S1-非线性系统简介

《非线性系统理论》参考书：非线性系统理论及应用曹建福编著2001

非线性系统理论方勇纯编著2005

非线性系统理论康惠骏编著2010教材：非线性系统（第三版）HassanK.Khalil著2011北京科技大学机械工程学院授课教师：郜志英机械工程研究生学科前沿课程——课程考核：平时作业（40分）+考试成绩（60分）“认识非线性”Xt+1=f(Xt)X:系统状态t:离散时间f:函数关系式Xt+1=rXtXt+1=rXt

(1-Xt)“认识非线性”Xt+1=rXtX0=100Xt+1=1.0Xt稳态(steady-state)行为周期(periodic)行为Xt+1=-1.0Xt“认识非线性”Xt+1=rXtXt+1=0.9XtXt+1=1.1Xt衰减(decay)行为成长(growth)行为X0=100“认识非线性”Xt+1=rXt

(1-Xt)稳态(steady-state)行为“认识非线性”Xt+1=rXt

(1-Xt)稳态(steady-state)行为“认识非线性”Xt+1=rXt

(1-Xt)周期(periodic)行为Xt+1=3.2Xt

(1-Xt)Xt+1=3.5Xt

(1-Xt)P=2P=4TwopointsattractorFourpointsattractor“认识非线性”Xt+1=rXt

(1-Xt)非周期(non-periodic)行为Xt+1=3.99Xt(1-Xt)混沌（chaos）“认识非线性”Xt+1=rXt

(1-Xt)分岔（bifurcation）“认识非线性”Xt+1=rXt

(1-Xt)初值敏感性差之毫厘，谬以千里

假定某种昆虫，在不存在世代交叠的情况下（即每年夏天成虫产卵后全部死亡，第二年春天每个虫卵孵化成虫），很显然，若产卵数大于1，虫口就会迅速增加，“虫满为患”。事实上，在虫口数目增大的同时又由于争夺有限的食物和生存空间而不断发生咬斗事件，也可能因接触感染而导致疾病蔓延，这样又会使虫口减少。综合考虑正增长和负增长两种因素的作用“认识非线性”蝴蝶扇动翅膀的时候谁知道会发生什么？

Lorenz：美国数学家与气象学家“认识非线性”-蝴蝶效应电影：《蝴蝶效应》THEBUTTERFLYEFFECTChangeonething,changeeverything。“时光日记本”“认识非线性”-蝴蝶效应20世纪物理学三大理论：相对论：否定了时间和空间的绝对性；（高速运动）量子论：否定了粒子与波的绝对性；（微观运动）混沌论：否定了可预见的绝对性；（非线性运动）决定论决定论随机论混沌论“随时间而发生某种变化，其变化并非随机而貌似随机”Lorenz《TheEssenceofChaos》

“认识非线性”-混沌论“认识非线性”-工程振动新理论新原理新模型新方法新问题新应用机械系统工程非线性振动问题“认识非线性”-工程振动材料非线性：当弹性元件的材料应力超过比例极限，应力-应变关系不再是线性关系，弹性元件的恢复力与变形不再是线性关系，弹性力是位移的非线性函数。xF硬弹簧软弹簧线性弹簧“认识非线性”-工程振动车辆悬架的主弹簧和副弹簧

振动机械的分组弹簧xFF分段线性：弹性力是位移的分段线性函数。“认识非线性”-工程振动分段线性：弹性力是位移的分段线性函数。连接弹簧存在间隙

弹簧有预紧力

xFxF“认识非线性”-工程振动几何非线性：材料本身仍属于弹性范围，由于几何原因导致位移较大，在建立运动微分方程时必须考虑这种位移，使得恢复力与位移的关系成为非线性函数。张紧的弦

单摆

通常弹性材料：硬特性非线性超弹性材料：软特性非线性单摆：软特性非线性Section1非线性系统简介

1.1线性振动回顾

1.2非线性系统模型

1.3非线性系统示例

返回首页1.1线性振动回顾无阻尼自由动微分方程初相位角

振幅

返回首页1.1线性振动回顾有阻尼自由振动微分方程1.1线性振动系统回顾有阻尼受迫振动微分方程

微分方程全解：齐次方程的通解+非齐次方程的特解

返回首页1.1线性振动系统回顾线性有阻尼受迫振动：共振特性01230123451.1线性振动系统回顾

问题1——非线性(振动)系统的模型？问题2——无外激的非线性系统特性？问题3——有外激的非线性系统特性？由“线性”到“非线性”

返回首页Section1非线性系统简介目录1.1线性振动回顾

1.2非线性系统模型

1.3非线性系统示例1.2非线性系统模型具有周期激励的非线性系统：达芬（Duffing）方程1.2非线性系统模型非线性振动模型：惯性力阻尼力弹性力激励力对于多数机械系统1.2非线性系统模型将二阶常微分方程降阶为一阶常微分方程：任意的高维非线性振动系统可表示为：状态方程1.2非线性系统模型状态方程：自治系统（时不变系统）特例情况非自治系统（时变系统）平衡点：

返回首页Section1非线性系统简介目录1.1线性振动系统回顾

1.2非线性系统模型

1.3非线性系统示例1.3非线性系统示例小车单摆

小车倒立摆系统1.3非线性系统示例

小车倒立摆系统单摆重心在水平和竖直方向上的牛顿定律：取对重心的力矩可得到转矩方程：小车在水平方向上的牛顿定律：1.3非线性系统示例

小车倒立摆系统1.3非线性系统示例

带旋转制动的平移振荡器简化的动力学方程？状态方程？Section1非线性系统简介习题一个与无限长总线连接的同步发电机：用角位移、角速度和电压作为状态变量，写出状态方程；(b)设求出所有平衡点；(c)思考：假设时间常数比较大时的方程形式？习题

【动力系统