信息论与编码理论习题答案

第二章信息量和熵2.2八元编码系统，码长为3，第一个符号用于同步，每秒1000个码字，求它的信息速率。解：同步信息均相同，不含信息，因此每个码字的信息量为2=23=6bit因此，信息速率为61000=6000bit/s2.3掷一对无偏骰子，告诉你得到的总的点数为：(a)7;(b)12。问各得到多少信息量。解：(1)可能的组合为{1，6},{2，5},{3，4},{4，3},{5，2},{6，1}==得到的信息量===2.585bit(2)可能的唯一，为{6，6}=得到的信息量===5.17bit2.4经过充分洗牌后的一副扑克（52张），问：(a)任何一种特定的排列所给出的信息量是多少？(b)若从中抽取13张牌，所给出的点数都不相同时得到多少信息量？解：(a)=信息量===225.58bit(b)==信息量==13.208bit2.9随机掷3颗骰子，X表示第一颗骰子的结果，Y表示第一和第二颗骰子的点数之和，Z表示3颗骰子的点数之和，试求、、、、。解：令第一第二第三颗骰子的结果分别为，，，相互独立，则，，==6=2.585bit===2(36+18+12+9+)+6=3.2744bit=-=-[-]而=，所以=2-=1.8955bit或=-=+-而=，所以=2-=1.8955bit===2.585bit=+=1.8955+2.585=4.4805bit2.10设一个系统传送10个数字，0，1，…，9。奇数在传送过程中以0.5的概率错成另外一个奇数，其余正确接收，求收到一个数字平均得到的信息量。解：=-因为输入等概，由信道条件可知，即输出等概，则=10==-=0-=--=25+845==1bit=-=10-1=5=2.3219bit2.11令{}为一等概消息集，各消息相应被编成下述二元码字=0000，=0011，=0101，=0110，=1001，=1010，=1100，=1111通过转移概率为p的BSC传送。求：(a)接收到的第一个数字0与之间的互信息量。(b)接收到的前二个数字00与之间的互信息量。(c)接收到的前三个数字000与之间的互信息量。(d)接收到的前四个数字0000与之间的互信息量。解：即，，，=+====1+bit=====bit===3[1+]bit==bit2.12计算习题2.9中、、、、。解：根据题2.9分析=2(+++++++)=3.5993bit=-=-=1.0143bit=-=-=0.3249bit=-=-=1.0143bit=-=-=0.6894bit=-=-=0bit2.14对于任意概率事件集X,Y,Z，证明下述关系式成立(a)+，给出等号成立的条件(b)=+(c)证明：(b)=-=-=--=+(c)=-=[-][-]=-=当=，即X给定条件下，Y与Z相互独立时等号成立(a)上式(c)左右两边加上，可得++于是+2.28令概率空间，令Y是连续随机变量。已知条件概率密度为，求：(a)Y的概率密度(b)(c)若对Y做如下硬判决求，并对结果进行解释。解：(a)由已知，可得===+=(b)==2.5bit===2bit=-=0.5bit(c)由可得到V的分布律V-101p1/41/21/4再由可知V-101p(V|x=-1)1/21/20p(V|x=1)01/21/2bit=1bit==0.5bit2.29令和是同一事件集U上的两个概率分布，相应的熵分别为和。(a)对于，证明=+是概率分布(b)是相应于分布的熵，试证明+证明：(a)由于和是同一事件集U上的两个概率分布，于是0，0=1，=1又，则=+0=+=1因此，是概率分布。(b)==（引理2）=+

