金融数学第五章-套利定价理论

第五章套利定价理论套利定价模型

套利定价模型的扩展讨论1第五章套利定价理论

套利定价模型

假定证券的收益受到一些共同因子的影响，并且收益率与共同因子之间的关系如下：注：（1）若将市场证券组合作为影响证券收益率的唯一共同因子，则CAPM可以看作是单因子套利定价模型。（2）指数定价模型与套利定价模型都是假定证券收益率受到某些共同因子的影响，但是不同之处在于套利定价模型并未指出共同因子是什么以及有多少共同因子。2第五章套利定价理论

单因子套利定价模型

假设证券收益率只受到一个共同因子F的影响，相应收益率的表达式为：且满足充分风险投资组合的单因子套利定价模型

3第五章套利定价理论

可以将证券i的风险分解成由共同因子引起的系统风险与由特殊因素引起的非系统风险两部分之和：于是，相应的组合P的风险可以写成4第五章套利定价理论

于是充分分散投资组合的收益率构成为：

显然，单个证券收益率与共同因子不存在完全的线性关系，但是充分分散证券组合的收益率与共同因子间具有线性关系。证明如图所示，假设有两个充分分散投资组合P和Q,它们的收益率分别表示为

因此，无论共同因子处于何种水平，证券组合P都要优于证券组合Q，这样就会产生一个无风险套利机会。5第五章套利定价理论

例如，投资者卖空100万元的证券组合Q的同时买入价值100万元的组合P，从而构造了一个零投资组合，且其收益额为:=2万元且

系统风险与非系统风险全部都消除了，投资者不用任何本金就可以无风险获利2万元，但是这种获利不会保持长久。6第五章套利定价理论

证明用反证法

7第五章套利定价理论

在市场均衡状态下，任何充分分散投资组合都具有相同的风险偿率（单位风险价格）：8第五章套利定价理论

单个证券的单因子套利定价模型

首先，选择风险补偿率高的证券A和风险补偿率低的组合C，通过卖空补偿率低的证券C，投资于补偿率高的证券A,并满足：

投资组合Z没有系统风险，但需要非零的投资额，并且有非系统风险。9第五章套利定价理论

以此类推，通过卖空风险补偿率低的证券D和C而投资于补偿率高的证券A和B，并且满足：10第五章套利定价理论

至此，构造除了两个无任何风险的投资组合，但是它们的期望收益率不同，很明显，存在无风险套利机会，即只需要卖空一定量的低期望收益率的组合Z，同时用所得的资金投资于期望收益率高的组合Z’，就可以获得无风险差额利润。这一套利机会对于任何投资者均是有利的，于是所有投资者均会试图利用这一套利机会。

随着投资者不断的卖空D,C,F这样的风险报酬率低的证券，使得其价格随着供给增加而下降，从而期望收益率上升，类似的不断的买入A,B,E这样的风险报酬率高证券，使得需求增加，导致价格上升，进而期望收益率下降，最终市场将调节到“几乎所有”证券的风险补偿都一致的状态，使得套利机会消失。因此，在市场均衡状态下，单个证券将满足：

或

11第五章套利定价理论

充分分散投资组合与单个证券的套利定价的一致性

在市场均衡条件下，充分分散证券组合的APT定价模型与单个证券的APT定价模型是一致的。对比充分分散投资组合的套利定价模型，可得

12第五章套利定价理论

多因子套利定价模型

考虑两个共同因子的情况（三个或以上的共同因子情况，可以作类似的推广）。设证券收益率的分解式为充分风险投资组合的双因子套利定价模型13第五章套利定价理论

于是，相应的组合P的风险可以写成

此时组合P的总风险几乎全部是系统风险。14第五章套利定价理论

与单因子讨论模型的讨论一样,同样可以从两个命题的考察中得到充分分散投资组合的双因子套利定价模型.单个证券的双因子套利定价模型

可以证明单个证券的双因子套利定价模型与充分分散投资组合的双因子套利定价模型是一致的，即对于任意证券（或证券组合）而言，双因子套利定价模型为:15第五章套利定价理论

多因子套利定价模型

如果影响证券收益率的共同因子不止两个，采用同样的分析方法，可以得出与双因素完全类似的均衡定价模型:16第五章套利定价理论

套利定价模型的扩展讨论共同因子的选择共同因子的确定方法

统计学中的因子分析方法常常用来确定共同因子，该方法的好处在于能够同时确定共同因子及各证券对共同因子的敏感度。具体做法为：

首先考察如果只用一个共同因子解释证券的收益率，各证券收益率残差的协方差；

再考察如果用第一和第二个共同因子解释证券的收益率，各证券收益率残差之间的协方差比只用第一个因子解释时下降的百分比；在APT中，共同因子起着重要的作用。若共同因子不能确定，就根本无法理论套利定价理论进行定价分析。对共同因子选择的讨论涉及到三个问题：一是，共同因子的确定方法；二是，共同因子的数目；三是，共同因子的具体选择。17第五章套利定价理论

