第五章 光的衍射

11光的衍射第五章25.1光的衍射引言衍射使屏障以后的空间光强分布，既区别于几何光学给出的光强分布，又区别于光波自由传播时的光强分布，衍射光强有了一种重新分布！光波在传播过程中遇到障碍物时，会偏离原来的传播方向弯入障碍物的几何影区内，并在障碍物后的观察屏上呈现光强的不均匀分布，这种现象称为光的衍射。1、光的衍射概论3各种光孔的衍射图样4用激光束观察单缝衍射现象衍射表现出光波的传播行为具有:1)、“限制与扩展”~衍射发散角；2)、缝宽与波长~~敏感因素3)、理论上给出:

5衍射程度被粗分为三档。当高亮度的激光束引入衍射实验以后。衍射现象很不明显，近乎直线传播；但边缘衍射效应仍不可忽视。衍射现象显著，出现衍射花样。衍射现象过于明显向散射过渡。具有实际意义与理论意义。6衍射是一切波动均具有的传播行为。与声波衍射、水波衍射相比，光波衍射不易观察到。原因两点： 一是可见光的波长极短， 二是普通光源是非相干的面光源。既要求光源是足够小的“点”，又要求在远处有足够的光强，这条件是苛刻的。 72、基尔霍夫标量衍射理论 光是一种电磁波，光通过小孔的衍射问题可以作为电磁场的边值问题来求解。这种方法的缺点是比较复杂。 实际所用的衍射理论都是一些近似的解法。本章主要介绍的是基尔霍夫标量衍射理论（也是一种近似理论）。可以解决多数的光学仪器中的衍射问题。其适用条件是：傍轴、自然光！这在实验上是不难被满足的。83、衍射系统及其分类前场照明空间,照明波一般较简单，后场衍射空间,衍射波一般较复杂。理论目标是99衍射的分类104、衍射巴比涅原理反映互补屏的两个衍射场之关系巴比涅原理中的一对互补屏在衍射积分式中，积分区间(光孔)意义:一旦求得,则其互补屏之衍射场就容易地获得，因为自由场

通常显而易见。11巴比涅原理的实验显示(a)、(b)是一对互补屏，(c)、(d)是相应的夫琅禾费衍射图样125.2惠更斯-菲涅耳原理一．惠更斯-菲涅耳原理及其数学表达式场点的扰动可被视为，波前上所有次波源所贡献的次级扰动的相干叠加。------次波相千叠加原理。1313光源S在P点产生的光振动，应等于其波面Σ上各点发出次波在P点的光振动的叠加。Q点处的元波面dσ

发出的子波在P点产生的复振幅P点总的复振幅为：1414基于物理上的若干基本考虑，与以下因素有关：引入常数c,1515菲涅尔假设且有（1）人为假设了k(θ),未给出k(θ)和c的具体形式;（2）假设当θ≥π/2时，k(θ)＝0。事实证明，该假设不正确;惠更斯—菲涅耳原理的缺陷165.3菲涅耳-基尔霍夫衍射公式

基尔霍夫指从亥姆霍兹方程方程出发，用格林公式，在k.r>>1近似下,给出了无源空间边值定解的积分表达式：基尔霍夫的新贡献是：明确了方向因子给出了比例系数指出波前(Σ)面并不限于等相面，凡是隔离实在的点光源与场点的任意闭合面，都可以作为衍射积分式中的积分面。1717基尔霍夫边界条件（假设)闭合面对衍射场的贡献:1818衍射积分公式简化为：菲涅耳原理的实质：无源空间边值定解，即波前决定一切，决定观测结果;其推论：当再现或重构相同的波前，必将再现相同的观测结果，即使原物不复存在。------

全息术的思想基础195.3．菲涅耳衍射和夫琅禾费衍射

衍射积分公式计算比较复杂，为了能够详细讨论衍射现象，在计算的过程做一些近似以便简化计算。20（一）傍轴近似（初步近似）当孔径范围及观察范围远小于两者之间距的情况。单色平面波垂直入射时：（1）cos(n,r)=cos（θ）≈1,因此倾斜因子即近似地把倾斜因子看作常量，不考虑它对衍射的影响2121（2）同时取r≈z1，认为r变化对振幅影响可略，但r对相位的影响不可略。取上面两个近似后有：

