平面向量常见题型汇编7 平面向量的范围最值问题

平面向量的范围最值问题1.面向量数量积的范围、最值问题rr已知两个非零向量a和rr已知两个非零向量a和b,它们的夹角为。，把数量rs rra-b-cos0叫做a和b的数量积（或内rr规定a-0=0,数量积的表示一般有三种方法：（1）当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解,即当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解,即a-b=a-b-cos0；（2）当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a=（x1,y1）,b=（x2,y2）,则a•b=x1x2+y1y2；（3）运用平面向量基本定理，将数量积的两个向量用基底表示后，再运算.例题1：如图，半径为1的扇形AOB中，ZAOB—,P是弧AB上的一点，且满足uuuvumvOP±OB，M,N分别是线段OA,OB上的动点，则PM-PN的最大值为（）A.M A.M B.M C.1 D.\2【解析】：扇形项助的半径为b.-.|o?|=i, =:ZAO£=^?.-.XAOP=^J 1- 1- 1- i-'i 1- i-'i, 1-2. 1- 1- 1- 1- 1- 1-「.PM7W=（PO+0M）-（P0+例）二户0^ON-PQ^OMPO^OMON=1+DMcos^+m7|-|0AT例题2：在矩形ABCD中，AB=3,AD=1,若M,N分别在边BC,CD上运动(包uuuuBMuuvCN括端点，且满足FuuuuBMuuvCN括端点，且满足F砰=-bfbuv~~CDBCuuuvumv，则AM-AN的取值范围是[解析盼别以AB,AD方W铀建M直角坐标系测巡槌)，月3皿设匝3分因为厕(jc.1). (3.3TOC\o"1-5"\h\zI因为厕(jc.1). (3.3一 ，一、 . X2 V2 _变式1：已知圆C的方程(X-1)2+V2=1，P是椭圆丁+：=1上一点，过P作圆的两4 3uuuunt条切线，切点为A，B，则PA-PB的取值范围为()A.质,+8)BA.质,+8)B,[2很-3,+8)C.2皿-3,5656]