然后，不断的重复这一过程，看增加因子后各证券收益率残差之间协方差下降的幅度，如果增加某一因子后证券收益率残差协方差下降的幅度低于某个事先设定的解释精度，那么，该因子就被认为对证券收益率不可能产生明显的影响，从而剔除。再考察如果用第一，二和第三个因子来解释证券收益率，各证券收益率残差之间的协方差比只用第一个因子解释时下降的百分比。

18第五章套利定价理论

共同因子的数目

理论上，通过上述检验的因素都可以作为共同因子，但是雷曼和莫德斯特（Lehman&Modest,1988）运用统计方法发现，共同因素数目一旦达到5个，资产收益对共同因子数目的增加就不敏感了。

法玛和弗伦奇发现，因素数目从3个增加倒个，模型的效果有所提高。如果仅有股票，必须要有3个因素。如果包含债券资产，必须要有5个因素。因此，实际应用过程中通常选择3－5个共同因子。19第五章套利定价理论

共同因子的具体选择

影响证券期望收益率的因素有很多，究竟选取那些因素，不同的研究者可能得到不同的结果。较有代表性的如：1．罗尔和罗斯确定的共同因子：

具体包括：（1）工业产值增长率；（2）通货膨胀率（预期的和未预期的）；（3）长期和短期利率的差额；（4）低级和高级债券的差别。2．伯雷、鲍梅斯特和麦克确定的共同因子：

具体包括5个因素，其中有3个因素接近于上面的后3个因素。另外2个因素是社会总销售增长率和标准普尔500指数收益率。3．所罗门公司确定的共同因子：

具体包括5个因素：（1）国民生产总值；（2）通货膨胀率（预期的和未预期的）；（3）利率；（4）石油价格变化率；（5）国防开支增长率。这三组共同因子有一些共同的特征：

首先，它们包括了一些总体经济活动指标（工业产值、总销售和国民生产总值）；

其次，都包括通货膨胀；

第三，包括一些类型的利率因素（或差额或利率本身）。

20第五章套利定价理论

APT的检验检验的内容及难点

多因子APT解释证券收益率的形成过程，即：

由此得到APT模型为

21第五章套利定价理论

APT的检验方法类似于CAPM的检验方法：

罗尔和罗斯于1980年运用1962年6月到1972年12月纽约股票交易所1260中股票收益率数据，以每组30种证券将所有证券分成42组进行了因子分析，发现存在4个或5个因子有有效的解释力，而且还发现证券平均收益率与风险因子之间存在线性关系，证券的残差与平均收益率无关。检验的方法

22第五章套利定价理论

APT与CAPM

APT与CAPM的区别

1．模型的假设条件不同APT假定证券收益率的产生同某些共同因子有关，但这些共同因子究竟是什么以及有多少个，模型并未事先人为的加以指定，而CAPM事先假定证券收益率同市场证券组合的收益率有关。此外CAPM模型的一个基本假定是投资者都以期望收益率和标准差作为分析基础，并按照均值－方差准则选择投资方案，而APT无需此假定。2．建立模型的出发点不同

APT考察的是当市场不存在无风险套利而达到均衡时，资产如何均衡定价，而CAPM考察的是当所有投资者都以相似的方法投资，市场最终调节到均衡时，资产如何定价。23第五章套利定价理论

3．描述形成均衡的机理不同

当市场面临证券定价不合理而产生价格压力时，按照APT的思想，即使是少数几个投资者的套利行为也会使市场尽快重新恢复均衡；而按照CAPM的思想，所有投资者都将改变其投资策略，调整他们选择的投资组合，他们共同行为的结果才促使市场重新回到均衡状态。4．定价范围和精度不同

CAPM是从它的假设条件经逻辑推理得到的。它提供了关于所有证券以及证券组合的期望收益率－风险关系的明确描述，只要模型条件满足，以此确定的任何证券或证券组合的均衡价格都是准确的。而APT是从不存在无风险套利的角度推出的。由于市场中有可能存在少数证券定价不合理而整个市场处于均衡之中（证券数少到不足产生无风险套利），所有APT提供的均衡定价关系有可能对于少数证券不成立。换言之，在满足APT的条件下，用APT的证券或证券组合确定均衡价格，对少数证券的定价可能出现偏差。24第五章套利定价理论

APT与CAPM的联系

当APT与CAPM模型的假设条件均成立时，两模型是相通的。由此推出的APT的均衡关系式为：

于是

这样就有这与CAPM所描述的均衡期望收益率－风险关系完全一致。

从某种意义上讲，CAPM是APT的一个特例。25第五章套利定价理论