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文档简介
2023年高考数学模拟试卷注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型(B)填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2.作答选择题时,选出每小题答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新答案;不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知正方体的体积为,点,分别在棱,上,满足最小,则四面体的体积为A. B. C. D.2.已知函数的图像的一条对称轴为直线,且,则的最小值为()A. B.0 C. D.3.已知是第二象限的角,,则()A. B. C. D.4.若实数满足不等式组则的最小值等于()A. B. C. D.5.已知集合,集合,那么等于()A. B. C. D.6.中国铁路总公司相关负责人表示,到2018年底,全国铁路营业里程达到13.1万公里,其中高铁营业里程2.9万公里,超过世界高铁总里程的三分之二,下图是2014年到2018年铁路和高铁运营里程(单位:万公里)的折线图,以下结论不正确的是()A.每相邻两年相比较,2014年到2015年铁路运营里程增加最显著B.从2014年到2018年这5年,高铁运营里程与年价正相关C.2018年高铁运营里程比2014年高铁运营里程增长80%以上D.从2014年到2018年这5年,高铁运营里程数依次成等差数列7.设集合(为实数集),,,则()A. B. C. D.8.已知的展开式中第项与第项的二项式系数相等,则奇数项的二项式系数和为().A. B. C. D.9.已知点,点在曲线上运动,点为抛物线的焦点,则的最小值为()A. B. C. D.410.函数的大致图象为()A. B.C. D.11.执行如图所示的程序框图后,输出的值为5,则的取值范围是().A. B. C. D.12.下列不等式正确的是()A. B.C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.在长方体中,,则异面直线与所成角的余弦值为()A. B. C. D.14.函数的定义域是__________.15.设点P在函数的图象上,点Q在函数的图象上,则线段PQ长度的最小值为_________16.某部门全部员工参加一项社会公益活动,按年龄分为三组,其人数之比为,现用分层抽样的方法从总体中抽取一个容量为20的样本,若组中甲、乙二人均被抽到的概率是,则该部门员工总人数为__________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知x,y,z均为正数.(1)若xy<1,证明:|x+z|⋅|y+z|>4xyz;(2)若=,求2xy⋅2yz⋅2xz的最小值.18.(12分)2019年是中华人民共和国成立70周年.为了让人民了解建国70周年的风雨历程,某地的民调机构随机选取了该地的100名市民进行调查,将他们的年龄分成6段:,,…,,并绘制了如图所示的频率分布直方图.(1)现从年龄在,,内的人员中按分层抽样的方法抽取8人,再从这8人中随机选取3人进行座谈,用表示年龄在)内的人数,求的分布列和数学期望;(2)若用样本的频率代替概率,用随机抽样的方法从该地抽取20名市民进行调查,其中有名市民的年龄在的概率为.当最大时,求的值.19.(12分)如图,湖中有一个半径为千米的圆形小岛,岸边点与小岛圆心相距千米,为方便游人到小岛观光,从点向小岛建三段栈道,,,湖面上的点在线段上,且,均与圆相切,切点分别为,,其中栈道,,和小岛在同一个平面上.沿圆的优弧(圆上实线部分)上再修建栈道.记为.用表示栈道的总长度,并确定的取值范围;求当为何值时,栈道总长度最短.20.(12分)已知直线的参数方程为(为参数),以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为,且曲线的左焦点在直线上.(Ⅰ)求的极坐标方程和曲线的参数方程;(Ⅱ)求曲线的内接矩形的周长的最大值.21.(12分)已知函数(,)满足下列3个条件中的2个条件:①函数的周期为;②是函数的对称轴;③且在区间上单调.(Ⅰ)请指出这二个条件,并求出函数的解析式;(Ⅱ)若,求函数的值域.22.(10分)如图1,在边长为4的正方形中,是的中点,是的中点,现将三角形沿翻折成如图2所示的五棱锥.(1)求证:平面;(2)若平面平面,求直线与平面所成角的正弦值.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】
由题意画出图形,将所在的面延它们的交线展开到与所在的面共面,可得当时最小,设正方体的棱长为,得,进一步求出四面体的体积即可.【详解】解:如图,
∵点M,N分别在棱上,要最小,将所在的面延它们的交线展开到与所在的面共面,三线共线时,最小,
∴
设正方体的棱长为,则,∴.