强调:不同的光孔形状（Σ）、不同的瞳函数，将产生不同的衍射场，而积分核

总是这个形式。2222（二）菲涅耳近似和夫琅和费近似

要对相位因子指数中的r进行积分是比较困难，因此必须做更精确的近似来进行简化如右图在衍射开孔平面和观察屏平面建立坐标系，有：应用二项式展开，得23当z1大到使第四项以后各项对位相k·r的作用远小于π时，忽略第四项以后的高次项：这一近似即为菲涅耳近似。观察屏位于这一近似区域内所观察到的衍射现象即为菲涅耳衍射，此时观察屏所处的区域为菲涅耳衍射区。近似后菲涅耳-基尔霍夫衍射公式为：2424在孔径外的复振幅为0则上式可写为：——菲涅耳衍射公式

2525如进一步增大z1，将观察屏移到离衍射开孔更远的地方，菲涅尔衍射公式中的第四项对位相的贡献远小于π时,忽略第四项，则有这一近似称为夫琅和费近似，在此条件下看到的衍射现象称为夫琅和费衍射，观察屏所处的区域称为夫琅和费衍射区——夫琅和费衍射公式

夫琅和费衍射公式要比菲涅耳衍射公式简单。实际应用中，对夫琅和费衍射可直接由以上公式进行计算26例：不透明屏上圆孔的直径为2cm，受波长为600nm的平行光照射，试估算菲涅尔衍射区和夫琅禾费衍射区起点到圆孔的距离。解：为满足菲涅尔近似的成立条件，要求中的第5项由于菲涅尔衍射光斑只是略有扩大，取即27为满足夫琅禾费衍射的成立条件，要求取即菲涅尔衍射和夫琅禾费衍射的观察28285.4矩孔和单缝的夫琅和费衍射一、装置与实验现象夫琅和费衍射实验装置

S：单色点光源L1、

L2：透镜平行光入射，焦点怎么偏离了P0点？2929衍射开孔平面上光的分布均匀则透镜紧贴矩孔称为二维衍射角

P点的复振幅可写为30

是观察屏中心点P0处的光场复振幅P点的复振幅为：3131P点的光强为：若令：夫琅禾费矩孔衍射强度分布公式光强可表示为：式中I0是P0点的光强度：3232一、沿x轴上点的光强度分布，此时y=0，光强度公式变为分别讨论x轴和y轴上得光强分布给出单缝衍射图样相对光强分布情况!实验模型即是：矩孔的一个方向的尺寸比另一个方向大很多如a<<b;只在x方向有亮暗变化的衍射图样

光强分布情况33衍射图样的主要特征：时，有主极大：

1.当“零级衍射峰”其位置-----正是几何光学象点位置等光程方位34处有极小值：2.当对应时出现极小值！如何理解衍射公式中asinθ=mλ（m=±1;=±2…)时出现暗纹。而干涉中公式中asinθ=mλ（m=0；±1;=±2…)时出现亮纹？3535即：各级明条纹的光强比为：表明：光强集中在中央零级明条纹处。注意：次极大值位置不在两暗纹的中间缝宽a越大，衍射光光强越弱；远离中心x越大，衍射光光强很越弱；3.相邻两个暗点间存在一个极大值。3636取，即可得相邻暗条纹的角宽度由光强极小值的表达式微分得：衍射角很小时：4.半角宽度衍射反比律37不限于单缝、矩孔，一般限制波前的光孔，某方向线度为ρ，则与该方向相应的衍射发散角Δθ，可由反比公式估算。衍射反比律公式可见：a↓,λ

