微积分初步形成性考核册答案

微积分初步形成性考核作业（一） 函数，极限和连续一、填空题（每小题2分，共20分）1.函数朋=成上的定义域是.ln（x一2）。0x3 1解：｛x-2>0'」2所以函数的定义域是（2,3）53,+8）2-函数/*（尤）=,，的定义域是•<5-x所以函数/W= ——的定义域是（-00,<5-xln(x+2)。0解：<x+2>04—工220xln(x+2)。0解：<x+2>04—工220x。一1,<x>—2-2<x<2, 所以函数fW= +%''4-x2的定义域是(-2,-1)u(-1,2]ln(x+2)•函数f(X—1)=尤2—2尤+7，则f(x)=•解：/0T)=—2x+7=工2—2尤+1+6=(x—1)2+6 所以了(工)二工2+6广/、〔尤2+2x<0•函数f⑴=< 八，则f(°)=•解：f(0)=。2+2=2X>0K.-函数—1)=工2-2x，则f(x)=.解：/(X-1)=%2-2x=X2-2x+1-1=(X-1)2+1,/(x)=X2+1尤2—2x—37•函数y=尤+1的间断点是•jq2-2x-3解：因为当工+1=0，即x=-l时函数无意义 所以函数>= 的间断点是x=-lx+1.1] ] sm—8.limxsin—=.解：limxsin—=lim—=1V V 1x—>GO 儿 x—>GO 儿'Too「.sin4x9•若limH^=「.sin4x9•若limH^=2

xtosinkx，则k=-sin4x4「4一limx-xtOsin4x解：因为lim——xtosinkx kxtosinkkx所以k—2n.sin3x与，10•若lim——2，则k—•xtOkxsim3x 3 sim3x解：因为hm—=-limxt0kx kxt03-2kxkxto3x k二、单项选择题（每小题2分，共24分）e-x+ex1•设函数y=一-一，则该函数是（）•A•奇函数B•偶函数C•非奇非偶函数D•既奇又偶函数e-e-(-x)+e-x ex+e-x解：因为y(—x)= =—-一=ye-x+ex所以函数y=——是偶函数。故应选b2•设函数y=x2sinx，则该函数是（）2•设函数y=x2sinx，则该函数是（）•A•奇函数B•偶函数C•非奇非偶函数 D•既奇又偶函数解：因为y(-x)=(-x)2sin(-x)=-x2sinx=-y 所以函数y=x2sinx是奇函数。故应选A2x+2-x3•函数/（x）=x—-一的图形是关于（）对称•A•y=xB•x轴C•y轴D•坐标原点2-x+2-(-x) 2-x+2x解：因为f(-x)=(-x) =-x2x+2-x所以函数f（x）—x一-一是奇函数2x+2-x从而函数/（x）=x—-一的图形是关于坐标原点对称的因此应选D4•下列函数中为奇函数是（).A•xsinxB•lnxC•ln(x+、：1+x2)d•x+x2解：应选C)._ 1).5•函数y=——+ln(x+5)的定义域为(x+4A•x>-5B•xu-4C•x>-5且x。0D•Ix+4。0Ix0-4解：\ ，\ <，所以应选DIx+5>0Ix>-56.函数f（x）=声=1）的定义域是（）•

A•(1,+8)B•(0,1)u(1,+8)C-(0,2)u(2,+8)D•(1,2)u(2,+8)fln(x-1)丰0 fx丰2 1解：〈 1八，〈 1，函数/(x)= 的定义域是(1,2)u(2,+8)，故应选D[x-1>0 [x>1 ln(x-1)7•设f(x+1)=x2-1，则f(x)=( )A•x(x+1)B•x2c•x(x-2)D•(x+2)(x-1)解:f(2+1,x丰0，在x=0处连续，则f(0)=limf(x)，因此k=1。故应选Bk, x=0+1)=x2—1=(x2+1,x丰0，在x=0处连续，则f(0)=limf(x)，因此k=1。故应选Bk, x=08•下列各函数对中，( )中的两个函数相等•A•f(x)=Jx)2，g(x)=xB•f(x)=『x2,g(x)=xC•f(x)=Inx2,g(x)=2lnxD•f(x)=Inx3,g(x)=3lnx解：两个函数相等必须满足①定义域相同②函数表达式相同，所以应选D9•当x—0时，下列变量中为无穷小量的是().A•-B•^^C•ln(1+x)D•—xx x2，ln(1+x)为无穷小量，所以应选C解：因为limln(1+x，ln(1+x)为无穷小量，所以应选Cx—010•当k=()时，函数f(x)=<x2+1,

