【新高考解析】2021年4月湖南金太阳模拟卷考试数学试题及参考答案

2021年4月湖南金太模拟考试数学试题注意事项：答题前考生务必将自己的姓名、考生号、考场号座位号填写在答题卡上。回答选题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动用橡皮擦干净后再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。考试结后，将本试卷和答题卡一并交回。本试卷要考试内容高考全部内容。一、单选题：共8题，每题分，共分在每题给出的四个选项中，只有一项是符题目要求若数

满足

z

=1

，则

在复平面内对应的点位于第象限

第二象限

C.第三象限

第象限已集合

AB

AB

C.

A

R

ABR在ABC中DB

BC，

21312ABACB.ACC.ABABAC3222232

我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中得到了世界领先的成.

哥德巴赫猜想如下：每个大于的偶数都可以表示为两个素数的和，如20.

在不超过的素数中，机选取个不同的数，则这2个的和是奇数概率是

3D.814

若展开式中所有项的系数和为64则展开式中第三项为A.

x6.过物线

的焦点作线与抛线交于，B点，与抛物线的准线交于点，AF

，BF，

C.

-1-

已三棱锥P的个顶点都在半径为R球面上，且

，若三棱锥体积的最大值为

32

，该球的表面积为

326416D.927丹数学家琴生Jensen）是世对数学分析做出卓越贡献的巨人，特别是在函数的凹凸性与不等式方面留下了很多宝贵的成果.函数

f

上的导函数为

f

上的导函数f

上

f

，则称函数

f

上为“凹函”已知f

e

在

上为凹函数，则实数

t

的取值范围是

C.

二、多选题：共4题，每小题分，共分全选对的得5分，部分选对的得2分有选错的得0分若是的分不必要条件，是s的必要条件，t是q的要条件，t是充分条件，则是的必要不充分条件

t

是q的要件C.是

的充要条件

是

的充要条件10.已函

fx

,0x,x

，若关于

x

的方程

f

有且仅有一个实数解，且幂函数

在

上单调递增，则实数a的值可能是C.e

11.日导演竹内亮拍摄的记录片《后疫情时代》是继《南京抗疫现场不见，武汉》之后，又一部以中国抗疫为主题的记录片力该片以南京马拉松比赛、无人配送，网络直播等为切入点，真记录了中国在疫情防控复工复产方面取得的重大成就，并指出在新冠疫情冲击下，中国在全球主要经济体中率先恢复增长，成为世界经济体中的亮”.中记录某物流公司引进智能无人配送技术，为疫情期间居家隔离网上购物带来了很大的便利，同时也大大提升了公司的效.2020年全年总收与2019年年总收入相比增长了一倍，同时该公司的各项运营成本也随着收入的变化发生了相变化下给出了该公司这两年不同运营成本占全年总成本的比.已该公司这两年的年利润率相同，-2-

注年利润(全总收入一全年总成)全年总收.下列说法错误的是A.该司年材料费用等于2019年资金额与研发费用的总和B.该司2020年发费用是2019年资金额、原材料费用、其费用三项的总和C.该司2020年他费用占2019年资金额的

D.该司年备费用是2019年材料费用的两倍12.如，矩形BDEF所平面与正方形在平面互相垂直，G线段上动点，则A.AECFB.面体ABCDEF的积为

C.G为段AE的点，则GB平CEFD.BG

CG

的最小值为11三、填空题：本题共4小题，每小题，共分13.写一圆心在直线

3xy

上，且与

x

轴相切的圆的标准方程：

14.已偶数

f

6

3

(

，

0,

)的最小正周期

，则

；

（本题第一空分，第二空3分15.若数2区间是

a

216．知双曲线C:ab的、右焦点分别为F，F，F作线与双曲线的条a2b渐近线交于B点点在段上，且AF，若BFF为腰三角形，且AF11线的心率为．四、解答题：本题共6小题，共分解答应写出文字说明、证明程或演算步.

