Ch11.7-11.11(真空中的静电场)-lily

11.7-11.11静电场中的导体与电介质本节主要内容：导体的静电平衡电场中导体和电介质的电学性质；有电介质时的高斯定理。电容器的电容及电场的能量等。一、导体的静电平衡无外电场时11－7静电场中的导体和电介质在外电场的作用下,自由电子作宏观的定向移动,电荷在导体上重新分布,使导体带电。导体的静电感应过程加上外电场后E外导体的静电感应过程加上外电场后E外+导体的静电感应过程加上外电场后E外++导体的静电感应过程加上外电场后E外+++++导体的静电感应过程加上外电场后E外+++导体的静电感应过程加上外电场后E外+++++导体的静电感应过程加上外电场后E外+++++导体的静电感应过程加上外电场后E外+++++++导体的静电感应过程加上外电场后E外++++++导体的静电感应过程加上外电场后E外++++++++导体的静电感应过程+加上外电场后E外+++++++++导体的静电感应过程+加上外电场后E外+++++++++++++++++++导体达到静电平衡E外E感感应电荷感应电荷导体的静电平衡状态-导体中没有电荷宏观的定向运动.⑴导体内部任意点的场强为零。⑵导体表面附近的场强方向处处与表面垂直。等势体等势面导体内：导体表面：处于静电平衡状态的导体，导体内部电场强度处处为零，整个导体是个等势体。静电平衡条件处于静电平衡状态的导体的性质：1、导体是等势体，导体表面是等势面。2、导体内部处处没有未被抵消的净电荷，净电荷只分布在导体的表面上。3、导体以外，靠近导体表面附近处的场强大小与导体表面在该处的面电荷密度的关系为说明：（A）体内无净电荷：在内部任取高斯面S2.导体表面附近的电荷面密度与其附近场强E的关系:方向：垂直于表面4、导体表面电荷分布(1)导体电荷面密度与表面的曲率半径r有关,r越小，越大,E越强r越大,越小,E越小。(2)尖端放电效应及其应用趋利避害——避雷针曲率大处密度

大曲率小处密度

小。金属球放入前电场为一均匀场1、导体表面附近的场强方向处处与表面垂直。详细说明如下金属球放入后电力线发生弯曲电场为一非均匀场+++++++2、导体内没有净电荷，未被抵消的净电荷只能分布在导体表面上。++++++++++++++++++++++++++++++++导体表面上的电荷分布情况，不仅与导体表面形状有关，还和它周围存在的其他带电体有关。静电场中的孤立带电体：导体上电荷面密度的大小与该处表面的曲率有关。曲率较大，表面尖而凸出部分，电荷面密度较大曲率较小，表面比较平坦部分，电荷面密度较小曲率为负，表面凹进去的部分，电荷面密度最小3、导体表面上的电荷分布导线证明:即用导线连接两导体球则表面附近作圆柱形高斯面4、导体外部近表面处场强方向与该处导体表面垂直，大小与该处导体表面电荷面密度e成正比。(6).

简单孤立导体电场分布

曲率大处密度

大

E强；曲率小处密度

小

E

弱。

→

尖端放电注意：非简单时，不成立。例：(7).静电平衡导体对外电场的影响：实心导体注意：腔外q在腔内也激发电场，腔内是因为腔外表面被q感应出异号电荷，感应场与外场叠加后使腔内：（合场强为零）。2.

