量子力学简介

量子力学建立于1923~1927年间，两个等价的理论——矩阵力学和波动力学.

相对论量子力学（1928

年，狄拉克）：描述高速运动的粒子的波动方程.量子力学基础ErwinSchrodinger（1887～1961）第五次索尔维会议与会者合影(1927年)引言物理学的分支及近年来发展的总趋势物理学经典物理现代物理力学、振动、声学热学与统计电磁学、光学相对论量子论非线性时间(年)关键概念的发展力学电磁学热学相对论量子论16001700180019001918年、普朗克、能量子（1900）1921年、爱因斯坦、光子说和光电效应解释（1905）1922年、玻尔、原子模型及其发光（1913）1923年、密立根、电子电量测量(1911)和h的测量(1914)1925年、弗兰克和赫兹、电子原子碰撞实验（1914）1927年、康普顿和威尔逊、康普顿效应(1922)1929年、德布罗意、物质波（1924）1932年、海森伯格、量子力学（1925）1933年、薛定鄂和狄拉克、量子波动力学(1925、1927)1937年、戴维逊和汤姆逊、电子衍射实验（1927）1945年、泡利、泡利不相容原理（1924）1954年、玻恩、波函数统计解释（1926）1986年、毕宁和罗尔、扫描隧道显微镜（1981）量子力学发展过程中诺贝尔物理学奖对微观粒子的二象性的理解：1、粒子性：指它与物质相互作用时的“颗粒性”或“整体性”，具有集中的能量e与动量P。但它不是经典的粒子！因为它没有确定的轨道，应采用“概率”的概念、抛弃“轨道”的概念！2、波动性：指它在空间传播时的“可叠加性”，有“干涉”、“衍射”、“偏振”等现象，具有波长l和波矢k。但它不是经典的波！没有某种实际物理量（如质点的位移；电场、磁场）的波动分布。微观粒子在某些条件下突出地表现出粒子性，在另一些条件下突出地表现出波动性，从经典物理来看，这两种完全格格不入的性质寓于同一客体之中.电子驻波德布罗意还指出：氢原子中电子的圆轨道运动，它所对应的物质波形成驻波，圆周长应等于波长的整数倍。再根据德布罗意关系得出角动量量子化条件德布罗意关系与爱因斯坦质能关系有着同样重要意义。光速c是个“大”常数；普朗克常数h是个“小”常数。本讲提要4-1波函数及其统计意义4-2薛定谔方程4-3一维无限深势阱牛顿方程实物粒子的波粒二象性不确定关系不起作用不确定关系起作用粒子描述E,P波的描述位置，速度，粒子轨道

遵循怎样的方程？德布罗意关系式波函数4-0.回顾实部1.波函数的引入经典平面波：机械波电磁波4-1波函数及其统计意义用复数表示的波函数得到描写自由粒子的平面波波函数：利用关系这便是描述能量为E动量为p的自由粒子的德布罗意波它既不是y(位移)，又不是E(电矢量)。‘波函数’是什么？----波函数三维：实物粒子具有粒子性实物粒子具有波动性矛盾?2.物质波波函数的意义经典概念中1.有一定质量、电荷等“颗粒性”的属性;粒子意味着2.有确定的运动轨道，每一时刻有一定 位置和速度。

经典概念中1.实在的物理量的空间分布作周期性的变化;波意味着2.干涉、衍射现象，即相干叠加性。

3个问题？

(1)是怎样描述粒子的状态呢？(2)如何体现波粒二象性的？(3)描写的是什么样的波呢？（1）两种错误的看法

1）波由粒子组成

如声波，由分子密度疏密变化而形成的一种分布。这种看法是与实验矛盾的，它不能解释长时间单个电子衍射实验。单个电子就具有波动性.波由粒子组成的看法夸大了粒子性的一面，而抹杀了粒子的波动性的一面，具有片面性。事实上，正是由于单个电子具有波动性，才能理解氢原子（只含一个电子！）中电子运动的稳定性以及能量量子化这样一些量子现象。