k,x。0，在x=0处连续.x=0B・1C・2D•-1若函数f(x)=<解：因为limf(x)=lim(x2+1)=1，f(0)=kx—若函数f(x)=<11•当k=()时，函数f(x)=<ex+2,

k,x丰0在x=0处连续.x=0，所以应选DB・1C・2D•，所以应选D解：k=f(0)=limf(x)=lim(ex+2)=3x—0 x—012•函数f(x)= - —的间断点是(x2—3x+2A•x=Lx=2B•x=3C•x=Lx=2,x=3D•无间断点解：当x=1,x=2时分母为零，因此x=Lx=2是间断点，故应选A三、解答题(每小题7分，共56分)1.计算极限limx—>2%2—3x+2X2—4TOC\o"1-5"\h\z1.x2—3x+2 .(x-l)(x-2) .x-1 1解:lim =hm =hm =—12启一4i2(尤+2)3-2) —2x+2 4「x2+5x-6-计算极限hm HX2-11.%2+5x-6 .(jv—1)(尤+6) .x+6 7解:hm =hm =lim =—XT1尤2_1 XT1(尤+1)(尤一1)XT1X+1 2XT3尤2—2x—3[.x2—9 [. (x+3)(%—3) [.x+3 6 3解：hm =hm =lim =—=——3尤2—21-3 XT3 (尤+1)3-3) 13X+1 4 2「尤2-6x+8•计算极限hm ——-x_>4X)—5x+4尤2—6x+8 1.(x—2)(%—4)x—22解:lim =hm =lim =—XT4尤2—5x+4xt4(尤_1)(]_4)xt4X—l3「尤2-6x+8x—4=hm x—4=hm =2解：limx—21.寸]—%]TOC\o"1-5"\h\z6.计算极限hm ——.%—>0 X]. 1—X—1「(J1———1)(%*1—』+1) —X解:lim =lim =lim 「 X—>0 尤xtOX(%i'1—X+1) xtOx(-^/1x+1)「11=-lim. =.v^ov'l—x+1 27•计算极限limxtO1-x-1sin4x1. A,1. A,1'1—X—1解:lim iosm4x1.(寸]一x_1)(J]—x+1)=lim , xtOsin4x(\i'1—x+1)TOC\o"1-5"\h\z1. —X 1[. 1 1=hm , 二一一hm =--.5sin4x(<1-x+1) 4〔项sin4x(J■二^十]) 84x'sin4v8•计算极限lim.——•io+4—2「sin4x「sin4x( +4+2)解:lim =hm—, , xrov'尤+4—2 ,r->o(J.+4—2)(-\/x+4+2)I.sin4x(v'x+4+2) .vrsimAx.,■ 〜=hm =4hm[ (Jx+4+2)=16.r—>0 尤 >04尤微积分初步形成性考核作业(二) 导数、微分及应用一、填空题(每小题2分，共20分)•曲线f(x)=Jx+l在(1,2)点的斜率是•1 1解：fr(x)=一—，斜率*=f'(1)=-2^x 2,曲线f3)=ex在(0,1)点的切线方程是•解：f\x)=ex，斜率k=广(0)=e。=1所以曲线=ex在(0,1)点的切线方程是：y=x+l_±-曲线)=工一2在点(1,1)处的切线方程是•TOC\o"1-5"\h\za ] 3 1解：矿=_=尤一2，斜率k=yr\=--x~2 =--x=i2 2X=1_11所以曲线〉=工一2在点(1,1)处的切线方程是：y-l=--(x-l)，即：x+2y-3=0.(2七)'=.解:(2七)'=2、'x•——In2= ——2』x2】x.若y=x(x-l)(x-2)(x-3)，则矿(0)=.解:矿(。)=(-1)(-2)(-3)=-6-已知f⑴小+冬，则广⑶=.解：「(1)=3x2+3x1113，尸(3)=27+271n3

