排列及n级行列式

§2.2排列副对角线二阶行列式的计算主对角线例一种运算表达式！三阶行列式的计算对角线法则三阶行列式练习：根据定义算一算

行列式是研究矩阵的一个重要工具，是矩阵的重要数字特征。对于n阶方阵用记号表示一个与A相对应的数，称为矩阵A的行列式(Determinant).记做det(A)，或|A|.●行列式的定义元素第一行排列的逆序数定义1(P52)由n个自然数1,2,3,…，n,构成的一个有序数组称为这一个n阶排列.例如：123455123453214都是数1，2，3，4，5的一个5阶排列.

注：n个数的不同n阶排列有个.n!1,2,3,…，n,按照由小到大的顺序排成的排列称为n阶标准排列或自然顺序排列.例如：1,2,3构成的三阶排列有：123，231,132等等在一个排列中，若某个较大的数排在某个较小的数前面，就称这个排列含有一个逆序.一个排列中出现的逆序的总数定义2（P52）称为这个排列的逆序数，排列

的逆序数通常记为

例如：排列12的逆序数为，排列21的逆序数为，排列231的的逆序数为，排列213的逆序数是。0121练习：910大小n级排列的逆序数的计算:逆序数为偶数的排列称为偶排列，逆序数为奇数的排列称为奇排列。

定义3（P53）定义（P53）把一个排列中的某两个数交换位置，其余数字不动，叫做对该排列作一次对换，简称对换(动词)。对换改变排列的奇偶性．即经过一次对换，奇排列变成偶排列，偶排列变成奇排列．定理1(P53)奇排列对换偶排列对换奇排列证明1)特殊情形：ab相邻对换与除外，其它元素所成逆序不改变.设排列为对换改变排列的奇偶性．即经过一次对换，奇排列变成偶排列，偶排列变成奇排列．定理1(P53)因此对换相邻的两个元素，排列改变奇偶性.2)

一般情形ab不相邻次相邻对换次相邻对换次相邻对换所以一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性.设排列为现来对换与推论：时，n个数的所有排列中，奇偶排列各占一半，各为个.定理2（P54）定理2（P54）证明：对排列的级数n作归纳，证明该结论成立。1级排列只有1个，结论自然成立。假设结论对n-1级排列成立，设是一n级排列，若,由归纳,若，先对作的对换，它就变成，则归结成前一情形，因此总成立.现证n级排列情形：本定理的后一结论显然成立(自然排列为偶排列).若，先对作的对换，它就变成，则归结成前一情形，因此总成立.(2)自然排列12…n可经一系列的对换变到任意一个n元排列：。，则此对换将变成则n-1级排列可经一系列对换变成排列奇数次对换思考题如果排列的逆序数为k

，则排列的逆序数是多少？P965作业：P964§2.3n阶行列式副对角线二阶行列式的计算主对角线三阶行列式定义4n阶行列式（P56）的值等于所有取自不同行不同列的n个元素的乘积的代数和n级行列式的值等于所有取自不同行不同列的n个元素的乘积的代数和结论：1、共有n！项；2、每项又n个元素；3、每项这n个元素一定处于不同行不同列中；4、每项符号与逆序数的奇偶有关，偶排列取正，奇排列取负。例1（P57）上三角形行列式上三角形行列式的值为主对角线上的元素之乘积下三角形行列式下三角形行列式的值等于主对角线上各元素的乘积特别对角形行列式例223解含的项有两项,即解含的项有两项,即对应于24行下标取自然顺序列下标取自然顺序行列式的三个等价定义

P62行列下标任意排列三阶行列式的项按行下标排列乘积项按列下标排乘积项任意排列该项都是相等的！转置行列式或记作行、列对掉称为行列式的转置行列式Transpose行列式的性质●行列式的性质表明行与列是对等的，行具有的性质，列也具有性质1（P60）

行列式转置后，其值不变，即如§2.6行列式按一行（列）展开在阶行列式中，把元素所在的第行和第列划去后，留下来的阶行列式叫做元素的余子式，记作叫做元素的代数余子式．余子式与代数余子式(P75-77)●余子式和代数余子式在n阶行列式中，把元素所在的第i行和第j列划去后，余下的n－1阶行列式叫做元素的余子式(cofactor)。记为为元素称的代数余子式。例如：元素的代数余子式注：行列式的每个元素都分别对应着一个余子式和一个代数余子式。元素的余子式元素的代数余子式作乘积和！定理3

n

阶行列式等于它的某一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即行列式按行（列）展开法则D按第i行展开的展开式例

根据展开式计算行列式的值按第一行展开练习：按第二列元展开！例

计算行列式的值注意计算行列式时，一般情况下按零元素较多的行（列）展开较为简单。定理3

行列式中某一行（或列）的元素与另一行（或列）对应元素的代数余子式乘积之和为零。小结行列式按行展开得D，串行展开得零。1、设有行列式A11、A12、A13、A14分别是D的第一行元素的代数余子式，试求3A11-A12