材料力学-第8章应力状态

2023/2/51第八章应力状态分析材料力学2023/2/52基本变形的应力计算和强度条件材料力学－第8章应力状态分析2023/2/53FF拉伸（压缩）应力计算公式：强度条件：其中，许用应力：实验测得材料相应的极限应力安全因数（安全系数）材料力学－第8章应力状态分析2023/2/54弯曲变形应力计算公式：强度条件：其中，许用应力：单向拉伸实验测得材料的极限应力安全因数（安全系数）材料力学－第8章应力状态分析2023/2/55扭转变形应力计算公式：强度条件：其中，许用切应力：剪切实验测得材料的极限应力安全因数（安全系数）材料力学－第8章应力状态分析2023/2/56可见，对于材料的拉伸、压缩、弯曲和扭转问题其共同特点是：一是材料的危险截面危险点只承受正应力或切应力二是需要实验直接确定失效时的极限应力，并依此建立强度准则但是，对于工程上的复杂结构危险点同时受正应力和切应力作用，很难用实验确定极限应力如何分析材料危险受力情况以及极限荷载？应力状态材料力学－第8章应力状态分析2023/2/57应力状态的基本概念平面应力状态应力分析应力圆主应力与主平面空间应力状态的概念应力应变关系空间应力状态下的应变能密度材料力学－第8章应力状态分析2023/2/58应力状态的基本概念1.

什么是应力状态？3.

描述一点应力状态的方法

2.

为什么要研究应力状态应力状态的基本概念材料力学－第8章应力状态分析2023/2/59应力状态的概念——过一点、在不同方向面上应力的集合，称之为这一点的应力状态（StateoftheStressesofaGivenPoint）。应力状态的基本概念材料力学－第8章应力状态分析2023/2/510应力的点的概念

—同一截面上不同点的应力各不相同

横截面上正应力分析和切应力分析的结果表明：同一面上不同点的应力各不相同，此即应力的点的概念。FQ横截面上切应力分布横截面上正应力分布FNxMz应力状态的基本概念材料力学－第8章应力状态分析2023/2/511应力的面的概念—同一点处不同方向面上的应力各不相同受力之前,杆件表面同一点处取一正方形受拉后，正方形变成了矩形，直角没有改变。应力状态的基本概念材料力学－第8章应力状态分析受拉后，正方形变成菱形。2023/2/512低碳钢拉伸实验铸铁拉伸实验韧性材料拉伸时为什么会出现滑移线？应力状态的基本概念材料力学－第8章应力状态分析2023/2/513应力的面的概念—过同一点不同方向面上的应力各不相同斜截面上存在正应力和切应力横截面上只有正应力应力状态的基本概念材料力学－第8章应力状态分析2023/2/514

受扭之前，圆轴表面为正圆。

思考题TT为什么变为椭圆？受扭后，圆形变为什么形状？应力状态的基本概念材料力学－第8章应力状态分析2023/2/515为什么脆性材料扭转时沿45º螺旋面断开？低碳钢扭转实验铸铁扭转实验应力状态的基本概念材料力学－第8章应力状态分析2023/2/516同一点不同方向面上的应力也是各不相同，此即应力的面的概念。应力指明

哪一点？哪个方向面？应力状态的基本概念材料力学－第8章应力状态分析2023/2/517

为什么要研究应力状态不仅横截面上存在应力，斜截面上也存在应力。不仅要研究横截面上的应力，而且也要研究斜截面上的应力应力状态的基本概念材料力学－第8章应力状态分析2023/2/518微元及其各面上一点应力状态的描述

dxdydz微元（Element）

描述一点应力状态的基本方法

应力状态的基本概念材料力学－第8章应力状态分析2023/2/519三向（空间）应力状态(Three-DimensionalStateofStresses)yxz应力状态的基本概念材料力学－第8章应力状态分析2023/2/520平面（二向）应力状态yxz应力状态的基本概念材料力学－第8章应力状态分析2023/2/521xyxy单向应力状态(OneDimensionalStateofStresses)纯切应力状态

(ShearingStateofStresses)应力状态的基本概念材料力学－第8章应力状态分析

(PlaneStateofStresses)平面（二向）应力状态2023/2/522三向应力状态平面应力状态单向应力状态纯切应力状态特例特例应力状态的基本概念材料力学－第8章应力状态分析2023/2/523F例：画出图示矩形截面梁在红线截出横截面内不同点的应力状态Qyz1123455432应力状态的基本概念材料力学－第8章应力状态分析