第二类导体空腔————[腔内有带电体]腔内无电场屏蔽（腔内仪器不受外场影响）。导体空腔（1）腔内电场不受外电场影响。（可用高斯定理证明）1.第一类导体空腔

——[腔内无带电体]二、静电平衡时导体上的电荷分布（2）腔外表面接地，则外场也不受内场影响。

★★导体空腔的静电屏蔽作用：

——导体空腔（不论接地与否）内部电场不受腔外电荷的影响；接地导体空腔外部的电场不受内部电荷的影响。静电屏蔽应用：精密测量上的仪器屏蔽罩、屏蔽室、高压带电作业人员的屏蔽服（均压服）等。由于空腔中的场强处处为零，放在空腔中的物体，就不会受到外电场的影响，所以空心金属球体对于放在它的空腔内的物体有保护作用，使物体不受外电场影响。三、静电屏蔽另一方面，一个接地的空心导体可以隔绝放在它的空腔内的带电体和外界的带电体之间的静电作用，这就是静电屏蔽原理。应用：如电话线从高压线下经过，为了防止高压线对电话线的影响，在高压线与电话线之间装一金属网等。静电平衡时导体上的电荷分布总结1、空腔内无带电体的情况腔体内表面不带电量，腔体外表面所带的电量为带电体所带总电量。导体上电荷面密度的大小与该处表面的曲率有关。腔体内表面所带的电量和腔内带电体所带的电量等量异号，腔体外表面所带的电量由电荷守恒定律决定。未引入q1时放入q1后2、空腔内有带电体+电荷守恒定律静电平衡条件电荷分布三、有导体存在时场强和电势的计算由静电感应可得q-qq导体球壳不带电，如果带电Q，则外表面电荷为Q+q.例1.已知：导体板A，面积为S、带电量Q，在其旁边放入导体板B。

求：(1)A、B上的电荷分布及空间的电场分布。(2)将B板接地，求电荷分布。a点b点A板B板假设4个面都是正的，解方程得:电荷分布场强分布两板之间板左侧板右侧

(2)将B板接地，求电荷及场强分布板接地时电荷分布a点b点

场强分布电荷分布两板之间两板之外练习已知:两金属板带电分别为q1、q2

求：1

、2

、3

、4具体见课本的例题11-7-2根据电荷守恒定律，有[例2练习]两个无限大带电平面，接地与不接地的讨论。S面积为S，带电量Q的一个金属板，与另一不代电的金属平板平行放置。求静电平衡时，板上电荷分布及周围电场分布；若第二板接地，情况又怎样？设静电平衡后，金属板各面所带电荷面密度如图所示由已知条件：由静电平衡条件和高斯定理，做如图所示高斯面可得：金属板内任一点P的场强为零，由叠加原理得：以上四个方程联立可求出：S设P由各板上的电荷面密度、金属板内场强为零和高斯定理可得各区间的场强：方向向左方向向右方向向右设由高斯定理得：金属板内场强为零得：因接地电荷守恒联立解出：方向向右P

[例题1]

如图：两无限大带电平板导体。试证：两式相加，得：

两式相减，得：··证明：每个无限大带电面产生的场强大小为。在导体内部选P1，P2两点，由静电平衡，板内的电场强度为0，有

以向右为正，例2（重要）已知R1R2R3qQ求:①电荷及场强分布；球心的电势②如用导线连接A、B，再作计算解:由高斯定理得电荷分布场强分布有一个导体球和球壳.球心的电势

场强分布球壳外表面带电②用导线连接A、B，再作计算连接A、B，中和导线连接，相当于一个导体，电荷只分布在导体的外表面，所以电量为Q+q,内部场强为0.[例2练习]一个带电金属球半径R1，带电量q1

，放在另一个带电球壳内，其内外半径分别为R2、R3，球壳带电量为

q

。试求此系统的电荷、电场分布以及球与球壳间的电势差。如果用导线将球壳和球接一下又将如何？由电荷守恒由高斯定律再由电荷分布和高斯定律及对称性利用高斯定律、电荷守恒、静电平衡条件、带电体相接后等电势的概念。设球壳内外表面电量：高斯面高斯面所以金属球A与金属壳B之间的电势差为：如果用导线将球和球壳接一下，则金属球壳B的内表面和金属球A球表面的电荷会完全中和，重新达到静电平衡，二者之间的场强和电势差均为零。球壳外表面仍保持有的电量，而且均匀分布，它外面的电场仍为：