↑→Δθ

↑衍射效应更加明显“半角宽度”≈“半值角宽度”≈“衍射发散角”38反比律指明了几何光学的限度即衍射强度分布被收缩为一个“点”；几何光学的直线传播！！所以，可以将几何光学看成是波动光学在波长趋于零时的极限(行为)。反比律蕴含放大原理→“衍射放大”→提供了一种种测定“微结构”新技术。395.单缝宽度的影响。表现为两方面:一是影响半角宽度。比如，缝宽a扩大为2a，

压缩为

;二是影响零级衍射峰值I0，这是因为峰值即光强参考值I0，正比于面积(a×b)的平方，比如，缝宽扩大为2a，则I0增强为4I0.406.波长的影响.表现为两方面，一是影响半角宽度Δθ0

，长波对应的Δθ0大，亦即长波衍射效应更强烈;二是影响衍射峰值I0，这是因为峰值I0∝1/λ2

。因此，红光与蓝光相比较，红光衍射的半角宽度大，且红光衍射峰低。思考题：白光照射单缝发生衍射时像点依然是白光?根据衍射理论，衍射分光，不仅改变了非像点处的光谱成分，也改变了像点处的光谱成分。4141（2）同时取r≈z1，认为r变化对振幅影响可略，但r对相位的影响不可略。取上面两个近似后有：

强调:不同的光孔形状（Σ）、不同的瞳函数，将产生不同的衍射场，而积分核

总是这个形式。4242（二）菲涅耳近似和夫琅和费近似

要对相位因子指数中的r进行积分是比较困难，因此必须做更精确的近似来进行简化如右图在衍射开孔平面和观察屏平面建立坐标系，有：应用二项式展开，得43当z1大到使第四项以后各项对位相k·r的作用远小于π时，忽略第四项以后的高次项：这一近似即为菲涅耳近似。观察屏位于这一近似区域内所观察到的衍射现象即为菲涅耳衍射，此时观察屏所处的区域为菲涅耳衍射区。近似后菲涅耳-基尔霍夫衍射公式为：4444在孔径外的复振幅为0则上式可写为：——菲涅耳衍射公式

4545如进一步增大z1，将观察屏移到离衍射开孔更远的地方，菲涅尔衍射公式中的第四项对位相的贡献远小于π时,忽略第四项，则有这一近似称为夫琅和费近似，在此条件下看到的衍射现象称为夫琅和费衍射，观察屏所处的区域称为夫琅和费衍射区——夫琅和费衍射公式

夫琅和费衍射公式要比菲涅耳衍射公式简单。实际应用中，对夫琅和费衍射可直接由以上公式进行计算46例：不透明屏上圆孔的直径为2cm，受波长为600nm的平行光照射，试估算菲涅尔衍射区和夫琅禾费衍射区起点到圆孔的距离。解：为满足菲涅尔近似的成立条件，要求中的第5项由于菲涅尔衍射光斑只是略有扩大，取即47为满足夫琅禾费衍射的成立条件，要求取即菲涅尔衍射和夫琅禾费衍射的观察48485.4矩孔和单缝的夫琅和费衍射一、装置与实验现象夫琅和费衍射实验装置

S：单色点光源L1、

L2：透镜平行光入射，焦点怎么偏离了P0点？4949衍射开孔平面上光的分布均匀则透镜紧贴矩孔称为二维衍射角

P点的复振幅可写为50

是观察屏中心点P0处的光场复振幅P点的复振幅为：5151P点的光强为：若令：夫琅禾费矩孔衍射强度分布公式光强可表示为：式中I0是P0点的光强度：5252一、沿x轴上点的光强度分布，此时y=0，光强度公式变为分别讨论x轴和y轴上得光强分布给出单缝衍射图样相对光强分布情况!实验模型即是：矩孔的一个方向的尺寸比另一个方向大很多如a<<b;只在x方向有亮暗变化的衍射图样