第三章信源编码——离散信源无失真编码3.1试证明长为的元等长码至多有个码字。证：=1\*GB3①在元码树上，第一点节点有个，第二级有QUOTED2，每个节点对应一个码字，若最长码有，则函数有==，此时，所有码字对应码树中的所有节点。=2\*GB3②码长为1的个；码长为2的个，…，码长为的个∴总共=个3.2设有一离散无记忆信源。若对其输出的长为100的事件序列中含有两个或者少于两个的序列提供不同的码字。(a)在等长编码下，求二元码的最短码长。(b)求错误概率（误组率）。解:(a)不含的序列1个长为100的序列中含有1个的序列QUOTEC1001=100个长为100的序列中含有2个的序列=4950个∴所需提供码的总数M=1+100+4950=5051于是采用二元等长编码=12.3，故取=13(b)当长度为100的序列中含有两个或更多QUOTEa1的时出现错误，因此错误概率为=-=3.3设有一离散无记忆信源，U=，其熵为。考察其长为的输出序列，当时满足下式(a)在=0.05，=0.1下求(b)在=，=下求(c)令是序列的集合，其中试求L=时情况(a)(b)下，T中元素个数的上下限。解：===0.81bitQUOTEa1a21434==-==0.471则根据契比雪夫大数定理(a)===1884(b)==4.71(c)由条件可知为典型序列，若设元素个数为，则根据定理其中，，可知(i)，，下边界：上边界：=故(ii)，，=故3.4对于有4字母的离散无记忆信源有两个码A和码B，参看题表。字母概率码A码Ba10.411a20.30110a30.2001100a40.100011000(a)各码是否满足异字头条件？是否为唯一可译码？(b)当收到1时得到多少关于字母a的信息？(c)当收到1时得到多少关于信源的平均信息？解：①码A是异头字码，而B为逗点码，都是唯一可译码。②码Abit码Bbit③码AU=｛｝==1.32bit码B=0bit（收到1后，只知道它是码字开头，不能得到关于U的信息。）3.5令离散无记忆信源(a)求最佳二元码,计算平均码长和编码效率。(b)求最佳三元码,计算平均码长和编码效率。解：(a)=3.234bit平均码长=3.26=效率(b)平均码长=2.11=3.344效率3.6令离散无记忆信源(a)求对U的最佳二元码、平均码长和编码效率。(b)求对U的最佳二元码、平均码长和编码效率。(c)求对U的最佳二元码、平均码长和编码效率。解：(a)=0.5×1+0.3×2+2×0.2=1.5bit(b)∵离散无记忆∴H(UU)=2H(U)=2.97bitp(aa)=0.25,p(aa)=0.15,p(aa)=0.1,p(aa)=0.15,p(aa)=0.09p(aa)=0.06,p(aa)=0.1,p(aa)=0.06,p(aa)=0.04==0.99(c)有关最佳二元类似略3.7令离散无记忆信源且0≤P(a)≤P(a)≤….≤P(a)<1。定义Q=,i>1，而Q1=0，今按下述方法进行二元编码。消息a的码字为实数Q的二元数字表示序列的截短（例如1/2的二元数字表示序列为1/2→10000…，1/4→0100…）,保留的截短序列长度n是大于或等于I(a)的最小整数。(a)对信源构造码。(b)证明上述编码法得到的码满足异字头条件，且平均码长满足H(U)≤≤H(U)+1。解：(a)符号QiLC040000400014001040011401003011210211(b)反证法证明异字头条件令k<k’，若是的字头，则又由可知，从而得这与假设是的字头（即）相矛盾，故满足异字头条件。由已知可得对不等号两边取概率平均可得即3.8扩展源DMC，(a)求对U的最佳二元码、平均码长和编码效率。(b)求对U的最佳二元码、平均码长和编码效率。(c)求对U的最佳二元码、平均码长和编码效率。(d)求对U的最佳二元码、平均码长和编码效率。解：(a)，=1，=1bitDMC信道，，(c)=2.944=0.981=98.85%(d)略3.9设离散无记忆信源试求其二元和三元Huffman编码。解：3.11设信源有K个等概的字母,其中K=,12。今用Huffman编码法进行二元编码。（a）是否存在有长度不为j或j+1的码字，为什么？（b）利用和j表示长为j+1的码字数目。（c）码的平均长度是多少？解：Huffman思想：将概率小的用长码，大的用短码，保证↓，当等概时，趋于等长码。a)对时，K=2j，则用长度为j码表示；当时，用K=2j+1，用长度为j+1码表示。平均码长最短，则当12时，则介于两者之间，即只存在j，j+1长的码字。b)设长为j的码字个数为Nj，长度为j+1的码字数目为Nj+1，根据二元Huffman编码思想（必定占满整个码树），即从而，c）=3.12设二元信源的字母概率为，。若信源输出序列为1011011110110111(a)对其进行算术编码并进行计算编码效率。(b)对其进行LZ编码并计算编码效率。解：(a)根据递推公式可得如下表格其中，F(1)=0，F(1)=，p(0)=，p(1)=101011011110110111从而C=(b)首先对信源序列进行分段：1011011110110111然后对其进行编码，编码字典如下所示段号短语ij编码11010001200000003111100114012101015111310111601141100170111611101bit3.13设DMS为U=，各a相应编成码字0、10、110和1110。试证明对足够长的信源输出序列，相应的码序列中0和1出现的概率相等。解：概率信源符号码字1/201/4101/81101/81110设信源序列长为N，则相应码字长为（条件是N要足够长）相应码序列中0出现的次数∴p(0)==p(1)=1-p(0)=3.14设有一DMS,U=采用如下表的串长编码法进行编码信源输出序列0串长度（或中间数字）输出二元码字101001…0000000100000000012…78000000010010…01111(a)求H(U)。(b)求对于每个中间数字相应的信源数字的平均长度。(c)求每个中间数字对应的平均长度。(d)说明码的唯一可译性。解：(a)bit由已知可得下表先验概率信源输出序列0串长度（或中间数字）输出二元码字0.11000000.0901100010.081001200100.07290001300110.065600001401000.059000001501010.05310000001601100.047800000001701110.430500000000181(b)bit(c)EQEQEQbit(d)异字码头第四章信道及信道容量4.1计算由下述转移概率矩阵给定的DMC的容量。(a)它是一对称信道，达到C需要输入等概，即=∴Cbit/符号(b)它是一对称信道∴bit/符号（c）它是分信道和的和信道由，可知bit/符号

4.3求图中DMC的容量及最佳输入分布（a）(b)解：（a）由图知发送符号1时等概率收到0,1,2,∴传对与传错概率完全相同，即不携带任何信息量，于是信道简化为二元纯删除信道bit/符号（b）由图知为准对称∴当输入等概，即时达到信道容量C此时∴=bit/符号N个相同的BSC级联如图。各信道的转移概率矩阵。令，且为已知。(a)求的表达式。(b)证明时有，且与取值无关，从而证明时的级联信道容量解：N个信道级联后BSC可表示为N个级联可以看成N-1个级联后与第N个级联∴同理可得从而(a)(b)因此与无关。由于与无关，因此，C=0。4.8一PCM语音通信系统，已知信号带宽W=4000Hz，采样频率为2W，且采用8级幅度量化，各级出现的概率为1/2，1/4，1/8，1/16，1/32，1/32，1/32，1/32。试求所需的信息速率.解：bit∴信息速率bit/s4.9在数字电视编码中，若每帧为500行，每行划分成600个像素，每个像素采用8电平量化，且每秒传送30帧时，试求所需的信息速率。解：每个像素信息量为3bit每秒传输30帧，即个像素∴bit/s4.10带宽为3kHZ，信噪比为30dB的电话系统，若传送时间为3分钟，试估计可能传送话音信息的数目。解：=30dB==1000则Rbit/s=29