棱柱、棱锥、棱台和球的表面积

1.1.6棱柱、棱锥、棱台和球的表面积

一．直棱柱的表面积2.直棱柱的表面积就等于侧面积与上、下底面面积的和.1．直棱柱的侧面积等于它的底面周长c和高h的乘积，即S直棱柱侧=c·h.二.正棱锥的表面积正棱锥的侧面积等于它的底面周长和斜高乘积的一半，即S正棱锥侧=na·h’.

或S正棱锥侧=c·h’.其中a为底面正多边形的边长，底面周长为c，斜高为h’。2．正棱锥的表面积等于正棱锥的侧面积与底面积之和.三.正棱台的表面积1．正棱台的侧面积是S=(c+c’)·h’，其中上底面的周长为c’，下底面的周长为c，斜高为h’.3．正棱台的表面积等于它的侧面积与底面积之和。四.圆柱、圆锥、圆台的侧面积（1）将圆柱沿一条母线剪开后，展开图是一个矩形，这个矩形的一边为母线，另一边为圆柱底面圆的圆周长，设圆柱底面半径为r，母线长为l，则侧面积S圆柱侧=2πrl.O`O（2）将圆锥沿一条母线剪开，展开在一个平面上，其展开图是一个扇形，扇形的半径为圆锥的母线，扇形的弧是圆锥底面圆的圆周，S圆锥侧=·2πr·l=πrl，其中l为圆锥母线长，r为底面圆半径。（3）圆台可以看成是用一个平行底面的平面截圆锥所得，因此圆台的侧面展开图是一个扇环，设圆台上、下底半径为r、R，母线长为l，则S圆台侧=π(r+R)l=(c1+c2)l，其中r，R分别为上、下底面圆半径，c1，c2分别为上、下底面圆周长，l为圆台的母线。五.球的表面积球面面积（也就是球的表面积）等于它的大圆面积的4倍，即S球=4πR2，其中R为球的半径.例1.一个长方体的长、宽、高分别为5、4、3，求它的表面积。解：长方体的表面积

S=2(5×4+4×3+5×3)=94.例2.已知正四棱锥底面正方形长为4cm，高与斜高的夹角为30°，求正四棱锥的侧面积及全面积.（单位：cm2，精确到0.01）解：正棱锥的高PO，斜高PE，底面边心距OE组成直角三角形。因为OE=2，∠OPE=30°，所以斜高因此S侧=ch’=32(cm2)S全=S侧+S底=48(cm2)例3.如图所示是一个容器的盖子，它是用一个正四棱台和一个球焊接而成的。球的半径为R，正四棱台的两底面边长分别为3R和2.5R，斜高为0.6R；（1）求这个容器盖子的表面积；（2）若R=2cm，为盖子涂色时所用的涂料每0.4kg可以涂1m2，计算100个这样的盖子涂色需涂料多少千克(精确到0.1kg)。S正四棱台=4××(2.5R+3R)×0.6R+(2.5R)2+(3R)2=21.85R2.S球=4πR2.因此，这个盖子的全面积为S全=(21.85+4π)R2.解：（1）因为（2）取R=2，π=3.14，得

S全=137.67cm2.又(137.67×100)÷10000×0.4≈0.6(kg)，因此涂100个这样的盖子共需涂料0.6kg.练习题：1.将一个边长为a的正方体，切成27个全等的小正方体，则表面积增加了（

）（A）6a2

（B）12a2

（C）18a2

（D）24a2B2.侧面都是直角三角形的正三棱锥，底面边长为a，该三棱锥的全面积是（

）（A）（B）（C）（D）A3.球内接正方体的表面积与球的表面积的比为（

）（A）2：π（B）3：π

（