直线、平面平行的判定与性质

直线、平面平行的判定与性质一、基础知识1．直线与平面平行的判定定理和性质定理文字语言 图形语言平面外一条直线与此平面内的一条直线判定定理? 平行，则该直线与此平面平行 (线线平行线面平行)一条直线与一个平面平行，则过这条直性质定理 线的任一平面与此平面的交线与该直线平行(简记为“线面平行?线线平行”)应用判定定理时，要注意“内”“外”“平行”三个条件必须都具备，缺一不可.2．平面与平面平行的判定定理和性质定理文字语言 图形语言一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，判定定理?则这两个平面平行(简记为“线面平行?面面平行”)如果两个平行平面同时性质定理 和第三个平面相交，那么它们的交线平行如果一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面的两条直线，那么这两个平面互相平行.符号表示：

符号语言l∥a，a?α，l?α，∴l∥αl∥α，l?β，α∩βb，∴l∥b符号语言∵a∥β，b∥β，a∩b＝P，a?α，b?α，∴α∥β∵α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，a∥ba?α，b?α，a∩b＝O，a′?β，b′?β，a∥a′，b∥b′?α∥β.二、常用结论平面与平面平行的三个性质(1)两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面．(2)夹在两个平行平面间的平行线段长度相等．(3)两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例．考点一直线与平面平行的判定与性质考法(一)直线与平面平行的判定[典例]如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，点M，N分别为线段A1B，AC1的中点．求证：MN∥平面BB1C1C.[证明]如图，连接A1C.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面AA1C1C为平行四边形．又因为N为线段AC1的中点，所以A1C与AC1相交于点N，即A1C经过点N，且N为线段A1C的中点．因为M为线段A1B的中点，所以 MN∥BC.又因为MN?平面BB1C1C，BC?平面BB1C1C，所以MN∥平面BB1C1C.考法(二)线面平行性质定理的应用[典例](2018·东名校联考豫)如图，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，E为线段AD上的任意一点(不包括A，D两点)，平面CEC1与平面BB1D交于FG.求证：FG∥平面AA1B1B.[证明]在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，BB1∥CC1，BB1?平面BB1D，CC1?平面BB1D，所以CC1∥平面BB1D.又CC1?平面CEC1，平面CEC1与平面BB1D交于FG，所以CC1∥FG.因为BB1∥CC1，所以BB1∥FG.因为BB1?平面AA1B1B，FG?平面AA1B1B，所以FG∥平面AA1B1B.[题组训练]1．(2018·江高考浙)已知平面 α，直线m，n满足m?α，n?α，则“m∥n”是“m∥α”的(

)A．充分不必要条件

B．必要不充分条件C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件n?

解析：选A ∵若m?α，n?α，且m∥n，由线面平行的判定定理知 m∥α，但若α，且m∥α，则m与n有可能异面，∴ “m∥n”是“m∥α”的充分不必要条件．2．如图，在四棱锥 P-ABCD中，AB∥CD，AB＝2，CD＝3，M为PC上一点，且

