专题01绝对值的非负性以及绝对值的化简（原卷版）

专题01绝对值的非负性与绝对值的化简年/题型概述.化简绝对值前，要先判断绝对值内的数的正负，再根据绝对值的性质：(1)当。是正数时，|。|二4；(2)当。是负数时，|。|二一4;(3)当。=0时，］。|=0来求得。.几何意义(非负性)：一个数的绝对值是表示该数的点与原点的距离，因为距离总是正数和零，所以有理数的绝对值不可能是负数。例题分析例1:请利用绝对值的性质，解决下面问题：(1)已知小是有理数，当。>0时，则£=；当》V0时，则磊=•^b+ca+ca+b(2)已知a,b,c是有理数，a+〃+c=0,abc<0,求■;—^+工^7+丁丁的值.1a1\b\|c|(3)已知a,。，c•是有理数，当阪#0时，求多+粤十=的值.|a|b\c\例2:a,b,c在数轴上的位置如图所示：460c⑴求抵抵比—abc(2)。、。、c在数轴上的位置如图所示，则：化简：|a+dT。-4+卜-4;(3)求卜-4-卜-4的最大值，并求出此时工的范围.例3:已知：〃是最小的正整数，且〃、〃满足(c-5)2+|a+〃|=0,请回答问题:(1)请直接写出a、b、c的值：a=,b=,c=(2)点”为一动点，其对应的数为工,点。在0到2之间运动时(即04x42时)，请化简式子:|x+l|—|x—3|—15—a-!(请写出化简过程).例4：己知方是最大的负整数，且。、b、C,满足(a+2/?)2+c+；=0,请回答下列问题：(1)请直接写出“、b、c的值：。=,h=,c=；(2)a、Ac在数轴上所对应的点分别为A、B、。，点A、B、C开始在数轴上运动，若点8以每秒一个单位长度的速度向左运动，同时点A、点C都以每秒2个单位长度的速度向右运动，假设f秒钟过后，若点A与点8之间的距离为AB,点6与点C之间的距离为8C,请问：A8-8C的值是否随着/的变化而改变？若变化，请说明理由：若不变，请求出A3-4。的值.难点突破.有理数〃、b、C在数轴上的位置如图：a0bc⑴用或"V”填空a0,b0,c-b0,ab0.(2)化简:|a|+|/H-c|-\c-a\..如图所示，数轴上从左到右的三个点A,B,C所对应数的分别为小b,c.其中点A、点8两点间的距离的长是20,点仄点C两点间的距离BC的长是8,•••►ABC(1)若以点。为原点，直接写出点48所对应的数：(2)若原点。在A,B两点之间，求的+网+区―d的值：(3)若O是原点，且点3到原点。的距离是6,求4的值..(1)已知1"一2|与(〃-1)2互为相反数，试求二〜、+/」/―、+,••ab(a+1)(/?+1)[a+2)(/?+2)+的值；(«+202l)(b+2021)(2)设a、b、c为整数,且(。一〃『+(c—a)2=1,求1〃一勿+|a-c|+g-c|的值..数轴上的A、B、C三点所表示的数分别为〃、b、c.TOC\o"1-5"\h\zABCABC<iii》]11>cahc(图1)(图2)(1)如图i,若例=M且M+d+|4=3,求〃的值.(2)如图2,若,一q=3,|力一4=5,且原点。与点A、8的距离分别为4和1,那么〃与。存在怎样的等量关系？请说明理由..解答下列问题(1)若有理数x、)'满足1幻=3,l.v+H=4,且|x+yl=-3+y),求1划+1训的值.(2)已知有理数"、b、。的在数轴上的位置如图所示，请化简：\a+b\+\a\+\b\-\c\.a111Qb0c.已知有理数。、b、c在数轴匕的位置如图所示，且问=回(1)求。+〃和£的值(2)化简：时-:+M-卜-4+卜-4―|一羽C60a.已知点A在数轴上表示的数是。，点3在数轴上表示的数是人且|a+4|+(〃-1)2=(),现将点A,8之间的距离记作|明,定义|明=|加班(I)|蜴=.(2)设点〃在数轴上表示的数是x,|PA|-|PB|=2,求x的值.8.已知3+5)2+|M=0.(1)求出“力并将这两个数在数轴上所对应的点A、B表示出来；(2)数轴上A、B之间的距离记作M却.定义：|AB|=|a-q.设点P在数轴上对应的数为x.当|酬+|府=13时，直接写出x的值.设|%|+|冏=/〃，借助数轴求出，〃的最小取值及对应的x.9.已知数轴卜.两个点之间的距离等于这两个点表示的数的差的绝对值.如图1,在数轴上点A表示的数为-2,点B表示的数为1,点C表示的数为3,则8,C之间的距离表示为：fiC=|3-l|,A,C之间的距离表示为：AC=|3-(-2)H3+2|.若点P在数轴上表示的数为X,则P,A之间的距离表示为：PA=|x-（-2）|=|x+2|,P,8之间的距离表示为：PB=\x-\\.TOC\o"1-5"\h\zABC_lIi|I1L111►-5-4-3-2101234图i（1）如图1,①若点尸在点A左侧，化简|x+2|+|x-l|=；②若点P在线段A3上，化简次+2|+次-1卜：③若点P在点8右侧，化简Ix+2|+|x-l|=；④由图可知，Ix+2|+|x-l|的最小值是.（2）请按照（1）问的方法思考：|x+3|+|x-l|+|x-2|的最小值是.（3）如图2,在一条笔直的街道上有E,F,G,〃四个小区，且相邻两个小区之间的距离均为200m.已知£,F,G,”四个小区各有2个，2个，3个，1个小朋友在同一所小学的同一班级