[

例题3

]半径为R1

的金属球接地，球外有一内、外半径分别为R2

和R3

的同心导体球壳，壳上带电Q，当外球壳离地很远时，球壳内、外表面上各带电多少？

[解]：外壳很远，可忽略它与大地间的静电感应。设内球感应电荷(-

q)。则壳内表面带电q

，外表面带电(Q

-

q)。由外球壳与内球的电势差等于外球壳与无限远处的电势差可求得q。

得：

不讲q在球心处的电势为：

所以，点O处的电势为：

q

在球心处产生的电势为：因金属球在静电平衡状态下是一个等势体，且又与地相连接，即U=0，所以球心

O处的电势等于零。[解]（思路：据已知，需找一量，将q

与q

联系起来。这量就是球心处的电势。）★★★

记住此结果！[例题3]半径为R

的孤立金属球接地，与球心相距d

处有一点电荷+q

，且d>R。求：球上的感应电荷q

。本节重点：（1）静电平衡条件：（2）静电平衡性质：

①等势体；

②电荷仅分布于外表面；

③11—9

电容电容器一、孤立导体的电容孤立导体：附近没有其他导体和带电体单位：法拉（F）、微法拉（F）、皮法拉（pF）孤立导体的电容孤立导体球的电容C=40R电容——使导体升高单位电势所需的电量。孤立导体：处在真空中的远离其他导体、并且它们之间不发生电的影响的导体。一种理想模型.实验证实：任意形状的孤立导体，都有：Q/U=常量。（1）定义：考虑如图孤立导体球（实心或空心）：

（单位：法拉F=C/V)(常用：微法

F=10-6F皮法pF=10-12F)（2）性质：C

只与导体本身形状大小有关，是导体本身的固有属性。而与其是否带电及带电Q

多少无关。孤立导体的电容：=常量（与本身结构尺寸有关）升高单位电压所能容纳的电量称为该导体的电容。电势二.电容器及其电容电容器：两带有等值异号电荷导体所组成的系统。孤立导体的电容很小，并且容易受到其它带电体的影响。为了提高电容量，应把两块彼此绝缘而且靠得很近的导体板组成——电容器。

在实际应用中，为了消除其它带电体的影响，常采用静电屏蔽的方法。CQCDQDA+QA若带电体A

和B分别带电＋Q、－Q，其电势差为U

12=U1-U2。由实验证实

Q∕U

12

为恒量,故定义为电容器的电容。孤立导体实际也可认为是电容器，只是另一极板在无穷远处，且其电势为

0。C与电容器两极板形状及两极板间电介质有关。1、电容器的电容导体组合,使之不受周围导体的影响

——电容器电容器的电容：当电容器的两极板分别带有等值异号电荷q时，电量q与两极板间相应的电势差uA-uB的比值。将真空电容器充满某种电介质电介质的电容率（介电常数）平行板电容器电介质的相对电容率（相对介电常数）同心球型电容器同轴圆柱型电容器表示真空介电常数，或者叫真空的电容率2、电容器电容的计算平行板电容器已知：S、d、0设A、B分别带电+q、-qA、B间场强分布电势差由定义讨论与有关；插入介质可见:电容C只与电容器本身结构形状介质的性质有关。球形电容器(二同心球壳构成）设内球（R1)带电Q,外球(R2)带电

-Q

，二壳间（R1<r<R2)场强：

★★讨论：R1、R2都很大，且d=R2-R1很小，R1R2≈R12则近似为平行板电容器：R2>>R1，R2-

R1≈R2与孤立导体的电容相同。由高斯定理可得球形电容器总结：已知设+q、-q场强分布电势差由定义讨论孤立导体的电容圆柱形电容器已知：设场强分布电势差：由定义（二同轴柱面构成）设内外半径为R1，R2，长度为L，内柱带电＋Q，外筒带电-Q，L>>(R2-R1)，可视为无限长，由高斯定理求出场强：例:平行无限长直导线已知:a、d、d>>a

求:单位长度导线间的C解:设场强分布导线间电势差电容*三、电容器的串并联串联等效电容：并联等效电容：++++++++++----------真空三、电介质对电容器电容的影响介质的特点：电阻率大，电荷不能自由运动为极化后极化(束缚)电荷产生的场。2.电介质对电容器的作用则有：C/C0=rr