，则双曲17.在项列

，

，且

aaaa

（1求

公；3（2求数列

的前项.-3-

18.在△中，ACB90ABC30AC2，为BC中点，在段AB上（1若△

的面积为

34

，求cosCED；（2当CDE的长小时，求

AEBE

19.如，多面体ABCDEF中四边形等腰梯形，ABBC，，边ADEF直角梯形，且，DE，AFAD，AF//DE，平面ABCD平.（1证明：平面BDE平面；（2线段EF是否存在一点P，平面PAB与面CDE所锐二面角的余弦值为请说明P点位置；若不存在，请说明理.

34

？若存在，-4-

（1求这100名受访群众年龄的平均数x方差(同一组数据用该区间的中值代)（2由频率分布直方图可以认为，受访群众的年龄服正态分布N.近为s

，①求

P46.6

；②从年龄在中，按分层抽样的方法，抽出7人加访谈节目录制，再从这中随机抽出人作为代表发言，设这3发言人的年龄落在的分布列和数学期望.

内的人数为，变量Y参考数据：取

，若XNP

-5-

21.如，椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经椭圆的另一个焦点已椭圆:

2的左、右焦点分别为，F，左，右顶点分别为A，aB，光线从点(

射出经椭圆C上点反射，法与圆C在P处切线垂直的直线与x交于点Q已知PF，FQ1

（）椭圆的程（）F的直线与椭圆C交于M，两点均不与A，重)，线MB与直线4交点证明：，，三共线.22．知x．（）论f（）对任意的，x，使得12

，明：x

．-6-

1湖南金太4月模拟卷答案1一、选择题本大题共8小，小题5分共40分题号答案

1A

2C

3C

4B

5D

6A

7A

8C1.【答案】【解析】因为

(1)2

，所以z在平面内对应的点位于第一象限，所以选2.【答案】【解析】因为A2ABe，以选C.R33.【答案】【解析】ADACACCBAC(ABAC)ABAC所以选24.【答案】【解析因为不超过的数有：，，，，，17，共8，随机选取个同的数，其和为数，则必有2所以所求的概率为5.【答案】【解析】

7，以B.C因为展开式中所有项的系数之和为64，令

，可得(

，所以n

.因为通项公式r

r(rx，以T(，选D.6.【答案】【解析】如图，设准线为l

，过A作AEl

于，过作BCl

于C，因为AF，以是PA的点，所以AFp.因为BF，所以

22p2p

，解得，以选A.7.【答案】【解析】如图，ABC

内接圆的半径为

BC，3当

为正三角形（的积大）且，O，O三点共线时，三棱锥的体积最.因为V

11SOO)(R)R，以OO，322在Rt，由R

23

)

，得

2

，所以该球的表面积为9

.-7-

8.【答案】C【解析因为

f

(x1)ex

1(x

2t，所以.xxx2因为f()在上“凹函数，以在(0,2)上f

2t)e恒成立x3x即t

2)ex.令()(2x

，，

)(x2)x

，所以(x)上调递增，在(1,2)上调递减，所以()

(1)故t(二、选择题每题5分共20全部选对的得分，有选错的得0分部分选对的得2分题号答案

9ABD

10AD

11ACD

12ACD9.【答案】ABD【解析】题知qts，s，qts

，所以B,D正确因为qt

，且pq的充分不必要条件，所以是s的分不必要条件，t10.【答案】【解析】()的象如图所示，

是的必要不充分条件，所以正，不确因为f()有且仅有一个实数解，即fx)的图象与有只有一个交点，所以a}又因为g()a在(0,单调递.所以e【答案】ACD

，所以{1}.【解析】妨设年全年总成本为t

，则年全年总成本为2t

.该司

年原材料费用为t

，年工资金额与研发费用的和为0ttt

，故A错误；该公司2020研发费用为t，2019年工金额、原材料费用、其他费用三项的和为tttt，故B正；该公司2020其他费用为t

，年工资金额为t

，故错；该公司2020设备费用为tt，年原材料费为t，故D错误-8-

2212.【答案】【析如图，将几何体补全成棱长为2的方体．在正方体中，因为//DM，AE，以，A正；22因为VABCDEF

正方

VFAME

16，所以错；3当为段的点时，为平面BD//平CEF所以GB//平CEF，故C正确；过作AD的线，垂足为H连接HB，HC，

AB

AG

DG

AG

AH

DH

GH

，因为AH，所以BG22AH)AHAHAH)，当时，BG

CG

取得最小值，故D正．三、填空题本大题共4小，小题5分共20分题号

13141516答案

(4)（答案不唯一）

1；

0

或

26313案(x4)