光强分布情况53衍射图样的主要特征：时，有主极大：

1.当“零级衍射峰”其位置-----正是几何光学象点位置等光程方位54处有极小值：2.当对应时出现极小值！如何理解衍射公式中asinθ=mλ（m=±1;=±2…)时出现暗纹。而干涉中公式中asinθ=mλ（m=0；±1;=±2…)时出现亮纹？5555即：各级明条纹的光强比为：表明：光强集中在中央零级明条纹处。注意：次极大值位置不在两暗纹的中间缝宽a越大，衍射光光强越弱；远离中心x越大，衍射光光强很越弱；3.相邻两个暗点间存在一个极大值。5656取，即可得相邻暗条纹的角宽度由光强极小值的表达式微分得：衍射角很小时：4.半角宽度衍射反比律57不限于单缝、矩孔，一般限制波前的光孔，某方向线度为ρ，则与该方向相应的衍射发散角Δθ，可由反比公式估算。衍射反比律公式可见：a↓,λ

↑→Δθ

↑衍射效应更加明显“半角宽度”≈“半值角宽度”≈“衍射发散角”58反比律指明了几何光学的限度即衍射强度分布被收缩为一个“点”；几何光学的直线传播！！所以，可以将几何光学看成是波动光学在波长趋于零时的极限(行为)。反比律蕴含放大原理→“衍射放大”→提供了一种种测定“微结构”新技术。595.单缝宽度的影响。表现为两方面:一是影响半角宽度。比如，缝宽a扩大为2a，

压缩为

;二是影响零级衍射峰值I0，这是因为峰值即光强参考值I0，正比于面积(a×b)的平方，比如，缝宽扩大为2a，则I0增强为4I0.606.波长的影响.表现为两方面，一是影响半角宽度Δθ0

，长波对应的Δθ0大，亦即长波衍射效应更强烈;二是影响衍射峰值I0，这是因为峰值I0∝1/λ2

。因此，红光与蓝光相比较，红光衍射的半角宽度大，且红光衍射峰低。思考题：白光照射单缝发生衍射时像点依然是白光?根据衍射理论，衍射分光，不仅改变了非像点处的光谱成分，也改变了像点处的光谱成分。61式中，D/f是照相物镜的相对孔径。可见，照相物镜的相对孔径愈大，分辨本领愈高。例如，对于D/f=1∶3.5的常用照相物镜，若λ=0.55μm，则N=1490×1/3.5=425(条/mm)。作为照相系统总分辨本领的要求来说，感光底片的分辨本领应大于或等于物镜的分辨本领。例如，对于上面的例子，应选择分辨本领大于425条/mm的底片。6262例：高空侦察机离地面2×104m,如果它携带的照相机能分辨地面相距10cm的两点，照相机物镜至少有多大？（设感光波长为500nm），若此照相物镜的焦距为500mm,为充分利用物镜的分辨能力，应选用多大分辨率的底片？

（2）照相物镜的分辨率为

应使用分辨率大于400线mm－1的底片解：（1）设物镜口径为D，地面两点对照相机所成夹角为α

6363一、位移-相移定理

单缝夫琅禾费衍射

屏上复振幅分布：

5.6夫琅禾费多缝衍射

沿y1方向的衍射效应可忽略64狭缝整体沿x正方向平移距离d：忽略沿y1方向的衍射效应6565位移一相移定理在一个夫琅禾费衍射系统中，当狭缝移动一个位移时，其夫琅禾费衍射场将响应一个相移：注意到：所以：与平板多光束干涉相类比！66abdθθθLP0Pa：透光缝宽度、b：档光部分宽度。d=a+b为相邻两缝的间距。二、多缝夫琅禾费衍射强度分布公式

因此P点的复振幅为：67因此P点的光强度为：I0：单元衍射零级(像点)光强；：单缝衍射因子

：多缝干涉因子

多缝衍射图样:单缝衍射与N条缝多光束干涉图样的组合。

单缝衍射因子只与单缝本身的性质有关，而多光束干涉因子则因源于狭缝的周期性排列，与单缝本身性质无关。68682.强度分布曲线和照片69夫琅禾费单缝和五种多缝的衍射图样照片(N分别等于1,2,3,5,6,20)。703、多缝干涉因子

