灰色关联度(讲稿)

灰色系统模型客观世界既是物质的世界，也是信息的世界，社会经济活动一刻也离不开信息。研究社会经济系统会常常遇到信息不完备的情况。1945年，美国控制论专家维纳（N.Wiener)曾用“黑箱”称呼内部信息未知的对象。此后，人们常用颜色深浅表示信息完备的程度，将系统分为三类。信息完全明确的系统称为白色系统，信息完全不明确的系统称为黑色系统，信息部分明确部分不明确的系统称为灰色系统（GreySystem)。1982年，邓聚龙教授发表了灰色系统理论的论文《灰色系统的控制问题》。随着灰色系统理论研究的不断深入和发展，已经在许多领域取得不少应用成果。因素分析的基本方法过去采用的主要方法是统计方法。如回归分析（包括线性回归、多因素回归、单因素回归、逐步回归、非逐步回归）。回归分析虽然是一种较通用的方法，但一般认为回归分析有下述不足：（1）要求大量数据，数据量少难以找到规律；（2）要求分布是线性的，或是指数的，或是对数（3）计算工作量大；（4）有可能出现反常的现象，使正相关变成负相关，以致正确现象受到歪曲或颠倒。1、灰色关联分析方法灰色系统考虑到上述种种弊病和不足，采用关联分析的方法来作系统分析。作为一个发展变化的系统，关联度分析事实上是动态过程发展态势的量化分析。说得确切一点，是发展态势的量化比较分析、发展态势的比较，也就是系统历年来有关统计数据列几何关系的比较。考虑有三个数据列，一个是某地区的年总收入，一个是某地区的养猪收入，一个是某地区的养兔收入。总收入养猪养兔从图中可以观察到，总收入曲线与养猪曲线趋势较接近，而与养兔曲线差距较大，因此可以认为该地区对收入影响较大的是养猪而不是养兔。这种因素分析的比较，实质上是几种曲线间几何形状的分析比较，即认为几何形状越接近，则发展变化态势越接近，关联程度越大。因此按这种观点作因素分析，至少不会出现异常的，将正相关当作负相关的情况。此外对数据量也没有太高的要求，即数据量多或数据量少都可以分析。（1）关联系数作关联分析要指定参考数据列和待比较的数据列参考数据列表示为待比较的数据列也称为母序列也称为子序列灰色关联分析(GRA)方法

灰色关联分析是一种多因素统计分析方法,它是以各因素的样本数据为依据用灰色联度来描述因素间关系的强弱、大小和次序的.如果样本数据列反映出两因素变化的态势(方向、大小、速度等)基本一致,则它们之间的关联度较大；反之关联度较小.

与其他传统的多因素分析方法相比,灰色关联分析对数据要求较低且计算量小,便于广泛应用.GRA分析的核心是计算关联度,下面通过一个例子来说明计算关联度的思路和方法.

表6-1是某地区2000-2005年国内生产总值的统计资料.现在提出这样的问题：该地区三次产业中,哪一产业的变化与该地区国内生产总值(GDP)的变化态势更一致？也就是哪一产业与GDP的关联度最大呢？年份国内生产总值第一产业第二产业第三产业200019883868397632001206140884680820022335422960953200327504821258101020043356511157712682005380656118931352表6-1某地区国内生产总值统计资料(百万元)

这样的问题很有实际意义,一个自然的想法就是分别将三次产业产值的时间序列与GDP的时间序列进行比较,为了能够比较,先对各序列进行无量纲化,这里采用均值化法.各序列的均值分别为：2716,461.5,1228.83,1025.67,上表中每列数据除以其均值可得均值化序列(如表6-2所示)年份tGDP

x0(t)一产业x1(t)二产业x2(t)三产业x3(t)20000.73200.83640.68280.744020010.75880.88190.68850.787820020.85970.91440.78120.929120031.01251.04441.02370.984720041.23561.10731.28331.236320051.40131.21561.54051.3182两序列变化的态势是表现在其对应点的间距上.如果各对应点间距均较小,则两序列变化态势的一致性强,否则,一致性弱.分别计算各产业产值与GDP在对应期的间距(绝对差值),结果见表6-3所示.年份t20000.10440.04920.011920010.12310.07040.028920020.05470.07850.069420030.03190.01120.027820040.12840.04770.000620050.18570.13920.0832接下来应该是三个绝对值序列分别求平均再进行比较,就可以解决问题了.但仔细观察表6-3中的数据会发现绝对差值数据序列的数据间存在着较大的数量级差异(最大为0.1587,最小的为0.0006,相差300多倍),不能直接进行综合,还需要对其进行一次规范化.设和分别表示表6-3中绝对值的最大数和最小数，则因而由于在一般情况下,可能为零(即某个为零)故将上式改进为显然越大,说明两序列(xi和x0)的变化态势一致性弱,反之,一致性强,因此可考虑将取倒反向,为了规范化后数据在[0,1]内,可考虑在0和1之间取值.上式可变形为称为序列xi和序列x0在第t期的灰色关联系数(或简称为关联系数).由(6.1)式可以看出,取值的大小可以控制对数据转化的影响,取较小的值,可以提高关联系数间差异的显著性,因而称为分辨系数.利用(6.1)对表6-3中绝对差值进行规范化,取

结果见表6-4,以计算为例：同样可计算出表6-4中其余关联系数.年份t20000.41910.60670.868720010.37960.51780.725720020.58080.49030.521320030.70550.87610.733820040.36960.61411.00020050.28810.35100.4758表6-4最后分别对各产业与GDP的关联系数序列求算术平均可得r0i称为序列x0和xi(i=1,2,3)的灰色关联度.由于因而第三产业产值与GDP的关联度最大,其次是第二产业、第一产业.可以看出,灰色关联分析需要经过以下几个步骤：1.确定分析序列在对研究问题定性分析的基础上,确定一个因变量因素和多个自变量因素.设因变量数据构成参考序列,各自变量数据构成比较序列n+1个数据序列成成如下矩阵：其中N为变量序列的长度.一般情况下,原始变量序列具有不同的量纲或数量级,为了保证分析结果的可靠性,需要对变量序列进行无量纲化.无量纲化后各因素序列形成如下矩阵：2.对变量序列进行无量纲化常用的无量纲化方法有均值化法(6.4)、初值化法(6.5)等.计算(6.3)中第一列(参考序列)与其余各列(比较序列)对应期的绝对差值,形成如下绝对差值矩阵：3.求差序列、最大差和最小差其中绝对差值阵中最大数和最小数即为最大差和最小差：对绝对差值阵中数据作如下变换：4.计算关联系数得到关联系数矩阵：式中分辨系数在(0,1)内取值,一般情况下依据(6.10)中数据情况多在0.1至0.5取值,越小越能提高关联系数间的差异.关联系数是不超过1的正数,越小,越大,它反映第i个比较序列Xi与参考序列X0在第k个期关联程度.比较序列Xi与参考序列X0的关联程度是通过N个关联系数(即(6