1 17.已知f⑴=mx，则E=•解：E)=x'了⑴=-豆8•若f(x)=xe-x，则fn(0)=•解：f'(x)=e-x-xe-x'f"(x)=-e-x-(e-x-xe-x)=-2e-x+xe-x，f"(0)=—29•函数J=3(x—1)2的单调增加区间是•解：y'=6(x-1)>0'x>1，所以函数J=3(x-1)2的单调增加区间是［1,+8)10•函数f(x)=ax2+1在区间(0,+8)单调增加，则a应满足•解：f'(x)=2ax>0，而x>0，所以a>0二、单项选择题(每小题2分，共24分)•函数J=(x+1)2在区间(-2,2)是(D)A•单调增加B•单调减少C•先增后减 D•先减后增•满足方程f'(x)=0的点一定是函数J=f(x)的(C).A•极值点 B•最值点C•驻点D•间断点3•若f(x)=e-xcosx，则f'(0)=(C)•A.2 B.1C.-1D.-2A.2 B.1C.-1D.-211A•——dx B• dx2x xln10ln10i dxxidxx5••设J=f(x)是可微函数，则df(cos2x)=(D)•A•2f'(cos2x)dxB•f'(cos2x)sin2xd2xC•2f'(cos2x)sin2xdxD•-f'(cos2x)sin2xd2x6•曲线J=e2x+1在x=2处切线的斜率是(C)•A•e•设J=lg2x，则dj=(B)•b•设J=lg2x，则dj=(B)•7•若f(x)=xcosx，则f〃(x)=(C)•A•cosx+xsinxB•cosx一xsinxC•一2sinx一xcosxD•2sinx+xcosx8•若f(x)=sinx+a3，其中a是常数，则f〃(x)=(C)•A•cosx+3a2B•sinx+6aC•一sinxD•cosx9•下列结论中(B)不正确•A•f(x)在x=x0处连续，则一定在x0处可微.B-f(x)在x=x0处不连续，则一定在x0处不可导.C•可导函数的极值点一定发生在其驻点上.D•若f(x)在［a，b］恒有fr(x)<0，则在［a，b］函数是单调下降的.10•若函数f(x)在点x0处可导，则(B)是错误的・A•函数f(x)在点x0处有定义 B•limf(x)=A，但A。f(%)C•函数f(x)在点x0处连续 D•函数f(x)在点x0处可微11•下列函数在指定区间(一8,+8)上单调增加的是(B)•A•sinxB・e<>x2D•3-x12.下列结论正确的有(A)•A•x0是f(x)的极值点，且f'(x0)存在，则必有f'(x0)=0B•x0是f(x)的极值点，则x0必是f(x)的驻点C•若f'(x0)=0,则x0必是f(x)的极值点D•使f'⑴不存在的点x0,一定是f(x)的极值点三、解答题(每小题7分，共56分)11.设J=x2ex，求V.11］ ii i解：j'=2xex+x2ex(-——)=2xex一ex=(2x—1)exx22.设j=sin4x+cos3x，求J.解：j'=4cos4x—3cos2xsinx3.设j=ex+1+—，求j'.x1 — 1解：j=—ex+1———2侦x+1 x24•设J=xvx+Incosx，求j'..3-——sinx3解：j=1x+ =w'x一tanx2cosx25.设J=J(x)是由方程x2+j2—xj=4确定的隐函数，求dj.解：两边微分：2xdx+2jdj—(jdx+xdj)=02jdj—xdj=jdx—2xdxdj=土dx2j—x•设y=yM是由方程x2+y2+2xy=l确定的隐函数，求dy.解：两边对启+J2+2xy=1求导，得：2x+2yyr+2(y+xy')=0x+yyr+y+xyf=O，(x+y)y'=-(x+y)，矿=-1dy=y'dx=-dx•设y=y(x)是由方程3+xe>+X2=4确定的隐函数，求dy.解：两边微分，得：exdx+eydx+xeydy+2xdx=0z c、7 ,ex+ey+2x,xeydy=-{ex+ey+2x)ax，ay= dx' ' xey.设cos(x+y)+e.y=1，求dy.解：两边对cos(x+》)+ey=1求导，得：-(l+y,)sin(x+j)+ye.v=。-sin(x+y)-jfsin(x+y)+y'ey=0[ey—sin(x+、)])'=sin(尤+y)),_sin(x+y)'ey-sin(x+y)sin(x+y)ay=yax= dx' 'ey-sin(x+y)微积分初步形成性考核作业(三) 不定积分，极值应用问题一、填空题(每小题2分，共20分).若f3)的一个原函数为lnx2，贝xlnx2-2x+c。-若f3)的一个原函数为1—e-2x，则广3)=—4ea。• ]f(x)dx=xQx+c，则f{x)=(X+x)ex.•若』/(x)dx=sin2x+c，贝ij/(x)2cos2x.•若』/(x)dx=xlnx+c，则f\x)=—•

