平面向量的概念与线性运算

考点34平面向量的概念与线性运算【命题解读】平面向量是高考考查的重点、热点.往往以选择题或填空题的形式出现.常以平面图形为载体，考查线性运算、数量积、夹角、垂直的条件等问题【基础知识回顾】向量的有关概念零向量：长度为0的向量叫零向量，其方向是不确定的.平行(共线)向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量.我们规定零向量与任一向量平行.单位向量：长度等于1个单位长度的向量.相等向量：长度相等且方向相同的向量.相反向量：与向量a长度相等，方向相反的向量叫做a的相反向量.向量的线性运算向量加法满足交换律a+b=b+a，结合律(a+b)+c=a+(b+c).向量加法可以使用三角形法则，平行四边形法则.向量的数乘：实数久与向量a的积是一个向量，记作如，它的长度和方向规定如下：|入a|=|川|a|；当义＞0时，入a与a方向相同:当义＜0时，入a与a方向相反:当a=0时，入a=0；当入=0时，入a=0.实数与向量的运算律：设入，UER，a，b是向量，则有：入Qa)=(ga；(义+«)a=4a+"a:入(a+b)=Aa+Ab.向量共线定理：如果有一个实数人，使b=Aa(a^0)，那么b与a是共线向量：反之，如果b与a(aN0)是共线向量，那么有且只有一个实数人，使b=2a.逢热身;训练1、 已知下列各式：口晶+灵+枝；□AB+MB+BO+OM；nOA+OB+BO+CO；□AB-AC+BD-CD,其中结果为零向量的个数为()1B.2C.3D.42、设a,b是非零向量，则a=2b是首=就成立的()充要条件 B.充分不必要条件

C.C.必要不充分条件D.既不充分又不必要条件TOC\o"1-5"\h\z3、已知M币=4e]+2e2，PQ=2e1+te2，若M、P、Q三点共线，则t=（ ）A.1B.2C.4D.-14、 （2019秋•如皋市期末）（多选题）在梯形ABCD中，AB//CD,AB=2CD,E,F分别是AB,CD的中点，AC与BD交于M，设AB=a,AD=b，则下列结论正确的是（ ）]—丁一—■:* ]一l一*[—2丁一—1_-A.AC=—a+b B.BC=—a+b C.BM=—a+—bD.EF=—a+b\o"CurrentDocument"2 2 3 3 45、（多选题）设点M是□刀合。所在平面内一点，则下列说法正确的是（）若AM=^2AB+jAC，则点M是边BC的中点若AM=2AB-AC，则点M在边BC的延长线上若AM=-BM-CM，则点M是口ABC的重心若AM=xAB+yAC,且x+y=?，EMBC的面积是UABC面积的26、 在左ABC中，AB^aC1」AB-aC，则ZBAC=.丑典饱剖析考向一平面向量的有关概念例1、（2019年徐州开学初考试）给出下列四个命题：若|a|=|b|，则a=b；若A，B，C，D是不共线的四点，则"京=DC”是“四边形ABCD为平行四边形”的充要条件；若a=b，b=c，贝a=c；a=b的充要条件是|a|」|b|且a〃b.其中正确命题的序号是（）A.②③ B.①② C.③④ D.②④变式1、.（多选）给出下列命题，不正确的有（ ）若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同若A，B，C，D是不共线的四点，且AB=DC，则ABCD为平行四边形a=b的充要条件是|a|」|b|且anb已知兀《为实数，若扁=«b，则a与b共线变式2、给出下列命题：①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量；

久a=0Q为实数），则2必为零；刀n为实数，若2a=〃b，则a与b共线.其中错误的命题的个数为（）A.0 B.1C.2 D.3变式3、（山东泰安一中2019届高三模拟）给出下列命题:两个具有公共终点的向量，一定是共线向量；届=0（人为实数），则A必为零；人，〃为实数，若la=〃b，则a与b共线.其中错误的命题的个数为（）B.1D.3B.1D.3C.2变式4、如图所示，已知正六边形ABCDEF，O是它的中心・（1）与而相等的向量有；（2）与C相等的向量有；（3）与BC共线的向量有.答案：（1）血，无，OC；⑵OA,EF,DO（3）cb,oAAO,OD,gAD,DAEF,Fe方法总结：向量有关概念的关键点（1） 向量定义的关键是方向和长度.（2） 非零共线向量的关键是方向相同或相反，长度没有限制.⑶相等向量的关键是方向相同且长度相等.⑷单位向量的关键是长度都是一个单位长度.（5）零向量的关键是长度是0，规定零向量与任意向量共线.考向二向量的线性运算例2>(1)(2019-安徽合肥二模)在△ABC中，BD=|BC，若苟=a，AC=b，则刀D=( )2,1 1NA.^a+^b B.^a+^b