(1)主极强位置(方位角)(2)此时I=N2×I0

即N2倍于单缝衍射在该处的强度。7171(3)．多缝干涉极小值等于的π整数倍而不是π的整数倍时或相邻两个极小之间的角距离为：主极强的半角宽度(体现“锐度”)!7272在两个主极大之间，有N-2个次极大，次极大的位置可以通过对光强表达式求极值定出例如在m=0到m=1级主极大之间次极大出现在：共N-2个次极大。次极大的强度要比主极大要弱得多(4)．多缝衍射次极大

共N-1个暗点，N-2次极大。733、单缝衍射因子

影响主极强峰值(高度)------决定光功率在各主极强之间的分配;但不影响主极强的位置与半角宽度。某些情况下，可能出现“缺极”。74当各单缝衍射暗纹满足：而多缝干涉明纹满足：多缝干涉的m级极大处正好是单缝衍射的m'级极小处，所以m的整倍数干涉明条纹将不出现，称为缺级现象。∴当为整数时：75干涉主极大角间距与干涉级次无关

干涉主极大角宽度随N值增加，主极大角间距不变，但是主极大角宽度将越小，条纹越细！

36衍射中央亮纹角宽度衍射次极大角宽度76有关多光束干涉和多封衍射的思考77多光束干涉相邻两束反射光的光程差相邻两束光到达P点的位相差为相干叠加形决定P点的明暗：入射光是平面波反射光是平面波78多缝衍射单缝衍射的振幅不是常数，振幅与空间位置有关，对应的光能量在空间进行了重新分布。入射光是平面波单缝衍射光波不是平面波，而是：79位移一相移定理狭缝整体沿x正方向平移距离d，对应点的光程差为：对应点的位相差为：80多个狭缝衍射场在p点的扰动的叠加，决定P点光强的明暗。结论：多缝衍射在本质上可以认为是多光束干涉，只是参与干涉的光束性质不同而已。这点，在FB仪和光栅光谱可以分光具有相似性。81大量平行、等宽、等距狭缝排列起来形成的光学元件称为光栅。光栅主要用于光谱分析，测量光的波长、光的强度分布等。ad透射式光栅ad反射式光栅5.9衍射光栅含N个全同单元的周期结构-----既“规则”，又“有序”。82光栅周期d单元密度：1/d~100/mm，600/mm，1200/mm，有效宽度：D~5cm,10cm,高达30cm,含单元总数N光栅类型多种:透射式光栅与反射式光栅振幅型光栅与相位型光栅一维光栅、二维光栅与三维光栅83二、光栅方程光栅方程由光栅方程可知，对于光栅常数d一定的光栅，不同波长的光的同级光谱线对应的衍射角θ

角不同，因此，不同波长的光在空间位置上会分开，这是光栅分光的原理。光栅方程意义：给定由光栅的多缝衍射形成的衍射图样中主极大亮线（光谱线）的形成条件。光栅方程的实质：由光程差决定的干涉加强条件。84图(a)入射光正射光栅。此时，相邻两缝衍射光束间的光程差为dsin，光栅方程：dsin=m--两束光干涉相长的条件;

图(b)入射光以I角斜射，衍射光与入射光在法线的同侧时。两相邻缝衍射光束间的光程差为：d(sini+sin)。故对应的光栅方程为：d(sin+sini)=m，m=0，±1，±2…图(c)入射光以0角斜射，衍射光与入射光在法线的异侧时。两相邻缝衍射光束间的光程差为d(sini-sin)。故对应的光栅方程为：d(sini-sin)=m，m=0，±1，±2…