思考：画出横截面A上各点应力状态。A2023/2/524T例2：画出图示螺旋桨轴杆表面一点的应力状态1.螺旋桨带动轴杆向前，产生拉力FF2.轴杆带动螺旋桨旋转，有扭转作用T应力状态的基本概念材料力学－第8章应力状态分析2023/2/525平面应力状态分析材料力学－第8章应力状态分析2023/2/526平面应力状态分析材料力学－第8章应力状态分析α平面应力状态分析的目的：分析过一点任意角度方向面上的应力分布分析方法：将所求方向的斜截面与微元所形成三角形微元取出，通过平衡方程求解xs2023/2/527

方向角与应力分量的正负号约定

微元的局部平衡

平面应力状态中任意方向面上的正应力与切应力平面应力状态分析材料力学－第8章应力状态分析2023/2/528拉为正压为负正应力：拉为正，压为负

方向角与应力分量的正负号约定平面应力状态分析材料力学－第8章应力状态分析2023/2/529使微元顺时针方转动为正；反之为负。切应力：

方向角与应力分量的正负号约定※

引入正负号之后平面应力状态分析材料力学－第8章应力状态分析2023/2/530

方向角与应力分量的正负号约定α方向角由

x轴指向逆时针方向为正；反之为负。xy平面应力状态分析材料力学－第8章应力状态分析dAα2023/2/531tyxx´

平衡方程y'

平衡对象——用

斜截面截取的微元局部

参加平衡的量：力——应力乘以其作用的面积

微元的局部平衡

xs平面应力状态分析材料力学－第8章应力状态分析2023/2/532x´tyxdAαxs平面应力状态分析材料力学－第8章应力状态分析α2023/2/533y´tyxdAαxs

课堂思考：根据y´方向的平衡条件写出的表达式平面应力状态分析材料力学－第8章应力状态分析2023/2/534xdA根据和方向上的平衡条件：由三角倍角公式，可得到任意方向面上的正应力和切应力：平面应力状态分析材料力学－第8章应力状态分析2023/2/535507010030°70例题1：图示微元，表面正应力与切应力已知。求法向与x轴正向成30°的斜面上所受正应力与切应力。所示应力单位为MPa。解：平面应力状态分析材料力学－第8章应力状态分析2023/2/536平面应力状态分析材料力学－第8章应力状态分析例题2：两端密封圆柱形压力容器，圆筒部分由壁厚为δ，宽度为b的塑条压成螺旋状并熔接而成。圆筒内径，容器承受内压强p，若熔接部分承受的拉应力不得超过塑条中最大拉应力的80%，试求塑条许可宽度b。2023/2/537平面应力状态分析材料力学－第8章应力状态分析2023/2/538平面应力状态分析材料力学－第8章应力状态分析Ｄlp1s2sσ1=?σ2=?222023/2/539平面应力状态分析材料力学－第8章应力状态分析Ｄp111

(2

l)ppDll1s2s2023/2/540平面应力状态分析材料力学－第8章应力状态分析2023/2/541平面应力状态分析材料力学－第8章应力状态分析由几何关系代入表达式，并考虑得：若熔接部分承受的拉应力不得超过塑条中最大拉应力的80%，试求塑条许可宽度b2023/2/542应力圆材料力学－第8章应力状态分析2023/2/543

应力圆方程

应力圆的画法

应力圆的应用

材料力学－第8章应力状态分析应力圆2023/2/544由微元任意方向面上的正应力和切应力公式两方程等号左右两边同时平方后相加：

应力圆方程

材料力学－第8章应力状态分析应力圆α2023/2/545应力圆方程：该方程描述了以为横轴，为纵轴的坐标系。这种圆称为应力圆（stresscircle）或莫尔圆（Mohrcircle）。应力圆的圆心位于横轴，圆心坐标为：圆半径为：OR材料力学－第8章应力状态分析应力圆2023/2/546Oa(sx,txy)BBb(sy,tyx)建立坐标系由面找点确定圆心和半径ABAABB

应力圆的画法

材料力学－第8章应力状态分析应力圆c2023/2/547

二倍角对应——半径转过的角度是方向面法线旋转角度的两倍。

转向对应——半径旋转方向与方向面法线旋转方向一致；

点面对应——应力圆上某一点的坐标值对应着微元某一方向面上的正应力和切应力；

应力圆与微元应力状态的对应关系

材料力学－第8章应力状态分析应力圆2023/2/548A点面对应——应力圆上某一点的坐标值对应着微元某一方向面上的正应力和切应力；A材料力学－第8章应力状态分析应力圆2023/2/549ADnxAθD转向对应——半径旋转方向与方向面法线旋转方向一致；二倍角对应——半径转过的角度是方向面法线旋转角度的两倍。材料力学－第8章应力状态分析应力圆2023/2/550