取,连接,则共面,在中,设到的距离为,
设到平面的距离为,
.
故选D.【点睛】本题考查多面体体积的求法,考查了多面体表面上的最短距离问题,考查计算能力,是中档题.2、D【解析】
运用辅助角公式,化简函数的解析式,由对称轴的方程,求得的值,得出函数的解析式,集合正弦函数的最值,即可求解,得到答案.【详解】由题意,函数为辅助角,由于函数的对称轴的方程为,且,即,解得,所以,又由,所以函数必须取得最大值和最小值,所以可设,,所以,当时,的最小值,故选D.【点睛】本题主要考查了正弦函数的图象与性质,其中解答中利用三角恒等变换的公式,化简函数的解析式,合理利用正弦函数的对称性与最值是解答的关键,着重考查了分析问题和解答问题的能力,属于中档试题.3、D【解析】
利用诱导公式和同角三角函数的基本关系求出,再利用二倍角的正弦公式代入求解即可.【详解】因为,由诱导公式可得,,即,因为,所以,由二倍角的正弦公式可得,,所以.故选:D【点睛】本题考查诱导公式、同角三角函数的基本关系和二倍角的正弦公式;考查运算求解能力和知识的综合运用能力;属于中档题.4、A【解析】
首先画出可行域,利用目标函数的几何意义求的最小值.【详解】解:作出实数,满足不等式组表示的平面区域(如图示:阴影部分)由得,由得,平移,易知过点时直线在上截距最小,所以.故选:A.【点睛】本题考查了简单线性规划问题,求目标函数的最值先画出可行域,利用几何意义求值,属于中档题.5、A【解析】
求出集合,然后进行并集的运算即可.【详解】∵,,∴.故选:A.【点睛】本小题主要考查一元二次不等式的解法,考查集合并集的概念和运算,属于基础题.6、D【解析】
由折线图逐项分析即可求解【详解】选项,显然正确;对于,,选项正确;1.6,1.9,2.2,2.5,2.9不是等差数列,故错.故选:D【点睛】本题考查统计的知识,考查数据处理能力和应用意识,是基础题7、A【解析】
根据集合交集与补集运算,即可求得.【详解】集合,,所以所以故选:A【点睛】本题考查了集合交集与补集的混合运算,属于基础题.8、D【解析】因为的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等,所以,解得,所以二项式中奇数项的二项式系数和为.考点:二项式系数,二项式系数和.9、D【解析】
如图所示:过点作垂直准线于,交轴于,则,设,,则,利用均值不等式得到答案.【详解】如图所示:过点作垂直准线于,交轴于,则,设,,则,当,即时等号成立.故选:.【点睛】本题考查了抛物线中距离的最值问题,意在考查学生的计算能力和转化能力.10、A【解析】
利用特殊点的坐标代入,排除掉C,D;再由判断A选项正确.【详解】,排除掉C,D;,,,.故选:A.【点睛】本题考查了由函数解析式判断函数的大致图象问题,代入特殊点,采用排除法求解是解决这类问题的一种常用方法,属于中档题.11、C【解析】
框图的功能是求等比数列的和,直到和不满足给定的值时,退出循环,输出n.【详解】第一次循环:;第二次循环:;第三次循环:;第四次循环:;此时满足输出结果,故.故选:C.【点睛】本题考查程序框图的应用,建议数据比较小时,可以一步一步的书写,防止错误,是一道容易题.12、D【解析】
根据,利用排除法,即可求解.【详解】由,可排除A、B、C选项,又由,所以.故选D.【点睛】本题主要考查了三角函数的图象与性质,以及对数的比较大小问题,其中解答熟记三角函数与对数函数的性质是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、C【解析】
根据确定是异面直线与所成的角,利用余弦定理计算得到答案.【详解】由题意可得.因为,所以是异面直线与所成的角,记为,故.故选:.【点睛】本题考查了异面直线夹角,意在考查学生的空间想象能力和计算能力.14、【解析】由,得,所以,所以原函数定义域为,故答案为.15、【解析】
