专题16椭圆的简单几何性质（知识精讲）（原卷版）

专题十六椭圆的简单几何性质—知识结构图内容考点关注点椭圆的简单几何性质椭圆的简单几何性质性质运用离心率求离心率，由离心率求方程二.学法指导.由标准方程研究性质时的两点注意(1)已知椭圆的方程讨论性质时，若不是标准形式的先化成标准形式，再确定焦点的位置，进而确定椭圆的类型.(2)焦点位置不确定的要分类讨论，找准。与几正确利用〃=加+。2求出焦点坐标，再写出顶点坐标.同时要注意长轴长、短轴长、焦距不是a,byC,而应是242〃,2c..利用椭圆的几何性质求标准方程的思路(1)利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程时，通常采用待定系数法，其步骤是：①确定焦点位置；②设出相应椭圆的标准方程(对于焦点位置不确定的椭圆可能有两种标准方程)；③根据」知条件构造关于参数的关系式，利用方程(组)求参数，列方程(组)时常用的关系式有b2=a1—c2,(2)在椭圆的简单几何性质中，轴长、离心率不能确定椭圆的焦点位置，因此仅依据这些条件求所要确定的椭圆的标准方程可能有两个..求椭圆离心率及范围的两种方法(1)直接法：若已知a,c可直接利用e=?求解.若已知小人或〃，c可借助于〃=〃+/求出c,或〃，再代入公式求解.(2)方程法：若〃，c的值不可求，则可根据条件建立a,b,。的齐次关系式，借助于〃2=//+理，转化为关于a,c的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以。的最高次幕，得到关于e的方程或不等式，即可求得。的值或范围..代数法判断直线与椭圆的位置关系判断直线与椭圆的位置关系，通过解直线方程与椭圆方程组成的方程组，消去方程组中的一个变量，得到关于另一个变量的一元二次方程，则4>00直线与椭圆相交；/=0台直线与椭圆相切；/VOO直线与椭圆相离..解决椭圆的中点弦问题的两种方法（I）方程组法通过解直线方程与椭圆方程构成的方程组，利用一元二次方程根与系数的关系及中点坐标公式求解.（2）点差法设直线与椭圆的交点（弦的端点）坐标为4（为，V）,8（X2,）唠，将这两点代入椭圆的方程并对所得两式作差，得到一个与弦AB的中点（M）,和）和斜率公8有关的式子，可以大大减少运算量.我们称这种代点作差的方法为“点差法”，事实上就是椭圆的垂径定理.利用心8=1三*一号葺=一舄，转化为中点（X0,和）与直线AB的斜率之间的关系，这是处理弦中点轨迹问题的常用方法.三.知识点贯通知识点1由椭圆方程研究几何性质焦点的位置焦点在X轴上焦点在y轴上图形焦点的位置焦点在X轴上焦点在y轴上标准方程o2总噂三L3»>0)范围一aWxW”且一bWyWb-b£x《b且一对称性对称轴为坐标轴,对称中心为原息顶点Ai(—a,O),A2(a,0)Bi(O,~b),%(0,b)Ai(0>-a),42(0，a)&(b,0)轴长短轴长长轴氏H4|=^焦点Fi(-gO),F2(cO)~(0,—c),尸2(0，c)焦距国同例题L求椭圆9.F+16）2=144的长轴长、短轴长、离心率、焦点坐标和顶点坐标.知识点二由几何性质求椭圆的方程

焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形JL隹占的位置焦点在X轴上焦点在)，轴上标准方程宗+方=l(QQ0)92宠扁曰(>0)范围一aWxWa且一力一bWxMb且一aWyWa对称性对称轴为坐标轴,对称中心为原直顶点A|(一4,0),A2(4,0)Bi(0,一b),&(0,b)4(0,一办4(0，〃)51(-—0),B2s,0)轴长短轴长IS&尸四，长轴长IAN2尸额焦点-l(-C,0),尸2(C,0)Fi(0,c),。2(0，c)焦距|FiF2|=2c例题2：求适合下列条件的椭圆的标准方程:(1)椭圆过点(3,0),离心率e=坐；(2)在x轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线G相垂直，且焦距为8；知识点三求椭圆的离心率(1)定义：椭圆的焦距与长轴长的比。称为椭圆的离心率.例题3.设椭圆耒+后(2)性质：岗心率。的范围是皿.当e越接近于1时，椭圆越扁;当例题3.设椭圆耒+后的两焦点为a,f2,若在椭圆上存在一点p,使即「港=o,求椭圆的离心率e的取值范围.知识点四直线与椭圆的位置关系直线y=kx+m与椭圆a+方=的位置关系:联立‘2+史=]消去得一个关于汇的一元二次方程・例题4.已知直线/：〃，椭圆C，+弓=1.试问当机取何值时，直线/与椭圆C：位置关系解的个数J的取值相交西解J>0位置关系解的个数/的取值相切_解/三0相离无解J<0⑴有两个公共点；(2)有且只有一个公共点;⑶没有公共点.知识点五弦长和中点弦问题设直线与椭圆交于A(xi,)，i),B(X2,”)两点，则有H8|=yj(xi—X2)2+(y\—>^)2=yj1+A:2--\/(xi+x2)2—4.nx2=71+£、。1+”)2-4yL为直线斜率).例题5过椭圆会+?=1内一点M(2,l)引一条弦，使弦被M点平分.(1)求此弦所在的直线方程；(2)求此弦长.知识点六与椭圆有关的综合问题例题6.椭圆E：5+方=13>6>。)经过点A(—2,0),且离心率为坐(1)求椭圆E的方程；(2)过点P(4,0)任作一条直线/与椭圆C交于不同的两点M,M在x轴上是否存在点Q,使得NPQM+NPQN=I8O。？若存在，求出点。的坐标；若不存在，请说明理由.

五易错点分析易错一由椭圆的方程研究椭圆性质9222例题7.椭圆7+方=与椭圆今+方=入（入>0且件1）有（）A.相同的焦点B.相同的顶点C.相同的离心率D.相同的长、短轴由椭圆的方程判断焦点的位置，-与y2谁的分母大，焦点就在那个轴上。易错二由椭圆