PPQQ电子源感光屏O2）粒子由波组成电子是波包。把电子波看成是电子的某种实际结构，是三维空间中连续分布的某种物质波包。因此呈现出干涉和衍射等波动现象。波包的大小即电子的大小，波包的群速度即电子的运动速度。什么是波包？波包是各种波数（长）平面波的迭加。矛盾：

平面波--自由粒子振幅与位置无关，其特点是充满整个空间。如果粒子由波组成，那么自由粒子将充满整个空间。实验上观测到的电子，总是处于一个小区域内。例如在一个原子内，其广延不会超过原子大小≈1Å。与实验事实相矛盾。电子究竟是什么东西呢？是粒子？还是波？

“电子既不是经典粒子也不是经典波”。我们也可以说，“电子既是粒子也是波，它是粒子和波动二重性矛盾的统一。” 这个波不再是经典概念的波，粒子也不是经典概念中的粒子。电子数N=7电子数N=100电子数N=3000电子数N=20000电子数N=70000

实验中单个电子撞击屏幕位置具有随机性,但大量电子撞击的统计结果,干涉图样是可以预期的。出现概率小出现概率大电子双缝干涉图样（2）Born波函数的统计解释几率波概率密度波动观点：1926年德国物理学家波恩指出：物质波的波函数是描述粒子在空间的几率分布的“几率波”。波函数的模方

代表t

时刻r点处单位体积元dV中发现一个粒子的概率，称为概率密度。而时刻t在空间r点附近dV体积内发现粒子的概率为粒子观点：I=NhνN：粒子数密度振幅平方=波函数的模方如自由粒子波函数为在空间各点发现自由粒子的概率相等。3.波函数满足的条件.统计诠释要求，作为可以接受的波函数应满足（1）自然条件：单值、有限和连续（2）归一化条件：粒子在空间各点出现的几率总和为l，波函数应归一化据此，描写粒子的波可以认为是几率波，反映微观客体运动的一 种统计规律性，波函数Ψ(r,t)有时也称为几率波。衍射花纹的强度则用|Ψ(r,t)|2描述，但意义与经典波不同。它是量子学的基本原理。举例：薛定谔猫1990RochesteUniv.J.Yeazell&C.Stoud,PRL64:2007;电子猫；1995MITD.E.Pritchardetal.,PRL199574:4783;钠原子猫；1996NISTC.Monroe&D.J.Wineland,Science272:1131;铍离子猫；1997ENSJ.M.Raimond,M.Brune,S.Haroche,PRL79:1964;光子猫.http://www.lkb.ens.fr/recherche/qedcav/english/englishframes.html若只做一个小时的实验，按照量子论的说法，猫将处在“不死不活”的叠加态，这对一个宏观的动物猫来说显然是荒谬的，然而量子论的确会给出这一预言，量子论的预言正确吗？1935薛定谔的著名猫佯谬:

一个箱子里有一只猫和一盛有氰化物的密封容器，箱内有微量放射性物质R，其半衰期保证二小时内有一个原子衰变，衰变原子放射射线触发继电器砸碎装有氰化物的容器，这样猫便立即死去。态叠加原理：如果和是体系的可能状态，那么，它们的线性叠加也是这个体系的一个可能状态。量子力学态叠加原理和经典物理中的波叠加原理虽然形式相同，但二者意义有重要差别。（1）两个相同态的叠加在经典物理中代表着一个新的态，而在量子物理中则表示同一个态。举例：态叠加原理——量子力学的基本原理SS1S2PB电子的双狭缝衍射电子源

（2）在经典物理中叠加中的和表示两列波叠加，在量子力学中和是属于同一量子系统的两个可能的状态。当粒子处于和的线性叠加态时，粒子是既处在态，又处在态，或者说粒子部分地处于态和中。[例]

