新教材2021-2022学年人教B版必修第一册2.2.4均值不等式及其应用第1课时作业

2.4均值不等式及其应用第1课时[A基础达标].不等式/+序22|而|成立时，实数小。一定是()A.正数B.非负数C.实数D.不存在解析:选C.原不等式可变形为/+〃一2|岫|=同2+族|2-2\ab\=(\a\-\b\)220,对任意实数都成立..(多选)下列不等式一定成立的是()A.f+卜中,。)B.x+；N2(x>0)C.x2+1^2H(xGR)D.*7>心。)解析：选BC.对于A,当x=T时，f+]=x,所以A不一定成立；对于B,当第>0时，不等式成立，所以B一定成立；对于C,不等式显然恒成立，所以C一定成立；对于D,因为r+1N1,所以()<*7<1，所以D不成立.故选BC..设0<战江且。+人=1,在下列四个数中最大的是()A.tB.bC.2abD.a2+Z?2(a+।]解析：选B.因为0<〃<b,〃+b=l,所以J=a，所以cr-Vbcr-Vb1a+b1“=g,所以.cr-Vb1a+bcr-Vb1a+b1“=g,所以.因为因为h—(cr+b2)=(h—b2)—a2=b(\—h)—cr=ab—a1=a(b—a)>0,所以所以Z?最大.214.已知实数x,)，满足x>0,)>0,且；+7=1,则x+2y的最小值为()兀yA.2B.4C.6D.82I解析：选D.因为.v>(),y>0,且：+:=1,xy所以x+2尸（x+2），）E+3=4+?+?24+2、件9=8,5yjay\jxy当且仅当?=j即x=4,），=2时等号成立.故选D.235.设QO,则产x+三77V的最小值为（）N•人I1JA.0B.g3TOC\o"1-5"\h\zC.1D.5解析：选A.因为1>0,所以x+；>0,所以y=x+高—,=（、+!）+：—22x+22/卜+打一4-2=0,当且仅当x+%-4,即T时等号成立，所以x+2x+223y=x+o工]一不的最小值为0.'2x+12.若a>0,且。+力=0,则。一（+1的最小值为.解析：因为。+Z?=0,6/>0,所以。一/+1=。+[+123,当且仅当。=1,b=~\时取等号.答案：3.若x,y均为正实数，且x+4y=20,则xy的最大值是.解析：因为x,y均为正实数，所以2（）=:+4y22出4），=4y/^1,所以15志5,所以x）W25,当且仅当x=4y=10,即x=10,尸烹时，等号成立，所以孙的最大值是25.答案：25.已知当x=3时，代数式4工+%>0,〃>0）取得最小值，则。=.解析：/4x5=4人（x>0,。>0）,当且仅当4x=*即时等号人\/人人/

成立，所以乎=3,即a=36.答案：3649.⑴已知x>0,求y=2一%一二的最大值;(2)已知求y=5(l—2x)的最大值.解：(1)因为尤>(),所以x+?24,所以)，=2—(工+3<2—4=一2.当且仅当工=%>0),即x=2时取等号，>ax=-2.⑵因为所以1-2a>0,1,lf2x+1—2x^21所以y=WX2Hl_2x)Wa2)=7?当且仅当2x=1-2i[()<r<^,即X=W时取等号，>,max=Y^..⑴若」V3,求)，=2x+l+士的最大值；(2)己知K>0,求y=F+]的最大值.解：(1)因为x<3,所以3—x>0.又因为y=2(x—3)+^^+7=一*X*J2(3—x)+3_丫+7,由均值不等式可得2(3—工)+不二、,故y的最大值W—2^2,—2(3—x)+=2y[2,当且仅当2(3—x)=],故y的最大值W—2^2,—2(3—x)+是7-2审.小Ze2⑵产？TT=]士是7-2审.小Ze2⑵产？TT=]士是7-2审.小Ze2⑵产？TT=]士:因为x>0,所以x+;22、/k=2,所以0<)忘5=1,入人L当且仅当x=L即x=l时，等号成立.故y的最大值为1.[B能力提升].若OVxV：,则尸.“I一4/的最大值为()TOC\o"1-5"\h\zA.1B.；C1D1J8解析：选C.因为OVxvg,所以1一以2>0,所以N1—4*=，><2r\/1—4/147—|―I—4丫2|\历5=不当且仅当乂=71—41,即x=4时等号成立，故选C..己知人>0,y>0,且满足±+?=1,则xy的最大值为,取得最大值时y的值为.解析：因为心>(),)>()且1所以qW3.当且仅当3即犬=2，丁=2时取等号.答案：32.(2020•江苏徐州期中考试)已知正实数a,b满足〃+2。=1,则(1+^2+1^)的最小值为.解析：因为(*)(2+*2+评+如2+让沪=2+焉又1=«+I0|2人22电^,所以即2+亍22+2义8=18,当且仅当。=2"即。=小OCity/时取等号.答案：18.已知。>0,Z?>0,且2a+b=ab.⑴求ab的最小值；⑵求a+2b的最小值.I?解：因为2a+b=ab,所以,+g=L(1)因为4>0,/?>()；

12/2121所以1=工十三22\彳,当且仅当an\]ahab2即〃=2,8=4时取等号；所以他28,即油的最小值为8.(2)“+2b=m+2从鸿)=5+豹羟5+2^95=9,当且仅当§=与，即。=〃=3时取等号；所以〃+2。的最小值为9.11〃.a>b>c,且r+72,求〃的最大值.a-bb~ca-c解：因为。>力“，所以b>0,/?—c>0,a-c>0.]

a-b]

a-bb-ca-cci—ca—c所以〃W有+D(67—Z?)+(Z?—(7)b-c因为〃-C=(4—/?)+(〃-C),(67—Z?)+(Z?—(7)b-c.(a—b')+(Z?—c)所以，W力Ta-b

b-c因为铝件9fF4=2(2bj+c时取等号).a—bb—c\!(a-b八b—c)所以〃W4,所以〃的最大值是4.[C拓展探究].是否存在正实数a和同时满足下列条件:①〃+/?=10；②1(x>0,)>0)且x+y的最小值为18,若存在，求出小〃的值；若不存在，说明理由.解：因为^+^=1,