C.1a—|b2 1D.|a—|b（2）（-题多解）（2020・广东一模）已知A,B,C三点不共线，且点O满足16OA—12OB—3OC=0,则（ ）~^A -^A -^AA.OA=12AC+3AC_ ~^C 一-^C -^CB.OA=12AB—3AC—~^A 一"^c ^AC.OA=—12AC+3AC~^B 一"^B_-^BD.OA=—12AB—3AC变式1、（山西平遥中学2019届期末）在A4BC中，aB=c,—2=b,若点D满足B2=2^2，则A2等TOC\o"1-5"\h\z于（）2 1 5 2A.gb+^c B§c一幸C.|b—jc D.jb+jc变式2、（2019-衡水中学五调）如图所示，在正方形ABCD中，E为BC的中点，H为AE的中点，则DF=（ ）变式3、1.在口ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则EB等于（ ）2.如图，在等腰梯形ABCD中，DC=2aB，BC=CD=DA，DE口AC于点E，则DE等于（ ）变式4、（2019无锡区期末）如图，在平行四边形ABCD中，下列计算错误的是（ ）aAB+AD=AC B.AC+CD+DO=OA^A.C.aB+AC+CD=AD D.AC+BA+DA=0变式5、（2019宿迁期末）如图所示，四边形ABCD为梯形，其中AB//CD,AB=2CD,M,N分别为AB,TOC\o"1-5"\h\zCD的中点，则下列结论正确的是（ ）pyc'二A M g„二»1-„—1—二1———*—*1—-„ *1A.AC=AD+-ABB.MC=-AC+-BCC.MN=AD+—ABD.BC=AD——AB2 2 2 4 2方法总结：向量的线性运算，即用几个已知向量表示某个向量，基本技巧为：一般共起点的向量求和用平行四边形法则；求差用三角形法则；求首尾相连向量的和用三角形法则.考向三共线定理的应用例3、如图，在^ABO中，OC=4（5A，6D=*5B，AD与BC相交于点M，设6A=a，苞=b.试用a和b表示O认变式1>（2019-河南郑州第一次质量预测）已知A，B，C是直线l上不同的三个点，点O不在直线l上，则使等式x2OA+xOB+BC=0成立的实数x的取值集合为（）TOC\o"1-5"\h\zA.{0} B.C.{—1} D.{0，一1}变式2、（2019秋•清远期末）等边三角形ABC中，BD=DC，EC=2~AE，AD与BE交于F，则下列结论\o"CurrentDocument"正确的是（ ）、—*1—*—二 _—*2—:1—*A.AD=一（AB+AC） B.BE=-BC+一BA2 3 3

C.AF=1AD D.BF=1BA+1BC2 2 3变式3、设两个非零向量a与b不共线.芯=a+b,BC=2a+8b,CD=3(a—b)，求证：A,B,D三点共线;试确定实数妇使ka+b和a+kb共线.方法总结：利用共线向量定理解题的方法a〃boa=Ab(b^0)是判断两个向量共线的主要依据.注意待定系数法和方程思想的运用.证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线.即A，B，C三点共线。—?，—7共线.若a与b不共线且la=〃b，则人=〃=0.dt=AoB+〃。2(人，〃为实数)，若A，B，C三点共线，则人+〃=1.普优的提升-实战演练1、 在口ABC中，点G满足GA+GB+GC=0.若存在点。，使得OG^^BC，且OA=mdB+nOC，则m—n等于()A.2B.—2C.1D.—12、 A，B，C是圆O上不同的三点，线段CO与线段AB交于点D(点O与点D不重合)，若OC=^OA+〃OB(2，^DR)，则久+〃的取值范围是() --/■TOC\o"1-5"\h\zA.(0,1) B.(1，+叨 .： ■C.(1，V2] D.(—1,0) ■.''3、【2018年高考全国I卷理数】在^ABC中，AD为BC边上的中线，旧为 • AD的中3-1—A-AB--AC•4 43-1—A-AB--AC•4 4\o"CurrentDocument"B1AB-3AC

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C.C.3AB+1AC4 4D.-AB+3AC444、.在口/BC中，下列命题正确的是（ ）,^^—^—^A.AB—AC=BCB.AB+bC+CA=0C.若函+AC）-（AB~AC）=0,则「ABC为等腰三角形D.若AC-AB>0,则「ABC为锐角三角形5、（2020届山东省泰安市高三上期末）如图，在四边形ABCD中，AB〃CD,AB±AD,AB=2AD=2DC,E为A.TOC\o"1-5"\h\zBC边上一点，且BC=3EC,F为AE的中点，则（ ）A.BC=--AB+AD2BAF=-AB+-AD3 3CBF=-2AB+-AD3 3DCF=-AB--aD6 36、【江苏卷】在△ABC中，AB=4,A