—相对电容率

0r＝

---电容率(1837年)法拉弟实验证实：而U

相等，故真空中：，一般：当两电容器带相同电量Q

时

C0=Q/U0，C=Q/U=C0

r

∴U0=rU

E0d＝rEd，E＝E0

/r

介质内的场强比真空中的减小到1/r倍。因而，可知电介质对电容器的作用为：

(1)增大电容；

(2)增大耐压本领。一般公式：充介质平行板电容器的电容：记住结论！！！++++++++++----------真空[例1]

已知：一平行板电容器，S、d。在下列情况下，求C。

(1)插入厚度为t

的金属板。

(2)插入厚度为t

的介电常数为r

的介质板。

(3)求介质板表面束缚电荷面密度。解：(1)相当于两电容器串联

可见，插入金属板后，电容增大；电容与金属板的位置有关吗?

电介质又称为绝缘体。其特性是电阻率大，导电能力差。在电场中与导体不同，内部场强E≠0。一、电介质的电结构：电介质的特点：电阻率大，电荷不能自由运动为极化后极化(束缚)电荷产生的场。原因：是原子核对电子束缚很强，内部几乎没有自由电子。11－10静电场中的电介质(Dielectric)电介质中没有自由电荷，分子中的电荷由于很强的相互作用而被束缚在一个很小的尺度内，在外电场作用下，这些电荷也会在束缚的条件下重新分布，新的电荷分布会削弱电介质中的电场，但却不能像导体那样把场强削弱为0.二、两类电介质：形成偶极子，具有电偶极矩————称为分子的固有电矩。分子由等量的正、负电荷构成，在一级近似下，可以把分子中的正、负电荷作为两个点电荷处理，称为等效电荷，等效电荷的位置称为电荷中心。若分子的正、负电荷中心不重合，则等效电荷形成一个电偶极子，其电偶极矩p=ql称为分子的固有极矩，这种分子叫做有极分子。有极分子在没有外场的作用时，由于热运动，分子电偶极矩无规则排列而相互抵消，电介质不显电性，在外场E0的作用时，分子将受到一个力矩的作用而转动到沿电场的方向有序排列，这称为电介质的极化。如果电介质是均匀的，极化的电介质内部没有净电荷，但电介质的表面会出现面电荷，称为极化电荷。极化电荷不是自由电荷，不能自由移动，但极化电荷仍能够产生一个附加电场E/使介质中的电场减小，有极分子的极化是通过分子转动方向实现的，称为取向极化。无极分子在没有外场的作用时不显电性，在外场作用时，正负电荷中心受力作用而发生相对位移，形成一个电偶极矩，称为感生电矩。电介质的表面也会出现极化电荷，并产生附加电场使电介质中的电场减小，无极分子的极化是由于分子正负电荷中心发生相对位移来实现的，称为位移极化。若撤去外场，无极分子的正负电荷中心重新重合，极化消失，电介质恢复电中性。位移极化的微观机制与取向极化不同，但结果相同：同样要形成极化电荷，同样要产生附加电场来削弱电介质中的电场。所以，如果问题不涉及极化的机制，在宏观处理上我们往往不必对它们刻意区分。

有极分子：分子正负电荷中心不重合。无极分子：分子正负电荷中心重合；电介质CH+H+H+H+正负电荷中心重合甲烷分子+正电荷中心负电荷中心H++HO水分子——分子电偶极矩电介质的极化总结：