百」解析：P(x,v)设ZCPA=ZCPB=Q,C(1,0),PA|2=|PC|2-1=(X-1》+V21-1=一X2一2x+44——x2—2x+2ncos20=1-2sin20=-4 x2—2x+44nsin0=—-PCI1，X2—2X+44设t=—x2—2x+4=上(x—4)244uuuuuu (t_2) 2一—uuruu又PA•PB=IPAI2cos20=(t—1)-——)=t+——3>2<2—3,t=如2,(PA•PB)mint tmin— uuluuuu 血^血^f-3,56，故选C2^2—3,t=9,(PA•PB)max=-96nPA-PBf-3,56，故选Cuuu mum变式2：已知△ABC中，AB=4,AC=2，|XAB+(2—2X)ACI(XeR)的最小值— umuir为2^3，若P为边AB上任意一点，则PB-PC的最小值是解析：令f(k)=|人A+(2—2人)AC|2=人2lAB2+(2—2人)2AC2+2X(2—2人)A-AC=16k2+4(2—2X)2+2X(2—2X)-8cosA=16[(2—2cosA)X2+(2cosA—2)X+1],当cosA=0时，f(X)=16(2X2—2X+1)=16[2(X—2-)2+2]>8,因为2君>2^2，所以A=f，则建立直角坐标系，A(0,0),B(4,0),C(0,2),uuu uuu设P(x,0)(0vXv4)，则PB=(4—x,0),PC=(—x,2),mmuuu所以PB-PC=—x(4—X)=(x—2)2—4；当cosA丰0时，f(X)=16[(2—2cosA)(X—2)2+1+；sA]>8+8cosA=12,TOC\o"1-5"\h\z,1 ,兀解得cosA=—，所以A=—，则建立直角坐标系，A(0,0),B(4,0),C(1,、：3),uuu mm -设P(x,0)(0vXv4)，则PB=(4—x,0),PC=(1—x,、3),UUKUUl 5 9所以PB-PC=(4—x)(1—x)=(x——)2—.45uuuuuu 9综上所述，当x=5时，PB-PC取得最小值—云.2.平面向量模的取值范围、最值问题2=（X2+y2，向量的模可以利用坐标表示，也可以借助“形”，向量的模指的是有向线段的长度，过可结合平面几何知识求解，尤其注意，如果直接求模不易，可以将向量用基底向量表示再求.rr—b=2，则c范围为—rr—b=2，则c范围为—例题3：已知a,b为单位向量，且a1b,向量c满足c—ammrruuaruuarrr解析：如图，OA=a+b,OB=cnAB=c—(a+b)marrvu_ _r一又IOA1=1a+bI=2n2—2<1c!<2+72O254B1015变式3：.r—向量a,b,c满足a=O254B1015变式3：.r—向量a,b,c满足a=4,b=V^,兀的夹角为一，4的最大值为（）分析：根据已知条件可建立直角坐标系，用坐标表示有关点（向量），确定变量满足的等式和目标函数的解析式，结合平面几何知识求最值或范围.解析：设OA=a,OB=b,OC=c；以OA所在直线为x,O为坐标原点建立直角坐标系r•/arr 兀a与b的夹角为—，则a(4,0),B(2,2)，设C(x，y)4rrrr(c—a)-(c—b)=—1,.，.x2+y2-6x-2y+9=0，即(x-3)2+(y-1)2=1表示以(3,1)为圆rr心，以1为半径的圆，c—a表示点A,C的距离即圆上的点与点A（4,0）的距离.•.,圆心到B的距离为p(3—4)2+(1—0)2=,, 兀变式4：已知向量a,b夹角为一，3bl=2,对任意xeR, 兀变式4：已知向量a,b夹角为一，3\tb—a\+tb—a(teR)的最小值是2—17"-u . — — _ 向营反。岂甬为一M=2,利任建有&十京"0—两边平充整理可得3那护+ 况可室。，贝忸一2—17"-u . — — _ 向营反。岂甬为一M=2,利任建有&十京"0—两边平充整理可得3那护+ 况可室。，贝忸一4|万一矿+狎（寻一&一5）蜀，即可何科一点一研＜口,即占*项）=u,则何项）」矿由叵]萱万方夹角WA(1,0),Ba=(-1,0),b=Ci,、3).“va•.tb—a+tbA(1,0),Ba=(-1,0),b=Ci,、3).“va•.tb—a+tb——2=(4t2—2t+1+,：4t2—t+—=、2+二4J+0-斗i的距离之和的2倍，表示P(t,0)的距离之和的2倍，当M,P,N共线时，取得最小值2\MN,即有2|MN|=2即有2|MN|=2r1112+VI487⑧+巫f=匝~T~8~2,故答案为七-r设a=(气,y1),r rrb=r设a=(气,y1),r rrb=(x2,y2)，且a,b夹角为0,rra-bxx+yy贝寸coso=rr= ~~』2a-b .x2+y2•:'x2+y21 1 \2 2rr例题4：已知非零向量a,b满足rra=2b,若函数f(x)=-x3+—ax2+a.bx+1在r上3 2rr存在极值，则a和b夹角的取值范围为 解析:rr设a和b夹角为0,因为f（x）有极值，所以-4a-b-cos0>0,即cos0<上，所以0e2T^'3 T^'3T^'3 T^ '3 T^'3变式5：非零向量a,b满足2a-b=a2b2，IaI+Ib1=2，则a与b夹角最小值是rr1rr解析：由题意得a-brr1rr解析：由题意得a-b=—a2b2，2rr<1,cos；a,b、'= =-aibi2 ra-b即rra+brra.b1<2r整理得a2+b2=4一2a-b>2a-b—<-a，b；<兀，夹角的最小值为—rrr_r rrr变式6：已知向量a,b满足IaI=2\/2IbI丰0，且关于x的函数f（x）=2x3+3IaIx2+6a-bx+7在rr实数集R上单调递增，则向量a,b的夹角的取值范围是（）n n n nnA.[0,-] B,[0,-] C.[0,-]D.[-,-]6 3 4 64tlffi】4导数可得火日―6疽+6牛+6心则口函数低）-N+琅『+6；长―7在文源集丑上单询递增，可得尸（工）=6一『十6』工十5。3土0恒成业」即疽十「工十云£）恒成立,故判别式『二皿,再由心牧555,"3）尸0.—,故选：c.4.平面向量系数的取值范围、最值问题例题5：已知a=«,2）,b=（-3,5）,且％与b的夹角为锐角，则人的取值范围是 . . rr . rr分析：a与b的夹角为锐角等价于a-b>0，且a与b不共线同向，所以由a-b>0，得入v~3-，再除去a与b共线同向的情形.解析：由于a与b的夹角为锐角，a-b>0,且a与b不共线同向，由10 L「 ~一九6a,b>0n—3人+10>0，解得人v ，当向量a与b共线时，得5人——6，得^=_—10 6因此入的取值范围是人v—且人卫一厅.例题6：已知G是VABC的重心，过点G作直线MN与AB，AC交于点M,N，且uuuvuuvvumv uuwAM—xAB，AN—yAC，（x,y>0人则3x+y的最小值uuu1uuvuuvuuu1uuvuuv•AG——（AB+AC），31 _17—一x —人,3 3 . 一•（3 3，解得1=人y一1人3 3令3x一1—m，3y一1—n，uuuv umv如图QM，N，G三点共线，MG—人GN，umvuuuv umvuuiv•AG—AM=（AN—AG），G是VABC的重心，uuvuuuuuvuuuv1uuvuuuv•—（AB+AC）—xAB=（yAC—（AB+AC））TOC\o"1-5"\h\z3（3x—1）（3y—1）=1；结合图象可知4<x<1，<y<1；2/111+m 1+n（—<m<2,—<n<2）；故mn=1，x= ，y= ；2 2 3 3当且仅当m=?,n等号成立故3x+y-1+m+史=4+m+口24当且仅当m=?,n等号成立3 33 13 3 3