2

（答案不唯一析】设圆的方程为x

2

)

2

2

(r

4,b0,，则只要符合即，如rbr14案1；解】f()621)sin())63

．因为f(x)

的最小正周期为所以

2

．因为f(x)

为偶函数，所以22

．因为

5(0,)，以12

15.【答案】01【解析】x-9-

02nn2222nnnn02nn2222nnnnn

时，显然符合题意；当

时，因为

，所以f

的单调递减区间为

，由a

，得

或a

，均不合题意；当

时，因为

，所以f

的单调递减区间为

，由

2

得

(舍去）或

.综上：或a16.【答案】

263【解析】设B,

，因为BAAF，以为中因为AF1

c

，所以BF

.因为eq\o\ac(△,)F是腰三角形，且F2c121

，所以BF

.由

0

，可得xc，yc4因为B点渐近线上，所以

15326cc，理得24ac，故离心率4a4

.四、解答题（共70分解答应出文字说明，证明过程或演算步骤）17析（）为

a，以a，2.nn因为a，a，所以数列差1n因为a，以a3.n

的等差数列，从而a.（）为

n

3n3

所以4n

n，故Sn.n18.【解析】（）△中因为ACB9030,AC2所以ABBD3因为

eq\o\ac(△,)

13BD24

，所以因为DE

BE

BDcos30，以因为CE

BC

BE

BC，以在CDE中由余弦定理得cos

CE

57214（）图，过C作的垂线，垂足为H，延长使HF，接DF交于，-10-

22222此时CE取最小值DF，CDE的22222在△中因为CH，以CF3.在CDF中因为

CF

CD

CFcos60，所以DF.因为CD

CF

，所以DFBC，以AC因为D为的中点，所以E为AB的点，故

AEBE

.19.【解析】（）明：在等腰梯形中

，AD，得BAD60

.在ABD中由余弦定理可得，所以AB

，所以ABBD.1分因为平面⊥面ADEF且于AD，⊥，所以⊥平面2分又因为ABC面ABCD，所以3分因为

DED所以AB面..........................................................................................................4分又因为AB平，所平面BDE平面5分（）：如图，过作AD的线交AD于O，O在面ADEF内AD的线，建立空间直角坐标系xyz，..........................................................................................6分1则0,,02

，

33

33，D0,，E，,022

，7分FE(1,2,0)，FP，,02

8分13DE，DC,

，

-11-

设平面CDE的法向量为my,z则

x01y2

0

，令z，3,1)............................................9分设平面的向量为z

，则

3y2

，令z，得n,

.............................10所以|cos

|m|||n

，......................................................11分解得20.【解析】

，即当P为的点时满足题.12分（）

0.050.150.15

，

2分s

2

2

0.05

2

2

2

0.2

2

0.15180

4分，（）由知所以X46.6)(

0.68272

0.1359.

6分②分层抽样抽取的7人年龄在3人4人分所以

的可能取值为0,1,2,3.因为

Y

C4CC2，Y4CC7

，P(2)

C2C014，(Y3)4C3C3

10分所以

的分布列为Y

1418121353535351812故的数学期望353535-12-

12分

1axy12121.【解析】1axy121（）由光学性质可知是PF的角平分线，所以

FQ

Q

.因为

，所以，122

，从而3，椭圆的方程为.43（）明设直线MN的程为x，y

，联立方程组

y

得

m9，y，yy，m232因为直线的程

yx

(，所以令x，

2yx

，因为ANy

，

2x

，又

26yymy