1.无极分子的位移极化无外电场时加上外电场后+++++++极化电荷极化电荷主要是电子发生位移2.有极分子的转向极化+++++++++++++++++++++++++++无外电场时电矩取向不同两端面出现极化电荷层转向外电场加上外场有极分子有上述两种极化机制。在高频下只有位移极化。l在外电场中的电介质分子无极分子只有位移极化，感生电矩的方向沿外场方向。无外场下，所具有的电偶极矩称为固有电偶极矩。在外电场中产生感应电偶极矩（约是前者的10-5)。二、电极化强度和极化电荷1、电极化强度(矢量)单位体积内分子电偶极矩的矢量和.描述了电介质极化强弱，反映了电介质内分子电偶极矩排列的有序或无序程度。用单位体积中分子电偶极矩矢量和表示电介质的极化程度。2、极化电荷和极化强度关系(1)均匀介质极化时，其表面上某点的极化电荷面密度，等于该处电极化强度在外法线上的分量。极化电荷表面极化电荷(2)在电场中，穿过任意闭合曲面的极化强度通量等于该闭合曲面内极化电荷总量的负值。无限大均匀电介质中充满电场空间的各向同性均匀电介质内部的场强大小等于真空中场强的倍，方向与真空中场强方向一致。介质中的场极化电荷的场自由电荷的场三、电介质中的电场电介质中的电场是自由电荷电场与极化电荷的电场叠加的结果。若介质中各点e

相等，则称为均匀介质。各向同性的均匀电介质发生电极化时，分子电偶极矩的方向趋于外电场方向，即电极化强度P与介质中电场强度E方向相同，即1、线性各向异性电介质它表示张量在坐标中的9个分量，叫做电介质的极化率张量。的关系是线性关系时，电介质叫做线性电介质。附录：2、铁电体与的关系是非线性的，甚至与之间也不存在单值函数关系。如：酒石酸钾钠（NaKC4H4O6）及钛酸钡（BaTiO3）（1）、由于铁电体具有电滞效应，经过极化的铁电体在剩余极化强度Pr和-Pr处是双稳态，可制成二进制的存储器。（2）、铁电体的相对介电常数r不是常数，随外加电场的变化。利用铁电体作为介质可制成容量大、体积小的电容器。铁电体的性能和用途3、压电体

1880年居里兄弟发现石英晶体被外力压缩或拉伸时，在石英的某些相对表面上会产生等量异号电荷。

——压电效应（3）、铁电体在居里点附近，材料的电阻率会随温度发生灵敏的变化，可以制成铁电热敏电阻器。（4）、铁电体在强光作用下能产生非线性效应，常用做激光技术中的倍频或混频器件。4、驻极体极化强度并不随外场的撤除而消失。如：石蜡

（3）束缚电荷与极化强度的关系总结

自由电荷常用表示。极化电荷常用表示。①束缚电荷（极化电荷）——由于极化而在介质表面或内部出现的电荷。

②自由电荷——不是极化而引起的宏观电荷。同：以相同的规律在空间激发电场。异：极化电荷可作微小移动，在介质内产生的场强可削弱介质内的外场，是不能宏观分开的正、负电荷。

自由电荷是能够宏观分开的正、负电荷，在导体内部所产生的场强完全抵消外场。

当电介质在外场作用下发生极化时,其分子电矩为：电介质的极化强度：在极化介质内取一面元矢量：在面元dS

后侧沿方向,斜柱体体元：S++++++++－－－－－－－－－－－++dV极化越过面元的总电荷为位移极化都沿同一方通过整个闭合曲面S向外移动的极化电荷总量S内净余极化电荷总量

表明：任意闭合曲面的极化强度矢量的通量等于该闭合曲面内的极化电荷总量的负值。正电荷移出S面,负电荷移入S面,S++++++++－－－－－－－－－－－++dV在介质表面上,极化电荷面密度为当−90

<

<90时,正极化电荷；当90<

<270时，负极化电荷。表明：任意闭合曲面的极化强度矢量的通量等于该闭合曲面内的极化电荷总量的负值。记住，后面要用这一结果！！！四、有电介质时的电场E－－－－－－＋＋＋＋＋＋＋－例：充满均匀介质的平行板电容器

条件：当介质充满整个场，或不同介质分区充满，二介质界面为等势面。

均匀电介质充满电场时，电介质内部的场强比自由电荷所产生的场强要小，且为原来的1/r倍。五、有电介质时的高斯定理自由电荷极化电荷电位移矢量真空中介质中介质中的高斯定理自由电荷通过任意闭合曲面的电位移通量，等于该闭合曲面所包围的自由电荷的代数和。电位移线大小:方向:切线线线D线从自由正电荷出发，终止于自由负电荷。

定义：电位移矢量electricdisplacement自由电荷束缚电荷根据介质极化和真空中高斯定律：电介质中的高斯定理总结:电场线起始于正电荷终止于负电荷。包括自由电荷和与束缚电荷。自由电荷通过任一闭合曲面的电位移通量，等于该曲面内所包围的自由电荷的代数和。物理意义该积分方程的微分形式：3.对各向同性介质2.

