事件的条件概率和三个基本公式

第三节条件概率1一、条件概率

对概率的讨论总是相对于某个确定的条件而言的，但有时除了这个确定的条件以外，还会提出附加的条件，即已知某一事件B已经发生，要求另一事件A发生的概率。

例如，考虑有两个孩子的家庭，假定男女出生率相同，则两个孩子的性别为(男,男),(男,女),(女,男),(女,女)的可能性是一样的。

若A记为“一男一女”，则P(A)=1/2；

但如果预先知道至少有一男孩，则上述事件的概率应为2/3.

2例如，考虑有两个孩子的家庭，假定男女出生率相同，则两个孩子的性别为(男,男),(男,女),(女,男),(女,女)的可能性是一样的。

若A记为“一男一女”，则P(A)=1/2；

但如果预先知道至少有一男孩，则上述事件的概率应为2/3.

我们将“已知事件

B

发生的条件下,事件

A

发生的概率”称为条件概率，记为P

(A

|

B)。若记B为至少有一男孩，则上述概率为3条件概率的计算公式规定如下：

例设袋中有7个黑球，3个白球，非还原摸取两次，如果已知第一次摸到白球，求第二次也摸到白球的概率。若改为还原摸取，结果如何？解

设A,B分别表示第一、二次摸到白球,则非还原:还原:4不难验证条件概率具有以下三个基本性质：

(1)非负性(2)规范性(3)可列可加性并由此推出条件概率的其它性质：

5二、乘法公式由条件概率的定义：即若P(B)>0,则

P(AB)=P(B)P(A|B)若已知P(B),P(A|B)时,可以反求P(AB).若P(A)>0,则

P(AB)=P(A)P(B|A)推广到三个事件：

P(A1A2…An)=P(A1)P(A2|A1)…P(An|A1A2…An-1)一般,与次序无关。乘法公式6例1

解7例2某厂产品的废品率为4%,而合格品在中有75%是一等品,求一等品率.解记A：合格品；B：一等品，即一等品率为72%.8

一场精彩的足球赛将要举行，5个球迷好不容易才搞到一张入场券.大家都想去,只好用抽签的方法来解决.入场券5张同样的卡片,只有一张上写有“入场券”,其余的什么也没写.将它们放在一起,洗匀,让5个人依次抽取.“先抽的人当然要比后抽的人抽到的机会大.”后抽比先抽的确吃亏吗？

9

到底谁说的对呢？让我们用概率论的知识来计算一下,每个人抽到“入场券”的概率到底有多大?“大家不必争先恐后，你们一个一个按次序来，谁抽到‘入场券’的机会都一样大.”“先抽的人当然要比后抽的人抽到的机会大。”10用Ai表示“第i个人抽到入场券”

，i＝1,2,3,4,5.显然，P(A1)=1/5.则表示“第i个人未抽到入场券”.因为若第2个人抽到了入场券，第1个人肯定没抽到.由于由乘法公式

=(4/5)(1/4)

同理，第3个人要抽到“入场券”，必须第1、第2个人都没有抽到.因此=1/5.11这就是有关抽签顺序问题的正确解答.

＝(4/5)(3/4)(1/3)=1/5.

继续做下去就会发现,每个人抽到“入场券”的概率都是1/5.抽签不必争先恐后.也就是说，12三、全概率公式与贝叶斯公式

全概率公式和贝叶斯公式主要用于计算比较复杂事件的概率,它们实质上是加法公式和乘法公式的综合运用.

综合运用加法公式P(A+B)=P(A)+P(B)A、B互斥乘法公式P(AB)=P(A)P(B|A)P(A)>013ΩA(即每次至多发生其中一个)

(即每次至少发生其中一个)

B1B2B3B4B6B7B5B8集合的划分14ΩAB1B2B3B4B6B7B5B815由概率的可加性及乘法公式,有

这个公式称为全概率公式，它是概率论的基本公式.

16全概率公式

利用全概率公式，可以把较复杂事件概率的计算问题，化为若干互不相容的较简单情形，分别求概率然后求和．

17例1市场上有甲、乙、丙三家工厂生产的同一品牌产品,已知三家工厂的市场占有率分别为30％、20％、50％,且三家工厂的次品率分别为3％、3％、1％，试求市场上该品牌产品的次品率.B1、B2、B3分别表示买到设A:买到一件次品；解加权平均一件甲厂、乙厂、丙厂的产品；18例2袋中有a个白球b个黑球，不还原摸球两次，问第二次摸出白球的概率为多少？解分别记A,B为第一次、第二次摸到白球，由全概率公式,

练习求第三次摸出白球的概率.19解分别记A,B,C为第一、二、三次摸到白球，由全概率公式,

练习求第三次摸出白球的概率.20在上面例1中，如买到一件次品，问它是甲厂生产的概率为多大？这就要用到贝叶斯公式.

在全概率公式的假定下，有

该公式于1763年由贝叶斯(Bayes)给出.它是在观察到事件A已发生的条件下，寻找导致A发生的每个原因Bk的概率.21所以这件商品最有可能是甲厂生产的.例3已知三家工厂的市场占有率分别为30％、20％、50％,次品率分别为3％、3％、1％.如果买了一件商品，发现是次品，问它是甲、乙、丙厂生产的概率分别为多少?

0.3,0.2,0.50.45,0.3,0.25解22全概率公式可看成“由原因推结果”,而贝叶斯公式的作用在于“由结果推原因”:现在一个“结果”A已经发生了，在众多可能的“原因”中,到底是哪一个导致了这一结果？

23

在不了解案情细节(事件A)之前，侦破人员根据过去的前科，对他们作案的可能性有一个估计，设为比如原来认为作案可能性较小的某丙，现在变成了重点嫌疑犯.例如，某地发生了一个案件，怀疑对象有甲、乙、丙三人.丙乙甲P(B1)P(B2)P(B3)但在知道案情细节后,这个估计就有了变化.P(B1|A)知道A发生后P(B2

|A)P(B3|A)偏小最大24贝叶斯公式在商业决策及其它企业管理学科中均有重要应用.有人依据贝叶斯公式的思想发展了一整套统计推断方法,叫作“贝叶斯统计”.可见贝叶斯公式的影响.25下面再举一个例子，说明贝叶斯公式在实际问题中的作