二倍角对应——半径转过的角度是方向面法线旋转角度的两倍。

转向对应——半径旋转方向与方向面法线旋转方向一致；

点面对应——应力圆上某一点的坐标值对应着微元某一方向面上的正应力和切应力；

应力圆与微元应力状态的对应关系

材料力学－第8章应力状态分析应力圆2023/2/551Oca(sx,txy)BBb(sy,tyx)建立坐标系由面找点确定圆心和半径ABAABB

应力圆的画法

材料力学－第8章应力状态分析应力圆2023/2/552材料力学－第8章应力状态分析应力圆课堂练习画出下图应力状态的应力圆：(-140,-80)(0,80)(-70,0)2023/2/553已知某点两截面应力(MPa)，试画出该点应力圆，并求出图中两截面夹角。40103020AB建立坐标系由面找点确定圆心和半径

思考：材料力学－第8章应力状态分析应力圆2023/2/554

在应用过程中，应当将应力圆作为思考、分析问题的工具，而不是计算工具。

应力圆的应用

材料力学－第8章应力状态分析应力圆2023/2/555sxsxtso2×45º2×45ºBEADadcbeEEBB45º45º拉中有剪的例子：材料力学－第8章应力状态分析应力圆2023/2/556ctso2×45º2×45ºadbesxsxEBEBsxsx材料力学－第8章应力状态分析应力圆2023/2/557EBsxsx

轴向拉伸时，45º方向面上既有正应力又有切应力，正应力不是最大值，切应力却最大。材料力学－第8章应力状态分析应力圆2023/2/558ots2×45º2×45ºsy'＝tsx'＝－tBEDAttd(0,-t)Ca(0,t)eb剪中有拉的例子：材料力学－第8章应力状态分析应力圆2023/2/559sy'＝tsx'＝－tBEDAttsy'＝tsx'＝－tBE材料力学－第8章应力状态分析应力圆2023/2/560

在纯切应力状态下，45º方向面上只有正应力没有剪应力，而且正应力为最大值。DAttsy'＝tsx'＝－tBE材料力学－第8章应力状态分析应力圆2023/2/561例题3：图示圆杆分别采用低碳钢（a）和铸铁（b）进行扭转实验，低碳钢断裂面垂直于轴线，铸铁的断裂面与轴线成45°角。试采用应力圆分析该两种材料不同的断裂特性。（a）低碳钢（b）铸铁材料力学－第8章应力状态分析应力圆2023/2/562解：圆杆扭转，微元为平面应力状态。取圆杆表面微元，可知该微元的应力状态为纯剪。材料力学－第8章应力状态分析应力圆OAABBCC2023/2/563最大切应力的方向角αs＝0°与低碳钢的断裂面一致，所以低碳钢是剪力引起破坏。与铸铁的断裂面一致，所以

铸铁这种脆性破坏是拉应力引起。最大拉应力的方向角α0＝45°材料力学－第8章应力状态分析应力圆ABCOABC2023/2/564思考：1.

正应力最大时的方向角与切应力最大时的方向角有什么关系？2.

正应力最大的平面上切应力是否一定为零？3.

切应力最大的平面上正应力是否一定为零？5.

平面内最大切应力是否是过一点所有方向面中切应力的最大值？4.平面内最大正应力与最大切应力之间有何关系？材料力学－第8章应力状态分析应力圆OR2023/2/565主应力与主平面材料力学－第8章应力状态分析2023/2/566材料力学－第8章应力状态分析主应力与主平面

主平面、主应力与主方向

平面应力状态的三个主应力问题：1.过一点所有方向面上的最大正应力、最大切应力是多少？2.最大正应力所在平面？2023/2/567材料力学－第8章应力状态分析主应力与主平面极值正应力最大切应力最大正应力所在平面2023/2/568材料力学－第8章应力状态分析主应力与主平面主平面:主方向：主应力：定义切应力为零的平面（极值正应力所在平面）主平面外法线方向主平面上的正应力（极值正应力）2023/2/569材料力学－第8章应力状态分析主应力与主平面相邻主平面一定两两相互垂直，由三对互垂主平面所构成的微体成为主平面微体主应力：3个（平面内2个＋平面外1个）问：空间内一点有几个主应力、主平面、主方向？主平面和主方向：3对问：主平面之间的相互关系？平面应力状态是主应力的特殊情况主应力排序2023/2/570由主方向方向角公式：代入任意方向面正应力公式解析法求平面应力状态下的三个主应力材料力学－第8章应力状态分析主应力与主平面2023/2/571

