2021-2021版高中数学第三章柯西不等式与排序不等式测评新人教A版选修4-5

.PAGE下载后可自行编辑修改，页脚下载后可删除。第三讲柯西不等式与排序不等式测评(时间:120分钟总分值:150分)一、选择题(本大题共12小题,每题5分,共60分)1.以下不等式中一定成立的是()A.(ax+by)2≥(a2+b2)(x2+y2)B.|ax+by|≥aC.(a2+b2)(x2+y2)≥(ay+bx)2D.(a2+b2)(x2+y2)≥(ab+xy)2解析由柯西不等式可知,只有C项正确.答案C2.设xy>0,那么x2+4A.-9 B.9 解析x2+2y答案B3.设a1≤a2≤…≤an,b1≤b2≤…≤bn为两组实数,c1,c2,…,cn是b1,b2,…,bn的任一排列,那么和S=a1bn+a2bn-1+…+anb1,T=a1c1+a2c2+…+ancn,K=a1b1+a2b2+…+anbn的关系是(A.S≤T≤K B.K≤T≤SC.T≤K≤S D.K≤S≤T解析根据排序不等式知反序和≤乱序和≤顺序和,那么S≤T≤K.答案A4.假设3x+2y+z=7,那么x2+y2+z2的最小值是()A.12 B.714解析由柯西不等式可得(32+22+12)(x2+y2+z2)≥(3x+2y+z)2,即14(x2+y2+z2)≥(7)2=7,于是x2+y2+z2≥12,当且仅当x3=y2=z,即x=3714,y=77,z=714时,等号成立,故答案A5.用柯西不等式求函数y=2x-3A.22 B.3 解析由柯西不等式,得函数y=2x-当且仅当2x故函数y的最大值为4.应选C.答案C6.x2a2+y2b2=1(a>b>0),设A=a2+b2,B=(x+y)A.A<B B.A>B C.A≤B D.A≥B解析A=a2+b2=1·(a2+b2)=x2a2+y2b2(a2+b2)≥xa·a+yb答案D7.a>0,且M=a3+(a+1)3+(a+2)3,N=a2(a+1)+(a+1)2(a+2)+a(a+2)2,那么M与N的大小关系是()A.M≥N B.M>N C.M≤N D.M<N解析取两组数:a,a+1,a+2与a2,(a+1)2,(a+2)2,显然a3+(a+1)3+(a+2)3是顺序和.而a2(a+1)+(a+1)2(a+2)+a(a+2)2是乱序和,由排序不等式易知此题中,M>N.答案B8.x,y,z是正实数,且1x+2y+3z=1,A.5 B.6 解析由柯西不等式可得x+y≥x·1当且仅当x=3,y=6,z=9时,等号成立,故x+y2+答案D9.a,b是给定的正数,那么4a2siA.2a2+b2ab C.(2a+b)解析4a2sin2α+b2≥sinα2asinα+cosα当且仅当sinαbcosα=cosα2故4a2sin2α答案C10.正数x,y,z满足x+2y+3z=1,那么1x+2yA.1 B.9 解析由柯西不等式可得(x+2y+2y+3z+3z+x)·1x+2y+42y∵x+2y+3z=1,∴21x∴1x∴当且仅当x+2y=2y+3z2=3z+x3,即x=答案D11.在锐角三角形ABC中,设p=a+b+c2,q=acosC+bcosB+ccosA,那么pA.p≥q B.p=qC.p≤q解析不妨设A≥B≥C,那么a≥b≥c,cosA≤cosB≤cosC.那么由排序不等式可得q=acosC+bcosB+ccosA≥acosB+bcosC+ccosA, ①acosC+bcosB+ccosA≥acosC+bcosA+ccosB, ②由①+②得2(acosC+bcosB+ccosA)≥acosB+bcosA+bcosC+ccosB+ccosA+acosC,即2(acosC+bcosB+ccosA)≥2R(sinAcosB+cosAsinB)+2R(sinBcosC+cosBsinC)+2R(sinCcosA+cosCsinA),整理,得acosC+bcosB+ccosA≥R[sin(A+B)+sin(B+C)+sin(C+A)]=R(sinA+sinB+sinC)=2R答案C12.导学号26394060设P为△ABC内一点,D,E,F分别为P到BC,CA,AB所引垂线的垂足,如图.