对真空回到真空中的高斯定理讨论:1.为辅助物理量线从自由正电荷出发，终止于自由负电荷。介质的电极化率4.此高斯定理与上一章的高斯定理都是普遍适用的.5.

优点：(不出现q)，可使介质中场强的计算问题大为简化，在有一定对称的情况下,先由它求出再由求出求法：

★★注意：闭合面上电位移矢量的通量只与面内自由电荷q0有关,但并不意味着只由q0

产生.因为的通量和本身是两个不同的概念。六、静电场的性能方程——静电场的性能方程例如：点电荷在介质场中：故上一章中各公式，若有介质时，只需0

，而q0

（自由电荷）不变，即可。熟记介质中高斯定理的应用用介质中的D求电场要求自由电荷和极化电荷分布具有一定的对称性，于是才可能有电荷分布的对称及电场分布的对称，从而能够简单的求出D和E来。半径为r1的导体球带电为+q,球外有一同心的内径为r1,外径为r2的各向同性均匀介质球壳，介电常数为，如图所示，求介质中和空气中的场强分布和电势分布。O解：由于导体和球壳都具有球对称性，故自由电荷和极化电荷分布也满足对称性。因而电场的E和D分布也具有球对称性，且在以O为中心的同一球面上D、E的大小分别相同。在介质中作一半径为r的球面S1,按D高斯定理所以介质中的场强所以介质外的场强介质中距球心为r的一点的电势为在球外距球心为r的一点的电势为电场中有介质时，一般不宜直接用叠加原理来求场强和电势，否则必须考虑极化电荷q/单独产生的那一部分场强E/和电势V/,在一定的对称条件下，用介质中的高斯定理求出D,由E=D/得到E,进而用求出V

求出V是常用的方法。解：

(1)因电荷及介质分布的球对称性，极化电荷均匀地分布在介质界面上，与球心等距离的各点其的大小相等，方向沿径向。[例题1]

两导体球壳。内充两层介质，两球壳带电量为+Q，-Q，求：(1)的分布；(2)两导体球壳的电势差；(3)内层电介质内表面的束缚电荷面密度。(2)1、2间电势差为：(3)内层电介质内表面的束缚电荷面密度例1.已知:导体板介质求:各介质内的解:设两介质中的分别为由高斯定理由得厚度平行板电容器两板面积均为S,在两板之间平行地放置两块面积也是S，厚度分别为d1,d2，介电常数为1，2的介质板，场强分布电势差电容例2.平行板电容器。已知d1、r1、d2、r2、S

求:电容C解:设两板带电例3.已知:导体球介质求:1.球外任一点的2.导体球的电势解:过P点作高斯面得电势例4.平行板电容器已知:S、d插入厚为t的铜板求：C

设q场强分布电势差复习：1.介质的分类及极化机制：有极分子和无极分子；位移极化和取向极化。2.有关介质极化的几个公式：3.电位移矢量：4.高斯定理的形式：11—11

静电场的能量开关倒向a,电容器充电。开关倒向b,电容器放电。灯泡发光电容器释放能量电源提供计算电容器带有电量Q，相应电势差为U时所具有的能量。一、带电系统的能量电容器的一个用途是可以储存能量，如照相用的闪光灯和红宝石激光器都可以利用电容器储存电能，使用时使电容器放电，把能量转换为光能。一、充电电容器的静电能

设电容器原不带电，将电荷元dq

从一个极板向另一个极板用外力不断搬移，累积形成Q。当充电到q

时，相应电势差为u，再迁移dq，外力做功为：比较：总功为：

外力作正功，相当于电场力作负功，相应电势能增加，即电容器所具有