由S1缝通过的电子状态用波函数描写，电子在屏幕上的分布是。由S2缝通过的电子用波函数描写，电子在屏幕上的分布是。当两缝都打开时，电子可以从S1缝通过，也可能从S2缝通过，即电子可以处在态，也可以处在态，由叠加原理，电子处在叠加态于是屏幕上的电子分布为：干涉项S1S2更一般的情况，为复数。即当是体系的可能状态时，它们的线性叠加也是体系的一个可能状态。薛定谔(ErwinSchrödinger,1887–1961)

薛定谔在德布罗意思想的基础上，于1926年在《量子化就是本征值问题》的论文中，提出氢原子中电子所遵循的波动方程(薛定谔方程)，并建立了以薛定谔方程为基础的波动力学和量子力学的近似方法。薛定谔方程在量子力学中占有极其重要的地位，它与经典力学中的牛顿运动定律的价值相似。薛定谔对原子理论的发展贡献卓著，因而于1933年同英国物理学家狄拉克共获诺贝尔物理奖金。薛定谔还是现代分子生物学的奠基人，1944年，他发表一本名为《什么是生命——活细胞的物理面貌》的书，从能量、遗传和信息方面来探讨生命的奥秘。奥地利著名的理论物理学家，量子力学的重要奠基人之一，同时在固体的比热、统计热力学、原子光谱及镭的放射性等方面的研究都有很大成就。4-2薛定谔方程

4-2薛定谔方程

薛定谔建立的适用于低速情况的、描述微观粒子在外力场中运动的微分方程,称为薛定谔方程。此方程不是推导出来的，而是依据实验事实和基本假定“建立”的。是否正确则由实验检验。1.薛定谔方程的建立

1）自由粒子：没有外场作用，具有能量E（恒量）、动量

P（恒量）的自由运动的粒子的波函数（一维）----自由粒子波动方程2）粒子在势场中波动方程----含时薛定谔方程----哈密顿算符2定态薛定谔方程与时间无关—定态振动因子----定态薛定谔方程3.定态薛定谔方程的意义:质量为m

，并在势场U（x,y,z)中运动的一个粒子,有一个波函数与它的运动的稳定状态相联系,这个波函数满足薛定谔方程。这个方程的每一个解(x,y,z)

,表示粒子运动的某一个稳定状态.与这个解相应的常数E(参数),就是粒子在这个稳定状态的

能量。

(x,y,z)合理:单值、连续、有限、归一化。因此，只有E

为一些特定的值时，方程才有解，这些E值叫本征值与这些E

值对应的波函数(x,y,z)叫本征函数。粒子在空间出现的几率密度不随时间变化4-3一维势阱问题粒子势能满足的边界条件固体物理金属中自由电子的简化模型1)阱外：2)阱内：1.势能函数2.定态薛定谔方程3分区求通解1)阱外：2)阱内：式中A和B是待定常数。4.由波函数自然条件和边界条件定特解量子数想一想：为什么n≠0(1)能量本征值能量取分立值（能级）--能量量子化最低能量（零点能）—波动性的表现试一试：由测不准关系说明零点能量子数(2)波函数是以x=0和x=a为节点的一系列驻波(3)概率密度5.对应原理在某些极限的条件下，量子规律可以转化为经典规律.势阱中相邻能级之差能级相对间隔

当很大时，，量子效应不明显，能量可视为连续变化，此即为对应原理.例1试求在一维无限深势阱中粒子概率密度的最大值的位置。解：一维无限深势阱中粒子的概率密度为将上式对x求导一次，并令它等于零因为在阱内，即只有于是由此解得最大值得位置为例如最大值位置最大值位置最大值位置可见，概率密度最大值的数目和量子数n相等一维无限深势阱这时最大值连成一片，峰状结构消失，概率分布成为均匀，与经典理论的结论趋于一致。相邻两个最大值之间的距离如果阱宽a不变，当时例2:在宽度为a的无限深势阱中，粒子处于