一元一次方程应用题专题等积变形问题【东湖中学】

愿大家乘风破浪，在数学的海洋里自由翱翔驶向胜利的彼岸等积变形问题你还记得吗？名称图形正方形三角形梯形圆平行四边形用字母表示公式周长（C）面积（S）aahabhrbccd你会填下表中各图形的周长和面积公式吗？ahb你还记得吗？名称图形正方体长方体圆柱体圆锥体用字母表示公式体积（V）a你会填下表中各图形的体积公式吗？abcrhrh一块长、宽、高分别为4厘米、3厘米、2厘米的长方体橡皮泥，要用它来捏一个底面半径为1.5厘米的圆柱，它的高是多少？（精确到0.1厘米，π=3.14）分析：变形过程中体积保持不变，即长方形的体积=圆柱的体积1例如图，用直径为200毫米的圆钢，锻造一个长、宽、高分别为300毫米、300毫米和80毫米的长方体毛坯底板，应截取圆钢多少（圆柱的体积公式：体积=底面积高线长.计算时取3.14.要求结果误差不超过1毫米）？200

x80300300精讲例题80300300精讲例题200

x分析思考1：题目中有哪些已知量和未知量？它们之间有什么关系？如何设未知数？已知：圆钢直径（200mm）、长方体毛胚的长宽高（300mm、300mm、80mm）未知：圆钢的高相等关系：圆钢体积=长方体毛胚的体积设未知数：设应截取圆钢x毫米。一、分析题意，找出等量关系，分析题中数量及其关系，用字母（例如x）,表示问题里的未知数；80300300精讲例题200

x分析思考2：如何用字母（未知数x）表示圆钢的体积？圆钢的体积=（200/2)2x立方毫米.二、用含未知数x的一次式表示有关的量；80300300精讲例题200

x分析思考3：如何根据等量关系“圆钢体积=长方体毛胚的体积”列出方程？

根据等量关系列出方程，得：•（200/2)2•

x=300×300×80三、根据等量关系列出方程；80300300精讲例题200

x分析思考4：如何解这个方程？

•（200/2)2•

x=300×300×80化简的3.14x=720，故x≈230。四、解方程，求出未知数的值；80300300精讲例题200

x分析五、检验求得的值是否正确和符合实际情形，并写出答案.

答：略。1.将一个底面直径为10厘米，高为36厘米的“瘦长”形圆柱锻压成底面直径是20厘米的“矮胖”形圆柱，高变成了多少？锻压等量关系：变形前的体积=变形后的体积练习2.已知一圆柱形容器底面半径为0.5m,高线长为1.5m,里面盛有1m深的水，将底面半径为0.3m，高线长为0.5m的圆柱形铁块沉入水中，问容器内水面将升高多少?

1.5m5dm0.5m3dm练习分析：根据以上演示我们知道了它们的等量关系：水位上升部分的体积=小圆柱形铁块的体积圆柱形体积公式是_______,

水升高后的体积小铁块的体积（__________）（_________)

解：设水面将升高x米,根据题意得方程为：___________________

解这个方程：__________

答：______________________r2h0.52x0.32×0.50.52x=0.32×0.5x=0.18容器内水面将升高0.18m。小结：说说列方程解应用题的一半步骤：列一元一次方程解应用题的一般步骤：1、分析题意，找出等量关系，分析题中数量及其关系，用字母（例如x）,表示问题里的未知数.2、用字母的一次式表示有关的量.3、根据等量关系列出方程.4、解方程，求出未知数的值.5、检验求得的值是否正确和符合实际情形，并写出答案.用一根直径12厘米的圆柱形铅柱，铸造10只直径12厘米的铅球，问应截取多长的铅柱？（球的体积=π）2分析：变形过程中体积保持不变，即圆柱形铅柱的体积=10只铅球的体积解：设应截取X厘米长的铅柱。根据题意，列方程得解得经检验，符合题意。答：应截取80厘米长的铅柱。π··x＝210·

π·3在一个底面直径5厘米、高18厘米的圆柱形瓶内装满水，再将瓶内的水倒入一个底面直径6厘米、高10厘米的圆柱形玻璃杯中，能否完全装下？若装不下，那么瓶内水面还有多高？若未能装满，求杯内水面离杯口的距离？3圆柱形瓶内装满水，则水的体积为:

(立方厘米)圆柱形玻璃杯的容积为:(立方厘米)因为：答；圆柱形玻璃杯装不下，圆柱形瓶内仍剩余部分的水。解：所以可得到相等关系：

圆柱形瓶内剩余水的体积=圆柱形瓶内装满水的体积-玻璃杯里的水的体积在变形过程中水的总体积保持不变。分析：解：设圆柱形瓶内的水面还有x厘米高，则剩余水的体积为。根据题意，列方程得解得经检验，符合题意。答：不能完全装下，瓶内水面还有3.6厘米。例1如图,用直径为200ｍｍ的圆柱体钢，锻造一个长、宽、高分别为300mm、300mm和90mm的长方体毛坯，至少应截取多少毫米的圆柱体钢（计算时π取3.14，结果精确到1mm)?把圆柱体钢锻造成长方体毛坯，虽然形状发生改变，但锻造前后的体积是相等。圆柱体体积=长方体体积x分析φ20030090300

圆柱体体积=？

长方体体积=?解设应截取圆柱形钢Xmm.

根据题意，得方程

解方程，得x≈258答：应截取约258mm的圆柱体钢。例2、一个梯形下底比上底多2cm，高是5cm，面积是40cm2,求上底。解 设梯形的上底为xcm,则上底为（x+2）cm根据题意，得解方程，得x=7答：梯形的上底为7cm。梯形的面积公式是什么1、用一根长60m的绳子围成一个矩形，使它的长是宽的1.5倍，长和宽各是多少？动手做一做2、用直径为4厘米的圆柱体钢，铸造3个直径为2厘米，高为16厘米的圆柱形零件，问需要截取多长的圆柱形钢？动手做一做用底面20cm×20cm长方体容器（已注满水）向一个长、宽、高分别是16cm，10cm和5cm的长方体铁盒内倒水。当铁盒装满水时，长方体容器中水的高度下降多少？动手做一做如图，有A、B两个圆柱形容器，A容器的底面积是B容器底面积的2倍，B容器的壁高为22cm.已知A容器内装有高为10cm的水，若把这些水倒入B容器，水会溢出吗？AB动手做一做等积变形的应用题基本关系式是变形前的体积=变形后的体积:注意有关圆柱、圆锥、球等体积变换问题中,经常给的条件是直径