.若Jf(x)dx-cos2x+c，贝ijf'(x)—-4cos2x•7•dJe—x2dx-e-2dx•8•J(sinx)'dx-sinx+c•.若Jf(x)dx-F(x)+c，则Jf(2x—3)dx- 1 1A.——B.———C.—F(2x— 1 1A.——B.———C.—210•若Jf(x)dx=F(x)+c,则Jxf(1—x2)dx=—2F(1—xx x2 x)x x2 x二、单项选择题(每小题2分，共16分)1•下列等式成立的是()•A•gJf(x)dx=f(x)B•Jf'(x)dx-f(x)C•dJf(x)dx-f(x)D•Jdf(x)-f(x)dx解：应选A2.若Jf(x)dx-x2e2x+c，则f(x)-( ).A.2xe2x(1+x)B.2A.2xe2x(1+x)B.2x2e2xc.2xe2xD.xe2x解：两边同时求导，得：f(x)-2xe2x+2x2e2x-2xe2x(1+x)3•若f(x)-x+vx(x>0)，则Jf'(x)dx-().，所以应选A33A.x+M+cB.x2+x+cC.x2+^x2+c1D~x2+~x2+c解：应选A4•以下计算正确的是(d3xA•3xdx- B•ln3dx … dx 1 =d(1+x2)C•~==d*xD• lnxdx=d(—)解：应选A1+x2 v"x x5•Jxf"(x)dx-(A.xf'(xA.xf'(x)—f(x)+cB.xf'(x)+c1C.2x2f(x)+cAD.(x+1)f'(x)+c解：J解：Jxf”(x)dx=Jxdf'(x)=xf'(x)-Jfr(x)dx-xf'(x)-f(x)+c，所以应选AdJdJa—2xdx=()•((1D.—x2a—2xb•—2a—2xlnadxC•a—2xdxd•a—2xdx+c解：应选C_1 _1—1 —1 1解：两边求导，得：f(x)ex-—e，所以/(x)—1—7，故应选—1 —1 1解：两边求导，得：f(x)ex-—e，所以/(x)—1—7，故应选Bx2三、计算题（每小题7分，共35分）j3-履3+xsinx^^.x解：j3一＜X3+X&Xdx=3j c1.c一一xcos2x+—sin2x+c45. c1.c一一xcos2x+—sin2x+c45.jxe—xdx解：jxe—xdx=—jxde—x=—(xe—x—je-xdx)=—xe—x—e—x+c四、极值应用题（每小题12分，共24分）1-设矩形的周长为120厘米，以矩形的一边为轴旋转一周得一圆柱体。试求矩形的边长为多少时，才能使圆柱体的体积最大。解：设矩形的一边长为x厘米，则另一边长为60—x厘米，以60—x厘米的边为轴旋转一周得一圆柱体，则体积V为：23=3lnx—x2—cosx+c32.j(2x—1)10dx解：j(2x—1)10dx=2j(2x—1)10d(2x—1)=2-10+1(2x—1)10+1+c1=(2x—1)11+c22.1sin—J―^dxx21解：jd解：jdx=—jsin1d(1)=cos1+cxxxxx24•jxsin2xdx解：jxsin2xdx=-上jxdcos2x-——(x解：jxsin2xdx=2 2

