数值分析5.3 最佳平方及一致逼近

*5.4

最佳平方逼近*5.4.1

最佳平方逼近及其计算最佳平方逼近问题:对f(x)∈C[a,b]及C[a,b]中的一个子集若存在函数,使下式成立则称S*(x)是f(x)在子集中的最佳平方逼近函数.为了求S*(x),由上式可知该问题等价于求多元函数的最小值.由于I(a0,a1,…,an)是关于a0,a1,…,an的二次函数，利用多元函数求极值的必要条件即于是有是关于a0,a1,…,an的线性方程组，称为法方程，即由于函数组线性无关，故系数矩阵的行列式非零，即从而得到最佳平方逼近函数于是方程组有唯一解

下面证明S*(x)满足最佳平方逼近的定义，即但我们只需证明为此我们只要考虑由于S*(x)的系数ak*是法方程的解，故从而上式第二项积分为0.于是可得即得S*(x)必定是所求函数f(x)的最佳平方逼近函数.注：若取则要在Hn中求n次最佳平方逼近多项式此时若用H表示对应的矩阵，即则称H为希尔伯特(Hilbert)矩阵，若记向量则法方程为其解ak=

ak*(k=0,1,…,n),即得所求最佳平方多项式为的系数.

解

由公式有得法方程组

例1

求

在[0,1]上的一次最佳平方逼近多项式.解出故得所求的一次最佳平方逼近多项式为平方误差为最大误差为注：若用{1,x,…,xn}做基，求最佳平方多项式，计算简单，但当n较大时,系数矩阵H是高度病态的(见第2章),因此直接求解法方程是相当困难的，故通常是采用正交多项式做基底构造最佳平方多项式.*5.4.2

用正交函数族作最佳平方逼近

设f(x)∈C[a,b]，若是正交函数族，即满足故法方程的系数矩阵为非奇异对角阵，即立刻得到法方程的解为于是f(x)∈C[a,b]在φ中的最佳平方逼近函数为可得均方误差为

下面考虑函数f(x)∈C[-1,1]，按勒让德多项式{P0(x),P1(x),…,Pn(x)}展开，由公式可得其中平方误差为

解

先计算(f(x),Pk(x))(k=0,1,2,3)

例2

求f(x)=ex在[-1,1]的三次最佳平方逼近多项式.由公式解得得三次最佳平方逼近多项式为可得均方误差为可得最大误差为注1：

如果f(x)∈C[a,b]，求[a,b]上的最佳平方逼近多项式，做变换于是在[-1,1]上可用勒让德多项式做最佳平方逼近多项式

S*(t)，从而可得到区间[a,b]上的最佳平方逼近多项式注2：由于勒让德多项式{Pk(x)}是在[-1,1]上由多项式基{1,x,…,xn,…}正交化得到的，因此利用函数的勒让德展开得到最佳平方逼近多项式与由直接通过解法方程得到Hn中的最佳平方逼近多项式是一致的，但是当n较大时法方程出现病态，计算误差较大，不能使用，而用勒让德展开不用解线性方程组，不存在病态问题，计算公式比较方便，因此通常都用这种方法求最佳平方逼近多项式.*5.5

最佳一致逼近多项式5.5.1

基本概念及其理论

本节讨论f∈C[a,b]，在Hn=span{1,x,…,xn}中求多项式Pn*(x)

，使其误差这就是通常所谓最佳一致逼近或切比雪夫逼近问题.

最佳一致逼近多项式问题定义1设Pn(x)∈Hn，f(x)∈C[a,b],称为f(x)与Pn(x)在[a,b]上的偏差.

显然,的全体组成一个集合，记为{},它有下界0.若记集合的下确界为

则称之为f(x)在[a,b]上的最小偏差.定义2假定f(x)∈C[a,b],若存在Pn*(x)∈Hn使得则称Pn*(x)是f(x)在[a,b]上的最佳一致逼近多项式或最小偏差逼近多项式.

注意,定义并未说明最佳逼近多项式是否存在,但可以证明下面的存在定理.

定理1

若f(x)∈C[a,b],则总存在Pn*(x)使证明略.就称x0是P(x)对f(x)的偏差点.若称x0为“正”偏差点.

为了研究最佳逼近多项式的特性，先引进偏差点的定义.

定义3(偏差点定义)设f(x)∈C[a,b]，P(x)∈Hn，若在x＝x0上有若称x0为“负”偏差点.

由于函数P(x)－f(x)在[a,b]上连续,因此,至少存在一个点x0∈[a,b]使

也就是说P(x)的偏差点总是存在的.下面给出反映最佳逼近多项式特征的切比雪夫定理.

定理2(切比雪夫定理

)Pn(x)∈Hn是f(x)∈C[a,b]的最佳逼近多项式的充分必要条件是Pn(x)在[a,b]上至少有n+2个轮流为“正”，“负”的偏差点，即有n+2个点a≤x1＜x2＜...＜xn+2≤b，使这样的点组称为切比雪夫交错点组.

切比雪夫定理说明用P(x)逼近f(x)的误差曲线y=P(x)－f(x)是均匀分布的.由这个定理还可得以下重要推论.

定理3

在区间[-1,1]上所有最高次项系数为1的n次多项式中,

利用切比雪夫定理可直接得到切比雪夫多项式Tn(x)的一个重要性质，即

推论1

若f(x)∈C[a,b]，则在Hn中存在唯一的最佳逼近多项式.(证明略)与零的偏差最小，其偏差为.(证明见p207)

即可以理解为f(x)－Pn-1*(x)与零的偏差等于最小当且仅当

例1

求f(x)=2x3+x2+2x-1在[-1,1]上的最佳2次逼近多项式.

解

由题意，所求最佳逼近多项式P2*(x)应满足由定理3可知，当时，多项式f(x)－P2*(x)与零偏差最小，故就是f(x)在[-1,1]上的最佳2次逼近多项式.*5.5.2

最佳一次逼近多项式

切比雪夫定理给出了最佳逼近多项式P(x)的特性，但要求出P(x)却相当困难.下面讨论n=1的情形.假定f(x)∈C2[a,b].且f"(x)在(a,b)内不变号，我们要求最佳一次逼近多项式

P1(x)=a0+a1x

，根据定理可知至少有3个点a≤x1＜x2＜x3≤b，使

由于f"(x)在[a,b]上不变号,故f'(x)单调,f'(x)-a1在(a,b)内只有一个零点，记为x2,于是即另外两个偏差点必定是区间的端点，即x1=a,x3=b，且满足由此得到代入到(2)得这就得到最佳一次逼近多项式P1(x)，其方程为由(1)式得

解