量子力学-91谐振子的Schrdinger因式法

第9章

力学量本征值问题的代数解法引言量子体系的能量本征值问题，习惯采用分析解法，即在一定的边条件下，求解坐标表象中的微分方程.这个方法的好处是，常见势场在坐标表象中有简单和直观的表达式.历史上，谐振子和氢原子，很早就用代数方法求出了能量本征值.下面9.1节给出谐振子能量本征值的一种代数解法，9.2节讲述角动量的代数表示，9.3节讨论两个角动量合成的本征值和本征态为问题.

9.1

谐振子Schrödinger因式分解法一维谐振子的哈密顿量为在自然单位制下为而基本对易式为（1）（2）（3）它们的对易式是定义两个算符（4）（5）反变换是(6)利用式（6）和（5），可将哈密顿量表示为(7)其中(8)在任何量子态下(9)所以为正定厄米算符.下面证明它的本征值是整数(11)因此，谐振子的能量本征值是(10)证明：设为的本征态利用式（5）和（8），易得（12）但因此（13）由此可得（14）这说明也是的本征态，相应的本征值为如此类推，逐次用运算，可得到的一系列本征态相应的本征值依次为考虑到为正定厄米算子，其本征值必为非负实数.设它的最小本征值为，本征态为，则（15）因此（16）这个态是谐振子的最低能态，记为利用式（13）的前一式，可证明（17）这说明也是的本证态，本征值是联合式（16）与(17)，从基态出发，逐次用运算，可得到的全部本征态：本征值为本征值为（18）所以，称为升算符，而称为降算符.利用归纳法可以证明，的归一化本征态可表为（20）满足（19）（21）利用式（19），可以证明（22）再借助于式（6），可求出和的矩阵元（加上单位）（23）下面讨论能量本征态在坐标表象中的表示式.先考虑基态，它满足即（24）在坐标表象中基态波函数满足（25）解出得添上自然单位，可得到坐标表象中的归一化基态波函数（26）坐标表象中的激发态波函数可表示为（27）添上长度自然单位，升算符为所以（28）9.2

角动量的本征值和本征态

在3.3.2节中，讨论了轨道角动量的性质.在第8章中讲述了自旋以及自旋与轨道角动量耦合成的总角动量.

本节将更一般地讨论角动量的本征和本征态问题.假设算符满足下列对易式：（1）则以作为三个分量的矢量算符，称为角动量算符.

以下根据式（1）和角动量算符的厄米性来求出角动量的本征值和本征态.定义（2）容易证明（3）角动量的对易关系式还有以下表示，首先定义（4）其逆表示式为（5）那么就有（6）（7）（8）（9）由于和对易，可以求它们的共同本征态（10）以下分几步进行.对对易式取矩阵元计算得到即矩阵元对于总角动量是对角的（11）（a）（b）对对易式取矩阵元得到利用式（10），计算得到所以（12）（c）对对易式取对角矩阵元由矩阵元选择规则（12），只有以下矩阵元有贡献：得到再利用，可知令（13）可得上式化为此式有解由此可见磁量子数有上界和下界，满足（14）由此得到所以计算得到只相差整数，上界和下界也相差整数由于相邻所以（15）而（16）（d）求的本征值.按式（8），有等式两边取平均值（17）利用式（10）和（12），得再利用式（16），可求出这样角动量本征态写为(19)（18）按上面分析所以（d）(21)(22)的矩阵元.利用式（11）、（13）和（16），可得出其中是任意正实数，习惯上取为零，这时矩阵元为实数(20)再利用式（5）可求出及的矩阵元如下：（23）9.3两个角动量的耦合，CG系数

在第8章中讨论过自旋与轨道角动量的耦合，以及两个电子的自旋耦合.下面普遍讨论两个角动量的耦合.

设与分别表示第一和第二粒子的角动量，即（1）由于它们分别对不同的粒子的态矢运算，彼此是对易的（2）定义两个角动量之和（3）利用对易式（1）和（2），不难证明（4）或表示成设的共同本征态为（5a）类似，的共同本征态为（5b）对于两个粒子组成的体系，它的任何一个角动量态可以用展开.换言之，可作为体系的对易力学量完全集，是它们的共同本征态，以之为基矢的表象，称为非耦合表象.在给定和的情况下，（6）所以共有个，即它们张开维子空间.考虑到（7）也是两粒子体系的一组对易力学量完全集，共同本征态记为，以其为基矢的表象称为耦合表象，即（8）在给定和的子空间中，耦合表象基矢可以简记为试问可以取哪些值？耦合表象和非耦合表象基矢之间的关系如何？令（9）

展开系数称为Clebsch-Gordan(CG)系数，即子空间中耦合表象和非耦合表象基矢之间幺正变换矩阵的矩阵元.考虑到，对式（9）运算，得（10）即

在自旋表象子空间中，非耦合表象基矢是彼此独立的（完备的）正交归一矢，式（10）右边的所有系数必须为零，即

（11）所以，式（9）可改写为（12）

我们知道，任何表象的基矢都有相位不确定性，但如取适当的相位规定，就可以使CG系数为实数.在此情况下，用式（12）代入正交归一性关系对于给出即（13）习惯上取CG系数为实，因此式（9）之逆可表示为（14）代入正交归一性关系得对,得（15）式（13）和（15）就是CG系数幺正性和实数性的反映.的取值范围.给定和即，所以按角动量性质，可知试问，还可以取哪些值？最小值取多少？和的态空间，维数是而在表象变换时，空间的维数是不变的.对于一个值，有个可能取值.因此，从维数不变的要求，有（16）左边求和得（17）我们注意到，对于给定的因此，如，如总之，所以取值范围如下：（18）此结果可概括为三角形法则

按式（11）和（18），概括起来，CG系数有下列两个基本性质：（a）仅当时，才不等于零.（b）仅当时，才不等于零.（19）

应当提到，角动量非耦合表象和耦合表象之间的幺正变换有一个相位不定性，通常采用的相位规定是：让（a）CG系数为实；（b）为非负实数.（20）Racah利用代数方法推导出了CG系数的普遍公式（21）

求和中，整数应取