光栅方程的普通形式：d(sin±sini)=m，m=0，±1，±2…其中：当入射光和衍射光位于光栅平面法线同侧时，取正号。当入射光和衍射光位于光栅平面法线异侧时，取负号。

i

i

法线d(a)(b)(c)不同入射情况下的光栅方程(透射)反射光栅同样适用85对应于不同波长的各级亮线称为光栅谱线，不同波长光谱线的分开程度随着衍射级次的增大而增大，对于同一衍射级次而言，波长大者，θ大，波长小者，θ小。每块光栅在入射角i给定的情况下，最大光谱级为可见，i≠0时，正/负级光谱的级数是不相等的。--光栅方程86三、光栅光谱明条纹衍射角与入射光波长有关。所以：复色光入射时，除零级条纹外，其余各级条纹都随波长不同而散开，形成光栅衍射光谱。一每厘米有4000条刻线的光栅，以白光垂直入射。由(紫端)θV(红端)θR中央明纹001级光谱9.2°17.7°2级光谱18.7°37.4°3级光谱28.7°65.8°4级光谱39.8°>90°0°10°20°30°40°50°60°70°80°90°-90°-80°-70°-60°-50°-40°-30°-20°-10°k=0k=1k=2k=3k=4k=-1k=-2k=-3k=-487色散型光谱仪 核心元件光栅或棱镜， 整机含:入射狭缝，出射狭缝;光路转换(产生、接收平行光)，;转动鼓轮，读数系统;输出响应—光电记录或胶片摄谱。光谱仪:用于分析光谱、显示光谱，摄谱仪:用于挑选波长、单色仪88三、光栅光谱仪器的性能指标角色散本领定义：m级,波长λ附近，单位波长差响应的角间隔

即：光栅周期d越小，色散率越大；光栅周期d确定时，m或

θ

越大，色散率越大；m~1,289光栅的色散90线色散本领摄谱仪，直接关心的是线色散 ----涉及记录介质的空间分辨率。显然，在同祥的角色散条件下，反射镜的焦距越长，则线色散越大。定义：

由图可见得：

9192色分辨本领可分辨的最小波长间隔δλm，不仅与峰值(两个)角间隔有关，也与峰值自身的角宽度Δθ

有关。瑞利判据:93令：而定义，色分辨本领得可见：，R与d无关。通常m=1~3,刻痕数N很大，故R值较大，分辨本领好。

FP仪的N值不高，但是m值比较大，因此也可以得到较好的分本本领。94数量级估计---设D~10cm，1/d~600/mm

，有N=6×104，对于1级光谱：R=6×104若分析波段在λ~600nm附近，则这当然远不如FP分光仪精细，但光栅光谱仪的“量程大”，适于测定“宽谱线轮廓”。95可由两个相邻的级次能够重叠的谱线波长差求出：一个光谱级中不被其他级次光谱重叠的波段称为自由光谱范围。即:光栅的自由光谱范围与光谱的衍射级次成反比;此值与光栅本身无关，同一级次自由光谱范围相同。光栅的m值一般比较小，因此自由光谱范围较FP仪大

光栅的叠级和自由光谱范围9697透射式多缝光栅的缺点：(1)

有多序光谱，既分散能量，又限制“量程”。(2)、各单元“衍射零级”之间等光程，因而： 该方向成为元间“干涉零级”；总是无色散 ----“能量浪费”。闪耀光栅设法只产生一序光谱;

分离“单元衍射零级”与“元间干涉零级”。闪耀光栅可为之。有两种照明方式。98dγ2γ2γ2γ（1）入射光束⊥光栅宏观平面可见，沿单元零级方向，相邻单元间的光程差99100dγγ101最后说明：闪耀光栅仅有1序光谱，这是因为：d≈a1025.10圆孔和圆屏的菲涅耳衍射

1、衍射图样及其特征2、半波带法

半波带分割-------一种特殊的编组方式

半波带的贡献-------相位关系和振福关系

矢量图解

对圆孔Fresnel衍射的说明

半波带的半径ρk公式3.细致的矢量图解法螺旋式曲线用于非整数个半波带的情形对圆屏Fresnel衍射的说明无透镜成象术—圆屏衍射成象1031、衍射图样及其特征(a)圆孔菲涅耳衍射光波长λ~600nm；衍射现象显著，当ρ~mm,R.b~m,1m-10m.(b)圆屏菲涅耳衍射今人惊奇的是，对于圆屏衍射不论ρ变，或b变，I(p)总是一个亮斑!104圆孔由小变大的菲涅尔衍射图1052、半波带法对波前次波源群的一种特殊编组方式半波带面积依次为：A1,A2,A3,……

