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直线与圆锥曲线之——直线的设法我们在前面处理直线与圆锥曲线时，涉及到了直线方程的几种设法形式。对于有些题目，直线方程的设法确实会影响到我们的做题。今天我们通过一道题目，感受一下。已知椭圆x2y21(ab0)的离心率为3，且过点B(0，1).a2b22（Ⅰ）求椭圆的标准方程;（Ⅱ）已知点P(m,0)为x轴上一动点，过点P的直线与圆x2y2b2相切，并与椭圆交于A,B两点，求弦AB长度的最大值时，m的值。b1a2c3，解得解析：（Ⅰ）由题意知eb1，a2c3a22c2b椭圆的标准方程为： x2 y21.4（Ⅱ）方法一 我们先用同学们喜欢用的设法。当直线AB的斜率不存在时，m1，弦长AB3当直线AB的斜率存在时，设直线方程为yk(xm)因为直线AB与圆x2y2b2相切，km1所以1k2整理得k2m21k2因为直线AB与椭圆交于 A,B两点2x 2所以 y 1y k(x m)整理得(421)282(4224)0kxkmxkm64k4m24(4k21)(4k2m24)48k20所以AB1k264k4m24(4k21)(4k2m24)4k2143k4k243k4k24k21(4k21)2下面我们要求解k4k2(4k2什么时候取最大值。1)2首先，我们可以用导数法[k4k22]'(4k32k)(4k21)216k3(1k2)(4k21)(4k21)(4k21)4-2k2(2k21)0(4k21)4解得k21，代入得，m3，此时ABmax22其次，我们可以用法令k2t，Tk42k22t2t2(4k1)(4t1）整理得T1)t2TtT0(16(81)T1)2TT1)T10(84(1612解得T1，代入可得ABmax212解得k21，代入得，m32下面我们看方法二直线方程的另一种设法由题意知，直线AB的斜率不为0，故设直线方程为xtym因为直线AB与圆x2y2b2相切，m1所以1t2整理得m21t2因为直线AB与椭圆交于A,B两点x2y21所以4tymx整理得(t24)y22(m24)0tmy64k4m2 4(4k2 1)(4k2m2 4) 48k2 0所以AB1t24k2m24(m24)(t24)t2443(1t2)(t2m4)t24将代入得AB43m432，当m3时，等号成立。m233mm这种直线的设法是不是要简单很多？说明：方法一中的直线设法，要考虑直线的斜率是否存在，方法二中直线的设法要考虑直线的斜率是否为0.而且，当已知直线经过x轴上一点时，我们通常采用第二种设法。如果能够感受到直线设法给解

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