变式7：如右图所示，已知点G是AABC的重心，过点G作直线与AB,AC两边分别交于uuuuuuuuuuuuuM,N两点，且AM=xAB,AN=yAC，则x+2y的最小值为uuuc1(uuuumr\因为G是AABC重心，所以AG=3^AB+AC/1(uuuuur、uuu(uur1(uuuuuuY-MB+A^—xAB=XIyAC-—MB+A^3 I3 )化简得(3x—1)(3y—1)=1，解得题目所给图像可知1<x<1,1<y<1.2 2由基本不等式得2=（3x—1）（6y—2）V即3即3(x+2y)—3>2•克,x+2y>3+2克——3——.当且仅当3x—1=6y—2，<2+1 <2+2 3+2、互即x=—-—,y=—-—时，等号成立，故最小值为—-—.3 6 3

变式8：直角梯形ABCD中CB±CD变式8：直角梯形ABCD中CB±CD,ADPBC,VABD是边长为2的正三角形，P是平面上的动点，uuvCP=1uuuuuuuuu设aP=XaD+日aB（人，peR），则入+日的最大值为uuuuuuuuv以C为原点，CD为%轴，BC所在直线为j轴，建立直角坐标系，QCP=1uuv uuu( —Iuuu uuu( |・.・可设CP=(cos以,sina),AD=V1^.'3,AB=(—2,0),,AC=妃2,\.'3,所以uuvuuivuuuAP=AC+CP=—2,sin^所以uuvuuivuuuAP=AC+CP=—2,sin^+uuvuuuuuv因为AP=XAD+pAB，—2,sin^+—2d—入—入一2u=cosa—2{应=sina+&n{、＜3.人=—sina+13、吾.1旦=——cosa一——sina+—6妇卜-1cosa+空sina+3=吏(a—甲)+32 6 2 3 2. 9+2<§ 9+2<3即X+^的最大值为一-一，故答案为一-—66

共线定理的应用例题7：已知。,b是不共线的向量，uuv uuivAB=Xa+2b,AC=a+侦一Db，且A,B,C三点共线，则X=（ ）共线定理的应用例题7：已知。,b是不共线的向量，uuv uuivAB=Xa+2b,AC=a+侦一Db，且A,B,C三点共线，则X=（ ）A.-1 B.-2C.-2或1 D.-1或2解析：由于A,B,C三点共线，uur uuur故AB=rAC,即人•（人一1）—2-1=0,解得人=-1或2.本题选择D选项.例题8：在AABC中，M为边BC上的任意一点uuu1uuuruuuuuu uuurAN=3NM，若AN=XAB+pAC（人,peR）mar1uuuruuu1uuuu点N在线段AM上，且满足解析：因为AN=3NMnAN=1uuuu uuuruuuuuuAM，又因为