Aj……对观察点P0贡献的次波为P0点的复振幅：半波带分割法相位关系的分析相邻两带的子波到达P0点的光程差均为λ/2，相位差为π。106振幅关系的分析MM'θj球冠面积计算第j个半波带的面积为：任一半波带的面积和它到P点的距离之比是与j无关的常数！根据半波带画法可知：

，项可略去又因为107108振幅随j增大，按（1+cosθj)单调减小，但变化缓慢。结论其“慢变”数量级:104个半波带所贡献的振幅仅仅比第1个半波带所贡献的振幅少0.15%。109画出矢量图(表达相干叠加)110振幅随j增大变化缓慢，近似有：当露出的半波带数nn为偶数n为奇数111n为偶数n为奇数n数值比较大时圆孔衍射的现象：（1）若逐渐开大或缩小圆孔，在P0点将可以看到明暗交替的变化。（2）若圆孔大小和光波波长一定，只将观察屏沿SP0连线移动，都会使圆孔所含半波带数j连续变化，从而在P0点产生明暗交替的变化，即有时中心为亮点（j为奇数），有时又为暗点（j为偶数）1121122．在R和r0一定时，露出的波带数与圆孔的半径有关，即孔大露出的波带数多，衍射效应不显著；孔小，露出的波带数少，衍射效应显著。当圆孔趋于无限大时，倾斜因子为0，则第j个波带必对应于此时P0点的振幅为：当孔很大时，P0点光强不变，这正是光的直线传播规律所预期的结果；光的直线传播规律是透光孔径较大情况下的一种近似球面波自由传播时整个波面上各次波源在P点产生的合振动振幅等于第一半波带在该点产生振幅之半，强度为1/4。113113由于r0>>hj,可略去hj2

MM'θj

开孔半径ρj写成“对称形式”：114反过来算，当开孔半径ρj一定时，包含多少个半波带?可见，屏幕由近及远r0增加，则j减小。可解释:中心衍射强度，沿纵向呈现“周期性”变化;远至仅含“一个半波带”以后，其强度单调下降。115细致的矢量图解每个半波带被细分为环带，许多小矢量头尾衔接，形成半个正多边形，其极限过渡为半圆。于是，整个波前次波源群体所贡献的扰动小矢量，形成一个个半径极其缓慢收缩的螺旋式曲线--用以求得非整数个半波带(圆孔）时衍射强度I(p）。1161163.将半波带进一步细分成面积更小的环状波带元，则可利用振动的矢量合成法来分析圆孔的菲涅耳衍射第一半波带分成N个子带将每一个半波带分为更小的波带元，各波带元传到P0点的振幅可认为是相等的第一半波带中心到边缘各相邻子带对应相同的光程差和相同的相位差117117将第二个半波带也细分成无穷多个环状波带元，可得到另一圆弧，考虑倾斜因子，可知第二个半波带的合振幅a2<a1由于第一波带元和最后一个波带元在P0点引起的振动位相差为π波带元在P0点引起振动合振幅a1=OB1如细分的波带元为无穷多个，则各分振动矢量成一园弧118118将所有半波带都细分成环状波带元，得如下图所示的多个圆环AP=OB1或OB2，OB3…，此时在P0点光强取极大值AP=OC1或OC2，OC3…，在P0点此时光强取极小值如无遮挡物或圆孔为无穷大，则图中的圆弧结束于图中O‘点当j为奇数时当j为偶数时1191194．轴外点的衍射对于观察屏上轴外任一点P，其振幅或光强的大小也可以用菲涅耳半波带法来分析。这时菲涅耳半波带的中心不在O点，而在M0点,这时，半波带如图所示当P由P0向外逐步移动时，也会产生明暗交替的变化。考虑到整个图面的对称性，在观察屏上可呈现一组以P0为中心的同心圆环P点的振幅不仅取决于半波带的数目，它还与各个带露出面积的大小有关。120