平面应力状态的三个主应力

将以上三个主应力按照代数值由大到小排列，并分别用表示则有：材料力学－第8章应力状态分析主应力与主平面2023/2/572

平面应力状态的三个主应力

FFFFFF※材料力学－第8章应力状态分析主应力与主平面2023/2/573应力圆与三个主应力材料力学－第8章应力状态分析主应力与主平面应力圆处于坐标轴不同位置时，三个主应力的排序略有不同

主应力排序

s1s2

s32qptx'y'sx'ocbeadss2023/2/574主应力排序tx'y'sx'oadcbess材料力学－第8章应力状态分析主应力与主平面应力圆处于坐标轴不同位置时，三个主应力的排序略有不同2023/2/575tx'ysxoadcbess材料力学－第8章应力状态分析主应力与主平面应力圆处于坐标轴不同位置时，三个主应力的排序略有不同主应力排序2023/2/576x-y坐标系x´-y´坐标系σ'-σ''坐标系同一点的应力状态有无穷多种表达形式。其中，以主应力的表达最为简单材料力学－第8章应力状态分析主应力与主平面主应力是反映应力状态本质的特征量2023/2/577

根据主应力的大小与方向可以确定材料何时发生失效或破坏，确定失效或破坏的形式。因此，可以说主应力是反映应力状态本质的特征量。材料力学－第8章应力状态分析主应力与主平面2023/2/578例题

4已知:应力状态如图所示。解：1.确定主应力

试求：1．写出主应力1、2、3的表达式；

2．若已知x＝63.7MPa，xy=76.4MPa，当坐标轴x、y反时针方向旋转=120后至x′、y′

，求:

x′、τx′y′

。

应用平面应力状态主应力公式材料力学－第8章应力状态分析主应力与主平面2023/2/579解：1.确定主应力

应用平面应力状态主应力公式因为y＝0，所以有又因为是平面应力状态，故有材料力学－第8章应力状态分析主应力与主平面2023/2/580于是，根据1＞2＞3的排列顺序，得

材料力学－第8章应力状态分析主应力与主平面2023/2/581解：2.计算方向面法线旋转后的应力分量

将已知数据x＝63.7MPa，y＝0，xy＝－yx=76.4MPa，=120等代入任意方向面上应力分量的表达式

，求得：

材料力学－第8章应力状态分析主应力与主平面2023/2/582例题5：如图，薄壁圆管受扭转和拉伸同时作用。圆管平均直径D＝50mm，壁厚δ＝2mm。外加力偶矩Me＝600N•m，轴向载荷Fp＝20kN。薄壁管截面的扭转截面模量可近似取为。1.求圆管表面上过D点与母线夹角为30°的斜截面上的应力。2.求D点的主应力与最大切应力。材料力学－第8章应力状态分析主应力与主平面2023/2/583解：1.取微元，利用拉伸和圆轴扭转公式计算微元各面上的应力：2.求斜截面上的应力，首先：则材料力学－第8章应力状态分析主应力与主平面2023/2/584解：3.确定主应力与最大切应力：根据最大主应力计算公式求得面内主应力另因为平面应力状态，有按照代数值大小排序，D点的三个主应力为：D点的最大切应力为：材料力学－第8章应力状态分析主应力与主平面2023/2/585空间应力状态的概念材料力学－第8章应力状态分析2023/2/586过一点所有方向面中的最大切应力