由解析式可分析两函数互为反函数,则图象关于对称,则点到的距离的最小值的二倍即为所求,利用导函数即可求得最值.【详解】由题,因为与互为反函数,则图象关于对称,设点为,则到直线的距离为,设,则,令,即,所以当时,,即单调递减;当时,,即单调递增,所以,则,所以的最小值为,故答案为:【点睛】本题考查反函数的性质的应用,考查利用导函数研究函数的最值问题.16、60【解析】
根据样本容量及各组人数比,可求得C组中的人数;由组中甲、乙二人均被抽到的概率是可求得C组的总人数,即可由各组人数比求得总人数.【详解】三组人数之比为,现用分层抽样的方法从总体中抽取一个容量为20的样本,则三组抽取人数分别.设组有人,则组中甲、乙二人均被抽到的概率,∴解得.∴该部门员工总共有人.故答案为:60.【点睛】本题考查了分层抽样的定义与简单应用,古典概型概率的简单应用,由各层人数求总人数的应用,属于基础题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)证明见解析;(2)最小值为1【解析】
(1)利用基本不等式可得,再根据0<xy<1时,即可证明|x+z|⋅|y+z|>4xyz.(2)由=,得,然后利用基本不等式即可得到xy+yz+xz≥3,从而求出2xy⋅2yz⋅2xz的最小值.【详解】(1)证明:∵x,y,z均为正数,∴|x+z|⋅|y+z|=(x+z)(y+z)≥=,当且仅当x=y=z时取等号.又∵0<xy<1,∴,∴|x+z|⋅|y+z|>4xyz;(2)∵=,即.∵,,,当且仅当x=y=z=1时取等号,∴,∴xy+yz+xz≥3,∴2xy⋅2yz⋅2xz=2xy+yz+xz≥1,∴2xy⋅2yz⋅2xz的最小值为1.【点睛】本题考查了利用综合法证明不等式和利用基本不等式求最值,考查了转化思想和运算能力,属中档题.18、(1)分布列见解析,(1)【解析】
(1)根据频率分布直方图及抽取总人数,结合各组频率值即可求得各组抽取的人数;的可能取值为0,1,1,由离散型随机变量概率求法即可求得各概率值,即可得分布列;由数学期望公式即可求得其数学期望.(1)先求得年龄在内的频率,视为概率.结合二项分布的性质,表示出,令,化简后可证明其单调性及取得最大值时的值.【详解】(1)按分层抽样的方法拉取的8人中,年龄在的人数为人,年龄在内的人数为人.年龄在内的人数为人.所以的可能取值为0,1,1.所以,,,所以的分市列为011.(1)设在抽取的10名市民中,年龄在内的人数为,服从二项分布.由频率分布直方图可知,年龄在内的频率为,所以,所以.设,若,则,;若,则,.所以当时,最大,即当最大时,.【点睛】本题考差了离散型随机变量分布列及数学期望的求法,二项分布的综合应用,属于中档题.19、,;当时,栈道总长度最短.【解析】
连,,由切线长定理知:,,,,即,,则,,进而确定的取值范围;根据求导得,利用增减性算出,进而求得取值.【详解】解:连,,由切线长定理知:,,,又,,故,则劣弧的长为,因此,优弧的长为,又,故,,即,,所以,,,则;,,其中,,-0+单调递减极小值单调递增故时,所以当时,栈道总长度最短.【点睛】本题主要考查导数在函数当中的应用,属于中档题.20、(Ⅰ)曲线的参数方程为:(为参数);的极坐标方程为;(Ⅱ)16.【解析】
(
I
)直接利用转换关系,把参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换;(
II
)利用三角函数关系式的恒等变换和正弦型函数的性质的应用,即可求出结果.【详解】(Ⅰ)由题意:曲线的直角坐标方程为:,所以曲线的参数方程为(为参数),因为直线的直角坐标方程为:,又因曲线的左焦点为,将其代入中,得到,所以的极坐标方程为.(Ⅱ)设椭圆的内接矩形的顶点为,,,,所以椭圆的内接矩形的周长为:,所以当时,即时,椭圆的内接矩形的周长取得最大值16.【点睛】本题考查了曲线的参数方程,
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