L=2x+3-216L=2x+3-216XdL 648—=2——dx X2,c648，即：L=2X+ XTOC\o"1-5"\h\zdL八 216_令丁=0得：x=18（取正值），这时 =12dX X由于根据实际问题，确实有最小值，故当矩形的长为18米，宽为12米时，才能使所用建筑材料最省五、证明题（本题5分）函数/（X）=X—ex在（—8,0）是单调增加的•证明：因为f'(x)=1—ex，当xg(—8,0)时，f'(x)=1—ex>0所以函数f（x）=X—ex在（—8,0）是单调增加的•微积分初步形成性考核作业（四）定积分及应用、微分方程一、填空题（每小题2分，共20分）1•j1(sinxcos2x—x2)dx=.—1解：j1(sinxcos2x—x2)dx=j1sinxcos2xdx—j1x2dx=—2j1x2dx=—-—1 —1 —1 0 3r正2•j2(x•由定积分的几何意义知，"方2—x2dx=。0—4•由定积分的几何意义知，"方2—x2dx=。02H-=22—匕0TOC\o"1-5"\h\z解：j2(X5—4x+cosx)dx=j2(x5—4x)dx+j2cosxdx=2j2cosxdx=2sinxH-=22—匕02 2 23•已知曲线y=f（x）在任意点x处切线的斜率为、.'x，且曲线过（4,5），则该曲线的方程是。23 2-解：由j<xdx=3x2+c得所求的曲线方程由y=3x2+c确定尸2尸 1因为曲线过（4,5），所以5=—-42+c，解得：c=—3231因此所求的曲线方程为y=3X2—-4•若j1(5X3—3x+2)dx=•—1解：j1(5x3—3x+2)dx=j1(5x3一3x)dx+j12dx=4j1dx=4—1 —1 —1 0解：由定积分的几何意义知，Ia<a2—x2dx就等于圆x2+y2=a2在第1象限的面积，即01圆x2+y2=a2面积的彳，因此0Iaa2—x2dx=-兀a24•—Ieln(x2+1)dx=dx1 .解：—Ieln(x2+1)dx=0dx1.j0e2xdx=•—8解：10e2xdxlimI0e2xdx=—limI0e2xd(2x)=—8 bf—sb 2bf—sb「 1Chm—e2x, 2b—-s0 1. 1=—lim(1—e2b)——2bf—s 2b8•微分方程矿=y,y（0）=1的特解为.解：由y'—y得=y， =dx，两边同时积分，得lny—x+cdxy因为y(0)=1，所以ln1=0+c，所以c-0从而lny=x，因此微分方程y'=y,y（0）—1的特解为y=ex9•微分方程y'+3y=0的通解为.解：y'+3y=0，四+3y=0，空+3dx=0，lny+3x=cdx y 1lny—c一3x，y=ec1—3x，即y—ec1-e—3x所以微分方程y'+3y=0的通解为y=ce-3x10.微分方程(y〃)3+4xy(4)=y7sinx的阶数为.解：微分方程（y"）3+4xy（4）=y7sinx的阶数为4阶二、单项选择题（每小题2分，共20分）1•在切线斜率为2x的积分曲线族中，通过点（1,4）的曲线为（A）•A・y=x2+3B・y=x2+4C•y=x2+2D•y=x2+12.若11(2x+k)dx=2,则k=(A)•01C.0D.23•下列定积分中积分值为0的是（A）•A•1B•-1A」1y2dxB・I】=^x"-12 —12I"(x3+cosx)dxD•I"(x2+sinx)dx—兀 一"4•设f(x)是连续的奇函数，则定积分faf(x)dx=(D)-aA•2fof(x)dxB•fof(x)dxC•\af(x)dxD•0-a -a 0皿5•j2sinx|dx=(d)•K_-2A•0B•兀C•yD•26•下列无穷积分收敛的是(B)•A•卜exdxb•J*”e-xdxc•j*」dxd•f+^^=dx0 0 1x1<x7•下列无穷积分收敛的是(B)•A•J*FnxdxB•J*”e-2xdxC•j*”-^dxd•J*”上dx0 0 1x 1■<x8•下列微分方程中，(D)是线性微分方程・A•jx2+lnj=矿b•y'y+xy2=exc•y〃*xy，=eyD•y〃sinx-y，ex=yInx9•微分方程y'=0的通解为(C)•A•y=Cxb•y=x+Cc•y=C10•下列微分方程中为可分离变量方程的是(B)dy dy dy dy . .A.=x*y;B.=xy*y;C.=xy*sinx;D. =x(y*x)dx dx dx dx三、计算题(每小题7分，共56分)1•Jln2ex(1+ex)2dx01*5lnx2•J dx1xe1+5lnx解：J dx1x解：Jln2ex(1+ex)2dx=1