材料力学－第8章应力状态分析空间应力状态的概念O平面内最大切应力：空间应力状态下

极值切应力？2023/2/587为确定过一点的所有方向面上的最大切应力，考察主平面微元体过一点所有方向面中的最大切应力

材料力学－第8章应力状态分析空间应力状态的概念2023/2/588材料力学－第8章应力状态分析空间应力状态的概念txysxIs2s3第I组方向面内的最大切应力所在平面内的应力不受的影响2023/2/589材料力学－第8章应力状态分析空间应力状态的概念第II组方向面内的最大切应力所在平面内的应力不受的影响IIIs2s3txysxOs12023/2/590材料力学－第8章应力状态分析空间应力状态的概念第III组方向面内的最大切应力所在平面内的应力不受的影响IIItxysxOs3IIIs2s12023/2/591对任意一个应力状态，均可以找到一个特殊的方向角，使得微元上仅有三个主应力作用。材料力学－第8章应力状态分析空间应力状态的概念2023/2/592s1IIIs3IIIs2Otxysx微元任意方向面上的应力对应着三向应力圆阴影区域某一点的坐标。最大正应力：最大切应力：最小正应力：三向应力状态下：材料力学－第8章应力状态分析空间应力状态的概念三向应力圆2023/2/593

已知:三向应力状态如图所示，图中应力的单位为MPa。例题

6

试求：主应力及微元内的最大切应力。材料力学－第8章应力状态分析空间应力状态的概念2023/2/594故微元上平行于的方向面上的应力值与无关。因此，当确定这一组方向面上的应力，以及这一组方向面中的主应力和时，可以将所给的应力状态视为平面应力状态。

解：所给的应力状态中有一个主应力是已知的，即材料力学－第8章应力状态分析空间应力状态的概念2023/2/595这与平面应力状态相类似。于是，平面应力状态下主应力和公式可直接应用解：所给的应力状态中有一个主应力是已知的，即材料力学－第8章应力状态分析空间应力状态的概念2023/2/596

本例中x=－20Mpa，xy=－40MPa。据此，求得

材料力学－第8章应力状态分析空间应力状态的概念2023/2/597根据123的排列顺序，可以写出微元内的最大切应力材料力学－第8章应力状态分析空间应力状态的概念2023/2/598

例题

7obatmax20030050(MPa)

求：平面应力状态的主应力1、2

、3和最大切应力tmax。AB材料力学－第8章应力状态分析空间应力状态的概念2023/2/599Ob2005030050(MPa)tmax

例题

8

求：平面应力状态的主应力1、2

、3和最大切应力tmax。aAB材料力学－第8章应力状态分析空间应力状态的概念2023/2/5100O300100(MPa)tmax例题

9

求：平面应力状态的主应力1、2

、3和最大切应力tmax。abAB材料力学－第8章应力状态分析空间应力状态的概念2023/2/5101

各向同性材料的应力应变关系材料力学－第8章应力状态分析2023/2/510211横向变形与泊松比μ

——泊松比1＋xyx1－x

广义胡克定律

各向同性材料的应力应变关系材料力学－第8章应力状态分析2023/2/5103三向应力状态的广义胡克定律叠加法：各向同性材料的应力应变关系材料力学－第8章应力状态分析2023/2/5104yzx对于平面应力状态，广义胡克定律为各向同性材料的应力应变关系材料力学－第8章应力状态分析2023/2/5105证明：对于各向同性材料，三个弹性常数满足以下关系各向同性材料的应力应变关系材料力学－第8章应力状态分析例题

2023/2/5106各向同性材料的应力应变关系材料力学－第8章应力状态分析解：构造一个剪中有拉的应力状态O＝2023/2/5107如图，边长为a的钢块嵌在理想刚性的槽内，并受集中力F作用。已知钢块弹性模量E，泊松比µ，求钢块的主应力，主应变。各向同性材料的应力应变关系材料力学－第8章应力状态分析例题

其中2023/2/5108一大小未知的矩形平板双向受拉，拉应力已知，平板弹性模量E，受力前在平板内画有一个半径为a的圆。问：受力后该圆的面积为多少？各向同性材料的应力应变关系材料力学－第8章应力状态分析例题

2023/2/5109

空间应力状态下的应变能密度材料力学－第8章应力状态分析2023/2/5110

总应变能密度

体积改变能密度与畸变能密度空间应力状态下的应变能密度材料力学－第8章应力状态分析2023/2/5111微元应变能(strainenergy)dydxdz力的作用点所产生的位移

总应变能密度

空间应力状态下的应变能密度材料力学－第8章应力状态分析2023/2/5112dW=力在位移上所做的功转变为微元的应变能=dV空间应力状态下的应变能密度材料力学－第8章应力状态分析2023/2/5113应变能密度(strain-energydensity)空间应力状态下的应变能密度材料力学－第8章应力状态分析2023/2/5114+将一般应力状态分解为两种特殊情形

体积改变能密度与形状改变能密度

不改变形状，但改变体积不改变体积，但改变形状空间