假设△ABC的周长为l,面积为S,那么BCPD+CAPEA.l22S B.l2S C解析设AB=a1,AC=a2,BC=a3,PF=b1,PE=b2,PD=b3,那么a1b1+a2b2+a3b3=2S.∵a3b3+a2b2+a1b1(a3b3+a2b2+a1b1)≥a3b3·a3b3+a2b2答案A二、填空题(本大题共4小题,每题5分,共20分)13.假设x12+x22+x32=2,y12+y22+解析由柯西不等式可得(x12+x22+x32)(y12+y22+y32)≥(x1y1+x2y2+x3y3)2,即(x1y1+x2y2+x3y3)2≤6,所以x1y1+x2y2+x3答案614.假设a,b,c>0,那么bca+解析不妨设a≥b≥c>0,那么ab≥ac≥bc>0,1c≥1b≥1a>0,那么由排序不等式可得bca+acb+abc≥答案≥15.设正实数a1,a2,…,a100的任意一个排列为b1,b2,…,b100,那么a1b1+a2b解析不妨设0<a1≤a2≤…≤a100,那么0<1a100≤1a99≤…≤1a1,由排序不等式可得a1b1+a2b2+…+a100b100≥a1·1答案10016.边长为a,b,c的三角形,其面积为14,外接圆半径为1,假设s=a+b+c,t=1a+解析三角形的面积S=abc4即abc=1,所以t=ab+bc+ca,t2=(ab+bc+ca)1≥(a+b+c)又a,b,c>0,所以s≤t.答案s≤t三、解答题(本大题共6小题,共70分)17.(本小题总分值10分)a>0,b>0,a+b=1,求证2a+1+证明由柯西不等式可得(2a+1+2b+1)2=(2a+1·1+2b+1·1)2≤[(2a+1)因此(2a+1+2b+1)2≤2(2故2a+1+2b+1≤2218.(本小题总分值12分)a,b,c都是非零实数,求证a4b2+b4c2证明由柯西不等式可得a4b2+b4c2=a2b2+b2c2≥a2b·b+b2c·c+又因为a2+b2+c2>0,所以a4b2+b4c2+c419.(本小题总分值12分)设x2+4y2=1,求u=2x+y的最值以及取得最值时,实数x,y的值.解u=2x+y=2·x+12·2由柯西不等式可得22+122[x2+≥2·即(2x+y)2≤174×所以u2≤174,故-172≤u≤172,当且仅当4y=12x,且x2+4y2=1时,等号成立,解得x=±4所以u的最大值是172,此时x=41717,u的最小值是-172,此时x=-41717,20.(本小题总分值12分)设a,b,c∈(0,+∞),利用排序不等式证明a2ab2bc2c≥ab+cbc+aca+b证明不妨设a≥b≥c>0,那么lga≥lgb≥lgc,由排序不等式可得alga+blgb+clgc≥blga+clgb+algc,alga+blgb+clgc≥clga+algb+blgc,以上两式相加可得2alga+2blgb+2clgc≥(b+c)lga+(a+c)lgb+(a+b)lgc,即lga2a+lgb2b+lgc2c≥lgab+c+lgba+c+lgca+b,lg(a2a·b2b·c2c)≥lg(ab+c·ba+c故a2ab2bc2c≥ab+cbc+aca+b(当且仅当a=b=c时,等号成立)21.导学号26394061(本小题总分值12分)a>0,b>0,c>0,函数f(x)=|x+a|+|x-b|+c的最小值为4.(1)求a+b+c的值;(2)求14a2+19b2+c2解(1)因为f(x)=|x+a|+|x-b|+c≥|(x+a)-(x-b)|+c=|a+b|+c,当且仅当-a≤x≤b时,等号成立.又a>0,b>0,所以|a+b|=a+b,所以f(x)的最小值为a+b+c.又f(x)的最小值为4,所以a+b+c=4.(2)由(1)知a+b+c=4,由柯西不等式,得14a2+1≥a2×2+b3×3+即14a2+19b2+c2≥当且仅当12a2=13b3=c1,即a=87,b=187,c=27时等号成立22.导学号26394062(本小题总分值12分)如图,等腰直角三角形AOB的直角边长为1,在此三角形中任取点P,过P分别引三边的平行线,与各边围成以P为顶点的三个三角形(图中阴影局部),求这三个三角形的面积和的最小值,以及到达最小值时P的位置.解分别取OA,OB所在的直线为x轴、y轴,建立如下图的平