B中的元素A⊆B或BA

集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A

AB或BA

空集是____________的子集,是____________的真子集Ø⊆AØB(B≠Ø)集合A的___________都是集合B的元素，反过来，集合B的___________也都是集合A的元素A⊆B且B⊆A⇔A=B任意一个集合任何非空集合每一个元素每一个元素【即时应用】(1)满足{1，2，3}M{1，2，3，4，5，6}的集合M的个数是__________.(2)若A={x|x>2或x<1},B={x|a<x<a+1},若BA，则实数a的取值范围为_______.【解析】(1)由已知可得M中一定有1,2,3且含有4,5,6中的一个或两个,则共有6种情况.(2)由题意知a+1≤1或a≥2,即a≤0或a≥2.答案：（1）6（2）a≤0或a≥23.集合的基本运算A∩BA∪B若全集为U，且A⊆U,则集合A的补集为___A∩BABABAU{x|x∈A且x∈B}{x|x∈A或x∈B}={x|x∈U且xA}∈【即时应用】(1)满足条件M∪{1}={1，2，3}的集合M的个数是________.(2)设集合A={x|x2+x-6>0},B={x|y=},则A∩B=______.(3)已知全集U=R,集合A={x|-2≤x≤3},B={x|x＜-1或x＞4},那么集合A∩()等于________.【解析】（1）由题意知M={2,3}或M={1，2，3},共2个.(2)∵A={x|x<-3或x>2},B={x|x≤3},∴A∩B={x|x<-3或2<x≤3}.(3)∵={x|-1≤x≤4},∴A∩()={x|-1≤x≤3}.答案：（1）2（2）{x|x<-3或2<x≤3}(3){x|-1≤x≤3}

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集合的基本概念【方法点睛】1.注意集合中元素的互异性对于含有字母的集合,在求出字母的值后,要注意检验集合的元素是否满足互异性.2.常见集合的意义【例1】（1）设P、Q为两个非空实数集合，定义集合P+Q={a+b|a∈P,b∈Q},若P={0,2,5},Q={1,2,6},则P+Q中元素的个数是()（A）9（B）8（C）7（D）6（2）已知-3∈A={a-2，2a2+5a，12}，则a=_______.【解题指南】(1)从P+Q的定义入手，可列表求出a+b的值.(2)-3是A中的元素，说明A中的三个元素有一个等于-3，可分类讨论.【规范解答】（1）选B.根据新定义将a+b的值列表如下：由集合中元素的互异性知P+Q中有8个元素，故选B.aa+b(2)∵-3∈A,∴a-2=-3或2a2+5a=-3，∴a=-1或当a=-1时，a-2=2a2+5a=-3,不合题意;当时，A={-3，12},符合题意,故答案：【互动探究】若将本例第（2）题改为A={a-2,2a2+5a,12}，求a的取值范围.【解析】由题意知∴a≠-4,a≠-1,a≠a≠14，即a的取值范围是a∈R且a≠-4，a≠-1，a≠a≠14.【反思·感悟】1.求解本题易出现的错误就是求出答案后，不进行检验，忽视了元素的互异性.2.研究一个集合,首先要看集合中的代表元素,然后再看元素的限制条件,当集合用描述法表示时,注意弄清其元素表示的意义是什么.【变式备选】（2012·潍坊模拟）已知集合A={x|x2-2x+a>0}，且1A，则实数a的取值范围是()（A）（-∞,1）（B）(-∞,1］（C）［1,+∞)（D）(0,+∞)【解析】选B.当1∈A时，把1代入x2-2x+a>0成立，即1-2+a>0，∴a>1,∴1A时，a≤1.

集合间的基本关系【方法点睛】1.解决集合相等问题的一般思路若两个集合相等,首先分析已知元素在另一个集合中与哪一个元素相等,有几种情况等,然后列方程组求解,要注意挖掘题目中的隐含条件.2.判断两集合关系的方法判断两集合的关系常有两种方法：一是化简集合，从表达式中寻找两集合间的关系；二是用列举法表示各集合，从元素中寻找关系.【提醒】题目中若有条件BA，则应分B=和B≠两种情况讨论.