m?α，PM＝2MC.求证：BM∥平面PAD.证明：法一：如图，过点 M作MN∥CD交PD于点N，连接AN.2∵PM＝2MC，∴MN＝3CD.2又AB＝3CD，且AB∥CD，AB綊MN，∴四边形ABMN为平行四边形，BM∥AN.又BM?平面PAD，AN?平面PAD，∴BM∥平面PAD.法二：如图，过点 M作MN∥PD交CD于点N，连接BN.PM＝2MC，∴DN＝2NC，2又AB∥CD，AB＝3CD，AB綊DN，∴四边形ABND为平行四边形，BN∥AD.BN?平面MBN，MN?平面MBN，BN∩MN＝N，AD?平面PAD，PD?平面PAD，AD∩PD＝D，∴平面MBN∥平面PAD.BM?平面MBN，∴BM∥平面PAD.3.如图所示，四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和PA作平面PAHG交平面BMD于GH.求证：PA∥GH.证明：如图所示，连接 AC交BD于点O，连接MO，∵四边形ABCD是平行四边形，∴O是AC的中点，又M是PC的中点，∴PA∥MO.又MO?平面BMD，PA?平面BMD，∴PA∥平面BMD.∵平面PAHG∩平面BMD＝GH，PA?平面PAHG，PA∥GH.考点二 平面与平面平行的判定与性质[典例] 如图，在三棱柱 ABC-A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：(1)B，C，H，G四点共面；(2)平面EFA1∥平面BCHG.[证明] (1)∵GH是△A1B1C1的中位线，GH∥B1C1.又∵B1C1∥BC，∴GH∥BC，∴B，C，H，G四点共面．(2)∵E，F分别为AB，AC的中点，EF∥BC，EF?平面BCHG，BC?平面BCHG，∴EF∥平面BCHG.A1G綊EB，∴四边形A1EBG是平行四边形，A1E∥GB.A1E?平面BCHG，GB?平面BCHG，∴A1E∥平面BCHG.A1E∩EF＝E，∴平面EFA1∥平面BCHG.[变透练清]1.变结论 在本例条件下，若 D1，D分别为B1C1，BC的中点，求证：平面 A1BD1∥平面AC1D.证明：如图所示，连接 A1C，AC1，设交点为M，∵四边形A1ACC1是平行四边形，∴M是A1C的中点，连接 MD，D为BC的中点，∴A1B∥DM.DM?平面A1BD1，A1B?平面A1BD1，∴DM∥平面A1BD1.又由三棱柱的性质知 D1C1綊BD，∴四边形BDC1D1为平行四边形，DC1∥BD1.又DC1?平面A1BD1，BD1?平面A1BD1，∴DC1∥平面A1BD1，又∵DC1∩DM＝D，DC1?平面AC1D，DM?平面AC1D，∴平面A1BD1∥平面AC1D.2．如图，四边形ABCD与四边形ADEF为平行四边形，M，N，G分别是AB，AD，EF的中点，求证：(1)BE∥平面DMF；(2)平面BDE∥平面MNG.证明：(1)如图，连接 AE，设DF与GN的交点为 O，则AE必过DF与GN的交点O.连接MO，则MO为△ABE的中位线，所以BE∥MO.又BE?平面DMF，MO?平面DMF，所以BE∥平面DMF.(2)因为N，G分别为平行四边形 ADEF的边AD，EF的中点，所以DE∥GN.又DE?平面MNG，GN?平面MNG，所以DE∥平面MNG.又M为AB中点，所以MN为△ABD的中位线，所以BD∥MN.又BD?平面MNG，MN?平面MNG，所以BD∥平面MNG.又DE?平面BDE，BD?平面BDE，DE∩BD＝D，所以平面BDE∥平面MNG.[课时跟踪检测 ]A级1．已知直线 a与直线b平行，直线 a与平面α平行，则直线 b与α的关系为( )A．平行 B．相交C．直线b在平面α内 D．平行或直线 b在平面α内解析：选D 依题意，直线 a必与平面 α内的某直线平行，又 a∥b，因此直线 b与平面α的位置关系是平行或直线 b在平面α内．2．若平面α∥平面β，直线a∥平面α，点B∈β，则在平面 β内且过B点的所有直线中(

)A．不一定存在与 a平行的直线B．只有两条与 a平行的直线C．存在无数条与 a平行的直线D．存在唯一与 a平行的直线解析：选A 当直线a在平面β内且过B点时，不存在与 a平行的直线，故选 A.3．在空间四边形 ABCD中，E，F分别是AB和BC上的点，若AE∶EB＝CF∶FB＝1∶2，则对角线 AC和平面DEF的位置关系是 ( )A．平行 B．相交C．在平面内 D．不能确定解析：选

A

如图，由

AEEB＝CFFB得

AC∥EF.又因为EF?平面DEF，AC?平面DEF，所以AC∥平面DEF.4．(2019

·庆六校联考重

)设

a，b是两条不同的直线，

α，β是两个不同的平面，则

α∥β的一个充分条件是 ( )A．存在一条直线 a，a∥α，a∥βB．存在一条直线 a，a?α，a∥βC．存在两条平行直线 a，b，a?α，b?β，a∥β，b∥αD．存在两条异面直线 a，b，a?α，b?β，a∥β，b∥α解析：选D 对于选项A，若存在一条直线 a，a∥α，a∥β，则α∥β或α与β相交，若α∥β，则存在一条直线 a，使得a∥α，a∥β，所以选项 A的内容是 α∥β的一个必要条件；同理，选项 B、C的内容也是 α∥β的一个必要条件而不是充分条件；对于选项 D，可以通过平移把两条异面直线平移到一个平面中，成为相交直线，则有 α∥β，所以选项 D的内容是α∥β的一个充分条件．故选 D.5.如图，透明塑料制成的长方体容器 ABCD-A1B1C1D1内灌进一些水，固定容器底面一边 BC于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下面四个命题：①没有水的部分始终呈棱柱形；②水面EFGH所在四边形的面积为定值；③棱A1D1始终与水面所在平面平行；④当容器倾斜如图所示时，