【例2】（1）已知a∈R,b∈R,若{a,1}={a2,a+b,0},则a2013+b2013=___________.（2）已知集合A={x|-2≤x≤7},B={x|m+1<x<2m-1},若BA,则实数m的取值范围是___________.（3）设A={x|x2-8x+15=0},B={x|ax-1=0},若BA，求实数a组成的集合C.【解题指南】(1)由两集合相等及a≠0知，b=0,从而a2=1.(2)分B=与B≠两种情况讨论.(3)化简集合A，结合方程ax-1=0的解的情况，分B=和B≠两种情况讨论.【规范解答】(1)由题意知，a≠0,∴=0,∴b=0.∴{a,0,1}={a,0,a2}.∴a2=1，即a=±1.经验证当a=1时不合题意，当a=-1时，符合题意.∴a=-1,∴a2013+b2013=(-1)2013+02013=-1.答案：-1(2)当B=时,有m+1≥2m-1,得m≤2,①当B≠时,有解得2＜m≤4,②由①②求并集得:m≤4.答案：m≤4(3)∵A={3,5},BA,∴当B=时，方程ax-1=0无解，则a=0,此时有BA;当B≠时，则a≠0,由ax-1=0，得即{}{3,5},∴∴【互动探究】若本例（3）条件不变.(1)当集合BA时，试求实数a的值.(2)当A∩B={3}时，试求实数a组成的集合C.【解析】(1)若BA，则B=，{3}，{5}∴(2)若A∩B={3}，则B={3},【反思·感悟】1.解答本例（2），（3）时，易忽视B=这种情况，使解题不完整，造成失分.2.已知两集合间的关系求参数时，关键是将两集合间的关系转化为元素间的关系，进而转化为参数满足的关系.求解时可合理利用数轴、Venn图帮助分析.3.子集与真子集的区别与联系：集合A的真子集一定是其子集，而集合A的子集不一定是其真子集；若集合A有n个元素，则其子集个数为2n,真子集个数为2n-1.【变式备选】1.设集合A={(x,y)|4x+y=6},B={(x,y)|3x+2y=7},则满足C(A∩B)的集合C的个数是()（A）0（B）1（C）2（D）3【解析】选C.∵A∩B={(x,y）|}={（1，2）},∴C=或C=(1,2),共两个.2.已知集合A={x|0<ax+1≤5}，集合B={x|<x≤2}.(1)若AB，求实数a的取值范围；(2)若BA，求实数a的取值范围;(3)A、B能否相等？若能，求出a的值；若不能，试说明理由.【解析】A中不等式的解集应分三种情况讨论:①若a=0,则A=R；②若a<0,则A={x|}；③若a>0,则A={x|}.(1)当a=0时，若AB，此种情况不存在.当a<0时，若AB,如图，则∴a<-8.当a>0时，若AB，如图，则∴a≥2.综上知，当AB时，a<-8或a≥2.(2)当a=0时，显然BA；当a<0时，若BA，如图，则∴当a>0时，若BA，如图，则∴0<a≤2.综上知，当BA时，(3)当且仅当AB且BA时，A=B,由（1）（2）知a=2.

集合的基本运算【方法点睛】1.集合运算的常用方法一般地，集合元素离散时借助Venn图运算；集合元素连续时借助数轴运算，借助数轴运算时应注意端点值的取舍.2.常用重要结论(1)A∩B=A⇔AB;(2)A∪B=A⇔AB.【提醒】在解决有关A∩B=，A∪B=，AB等集合问题时，一定先考虑是否成立，以防漏解，另外要注意分类讨论和数形结合思想的应用.

【例3】(1)(2011·山东高考）设集合M={x|x2+x-6<0},N={x|1≤x≤3},则M∩N=()(A)［1，2）(B)［1，2］(C)（2，3］(D)［2，3］(2)（2011·湖南高考)设全集U=M∪N={1，2，3，4，5}，M∩={2，4}，则N=()(A){1，2，3}(B){1，3，5}(C){1，4，5}(D){2，3，4}(3)(2011·辽宁高考)已知M，N为集合I的非空真子集，且M，N不相等，若N∩，则M∪N=()（A）M（B）N（C）I（D）【解题指南】（1）化简集合M，借助数轴求解.(2)借助于Venn图知从而（3）借助于Venn图寻找集合M，N的关系.【规范解答】(1)选A.∵M={x|-3<x<2},∴M∩N={x|1≤x<2}.(2)选B.∵U=M∪N,∴∴N={1，3，5}.（3）选A.如图，∵N∩,∴NM，∴M∪N=M.【互动探究】本例（2）中增加条件N∩={3，5}，试求M∩N.【解析】由本例（2）可知N={1，3，5}，同理可求M={1，2，4}，∴M∩N={1}.【反思·感悟】1.求解本例（2），（3）时，借助于Venn图，可使抽象问题直观化，从而发现集合间的关系.2.求集合的并、交、补是集合间的基本运算,运算结果仍然是集合,区分交集与并集的关键是“且”与“或”，在处理有关交集与并集的问题时，常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件，并结合Venn图或数轴进行直观表达，达到解题的目的.【变式备选】已知A，B均为集合U={1，3，5，7，9}的子集，且A∩B={3}，∩A={9}，则A=()（A）{1，3}（B）{3，7，9}（C）{3，5，9}（D）{3，9}【解析】选D.画出Venn图如图所示，则A={3，9}.

把握高考命题动向，体现区域化考试特点。本栏目以最新的高考试题为研究素材，解析经典考题，洞悉命题趋势，展示现场评卷规则。对例题不仅仅是详解评析，更是从命题层面评价考题，从备考角度提示规律方法，拓展思维，警示误区。【考题体验】让你零距离体验高考，亲历高考氛围，提升应战能力。为你顺利穿越数学高考时空增添活力，运筹帷幄、决胜千里。【创新探究】以集合为背景的新定义题【典例】（2011·广东高考）设S是整数集Z的非空子集，如果

a,b∈S有ab∈S，则称S关于数的乘法是封闭的.若T,V是Z的两个不相交的非空子集，T∪V=Z且a,b,c∈T有abc∈T;

x,y,z∈V,有xyz∈V，则下列结论恒成立的是()(A)T,V中至少有一个关于乘法是封闭的(B)T,V中至多有一个关于乘法是封闭的(C)T,V中有且只有一个关于乘法是封闭的(D)T,V中每一个关于乘法都是封闭的【解题指南】通过符合题目条件的特例对各选项进行分析.【规范解答】选A.若T={偶数}，V={奇数}，则T、V中每一个关于乘法都是封闭的，故B、C不正确；若T={非负整数}，V={负整数}，则T关于乘法是封闭的，V关于乘法不封闭，故D不正确；事实上，T、V必有一个含有1，由题目条件知含有1的这个集合一定关于乘法封闭.综合以上分析只有A正确，故选A.【阅卷人点拨】通过对本题的深入研究，我们可以得到以下的创新点拨和备考建议：1.（2012·佳木斯模拟）设全集U是实数集R，M＝{x|x2＞4}