BE·BF

是定值．其中正确命题的个数是

(

)A．1

B．2C．3

D．4解析：选C 由题图，显然①是正确的，②是错误的；对于③，∵A1D1∥BC，BC∥FG，A1D1∥FG且A1D1?平面EFGH，FG?平面EFGH，A1D1∥平面EFGH(水面)．∴③是正确的；对于④，∵水是定量的 (定体积V)，1S△BEF·BC＝V，即2BE·BF·BC＝V.2V∴BE·BF＝BC(定值)，即④是正确的，故选 C.6.如图，平面α∥平面β，△PAB所在的平面与α，β分别交于CD，AB，若PC＝2，CA＝3，CD＝1，则AB＝________.解析：∵平面α∥平面β，∴CD∥AB，则PC＝CD，∴AB＝PA×CD＝5×1＝5.PAABPC22答案：527．设α，β，γ是三个平面， a，b是两条不同直线，有下列三个条件：①a∥γ，b?β；②a∥γ，b∥β；③b∥β，a?γ.如果命题“α∩β＝a，b?γ，且________，则a∥b”为真命题，则可以在横线处填入的条件是________(填序号)．解析：由面面平行的性质定理可知，①正确； 当b∥β，a?γ时，a和b在同一平面内，且没有公共点，所以平行，③正确．故应填入的条件为①或③ .答案：①或③8．在三棱锥 P-ABC中，PB＝6，AC＝3，G为△PAC的重心，过点 G作三棱锥的一个截面，使截面平行于 PB和AC，则截面的周长为 ________．解析：如图，过点 G作EF∥AC，分别交 PA，PC于点E，F，过点E作EN∥PB交AB于点N，过点F作FM∥PB交BC于点M，连接MN，则四边形EFMN是平行四边形(平面EFMN为所求截面)，且EF＝MN＝2AC＝312，FM＝EN＝3PB＝2，所以截面的周长为2×4＝8.答案：89.如图，E，F，G，H分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱BC，CC1，C1D1，AA1的中点．求证：(1)EG∥平面BB1D1D；(2)平面BDF∥平面B1D1H.证明：(1)如图，取 B1D1的中点O，连接GO，OB，因为OG綊1B1C1，BE綊1B1C1，22所以BE綊OG，所以四边形 BEGO为平行四边形，故OB∥EG，因为OB?平面BB1D1D，EG?平面BB1D1D，所以EG∥平面BB1D1D.(2)由题意可知 BD∥B1D1.连接HB，D1F，因为BH綊D1F，所以四边形 HBFD1是平行四边形，故HD1∥BF.又B1D1∩HD1＝D1，BD∩BF＝B，所以平面BDF∥平面B1D1H.10．(2019·昌摸底调研南 )如图，在四棱锥∠ACD＝90°，∠BAC＝∠CAD＝60°，PA⊥平面

P-ABCD 中，∠ABC＝ABCD，PA＝2，AB＝1.设

M，N分别为

PD，AD

的中点．(1)求证：平面CMN∥平面PAB；(2)求三棱锥P-ABM的体积．解：(1)证明：∵M，N分别为PD，AD的中点，∴MN∥PA，又MN?平面PAB，PA?平面PAB，∴MN∥平面PAB.在Rt△ACD中，∠CAD＝60°，CN＝AN，∴∠ACN＝60°.又∠BAC＝60°，∴CN∥AB.∵CN?平面PAB，AB?平面PAB，∴CN∥平面PAB.又CN∩MN＝N，∴平面CMN∥平面PAB.(2)由(1)知，平面CMN∥平面PAB，∴点M到平面PAB的距离等于点C到平面PAB的距离．∵AB＝1，∠ABC＝90°，∠BAC＝60°，∴BC＝3，∴三棱锥P-ABM的体积V＝VM-PAB＝VC-PAB＝VP-ABC＝1×1×1×3×2＝3.323B级1.如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB＝AD＝AC＝3，PA＝BC＝4，M为线段AD上一点，AM＝2MD，N为PC的中点．(1)求证：MN∥平面PAB；(2)求四面体 N-BCM的体积．解：(1)证明：由已知得 AM＝23AD＝2.取BP的中点

T，连接

AT，TN，由N为

PC的中点知

TN∥BC，1TN＝2BC＝2.又AD∥B