第二章传递函数

开环控制系统闭环控制系统优点结构简单价格便宜调试简单准确、精度高反应灵敏、快速抗干扰元件变化影响小缺点准确性差反应慢不抗干扰元件变化影响大结构复杂成本高调试复杂控制系统中的变量（信号）：

1输出变量被控制量输出信号

2输入变量输入信号参考输入

3干扰量干扰信号

4偏差信号

5其它信号对控制系统的基本要求

稳定----控制系统可以工作的必要条件响应快----动态过程快速、平稳准确----稳态误差小稳快准

控制系统的微分方程-建立和求解控制系统的传递函数控制系统的结构图-等效变换控制系统的信号流图-梅逊公式脉冲响应函数各种数学模型的相互转换第二章自动控制系统的数学模型物理模型——任何元件或系统实际上都是很复杂的，难以对它作出精确、全面的描述，必须进行简化或理想化。简化后的元件或系统称为该元件或系统的物理模型。简化是有条件的，要根据问题的性质和求解的精确要求来确定出合理的物理模型。数学模型——物理模型的数学描述。是指描述系统输入、输出以及内部各变量之间动态关系的数学表达式。数学建模——从实际系统中抽象出系统数学模型的过程。控制系统的数学模型:

描述系统内部各物理量之间关系的数学表达式。数学表达式：代数方程、微分方程静态数学模型：系统变量之间与时间无关的静态关系动态数学模型：系统变量对时间的变化率，反映系统的动态特性控制系统数学模型的类型时域（t）模型微分方程频域（ω）模型频率特性结构图=原理图＋传递函数复域（S）模型传递函数常见数学模型：时域：微分方程；差分方程；状态方程复数域：传递函数频域：频率特性表达形式时域：微分方程、差分方程、状态方程复域：传递函数、动态结构图频域：频率特性线性系统传递函数微分方程频率特性拉氏变换傅氏变换

建立控制系统数学模型的方法:

分析法(又称机理建模法)是根据组成系统各元件工作过程中所遵循的物理定理来进行。例如：电路中的基尔霍夫电路定理，力学中的牛顿定理，热力学中的热力学定理等。对于系统结构以知的常用此法。

实验法(又称系统辨识)是根据元件或系统对某些典型输入信号的响应或其他实验数据建立数学模型，当元件或系统比较复杂，其运动特性很难用几个简单的数学方程表示时，实验法就显得非常重要了。2-1控制系统的时域数学模型一、线性元件的微分方程建立系统或元件的微分方程的步骤：1）确定系统或元件的输入量和输出量2）依据各个变量之间遵循的物理或化学定律，列出一组微分方程3）消去中间变量，写出系统输入和输出变量的微分方程4）对微分方程进行整理，写成标准形式，即输出量放左边，输入量放右边，按降幂排列建立系统或元件的微分方程的步骤：1）确定系统或元件的输入量和输出量2）依据各个变量之间遵循的物理或化学定律，列出一组微分方程3）消去中间变量，写出系统输入和输出变量的微分方程4）对微分方程进行整理，写成标准形式，即输出量放左边，输入量放右边，按降幂排列例2-1：如图所示，由一RC组成的四端无源网络。试列写以U1(t)为输入量，U2(t)为输出量的网络微分方程。

解：设回路电流i1、i2，根据克希霍夫定律，列写方程如下：①②③④⑤I1I2由④、⑤得由②导出将i1、i2代入①、③，则得这就是RC组成的四端网络的数学模型，是一个二阶线性微分方程。例2-2图示是弹簧-质量-阻尼器机械位移系统。试列写质量m在外力F（t）作用下，位移x(t)的运动方程。解：f--阻尼系数k--弹性系数根据牛顿第二定律式中整理后

mF(t)x(t)fF1F2例2-3列写电枢控制的它励直流电动机的微分方程。ua取为输入量，ωm为输出量。SM负载解：由电机学可知电磁转矩方程感应电势电枢回路电压平衡方程式直流电机的转矩平衡方程式由由以上分析，可得电枢控制的他励直流电机的微分方程组消去中间变量可得在工程应用中，较小，可忽略不计

令得如很小可忽略不计时，则微分方程化简为如以电机转角

为输出，因则微分方程为[需要讨论的几个问题]：1、相似系统和相似量：我们注意到例2-1和例2-2的微分方程形式是完全一样的。这是因为：若令（电荷），则例2-1①式的结果变为：可见，同一物理系统有不同形式的数学模型，而不同类型的系统也可以有相同形式的数学模型。[定义]具有相同的数学模型的不同物理系统称为相似系统例2-1和例2-2称为力-电荷相似系统，在此系统中分别与为相似量。[作用]利用相似系统的概念可以用一个易于实现的系统来模拟相对复杂的系统，实现仿真研究。2、线性系统的特点线性系统的主要特点：可叠加性和齐次性（叠加原理）叠加原理：设线性微分方程如时方程的解为，时方程的解为。就有当时，解（可叠加性）当（为常数）时，解（齐次性）

叠加原理说明，对于线性系统（1）两个外作用同时加于系统所产生的总响应等于各个外作用单独作用时分别产生的响应之和；（2）外作用的数值增大若干倍时，响应也增加同样的倍数。可叠加性和齐次性使线性系统的分析和设计大为简化。3、非线性元件（环节）微分方程的线性化在经典控制领域，主要研究的是线性定常控制系统。如果描述系统的数学模型是线性常系数的微分方程，则称该系统为线性定常系统，其最重要的特性便是可以应用线性叠加原理，即系统的总输出可以由若干个输入引起的输出叠加得到。[非线性系统]如果不能应用叠加原理--非线性例如：在工作点附近用泰勒级数展开，取前面的线性项可以得到等效的线性环节AByx0设具有连续变化的非线性函数y=f(x)如图所示若取某一平衡状态为工作点，如下图中的A(x0,y0)。A点附近有点为A(x0+Dx,y0+Dy)，当Dx很小时，AB段可近似看做线性的。[注意]：（1）实际的工作情况在工作点（稳定的工作状态，即平衡态）附近。（2）变量的变化必须是小范围的。其近似程度与工作点附近的非线性情况及变量变化范围有关。三、线性定常微分方程的求解（一）复习拉氏变换①拉氏变换的物理意义拉氏变换是将时间函数f(t)变换为复变函数F(s)，或作相反变换。时域(t)变量t是实数，复频域F(s)变量s是复数。变量s又称“复频率”。拉氏变换建立了时域与复频域(s域）之间的联系。②定义：设函数f(t)满足①t<0时f(t)=0②t>0时，f(t)连续，则f(t)的拉氏变换存在，表示为：拉氏变换函数（象函数）原函数衰减因子，其中：τ-时间常数s=-σ+jω为拉氏变换算子，其中：σ-衰减系数ω-振荡频率（rad/s）由拉氏变换的定义得1(t)的象函数为求指数函数e-αt的象函数。解:③常用函数的拉氏变换：单位阶跃函数：单位脉冲函数：单位斜坡函数：单位抛物线函数：正弦函数：其他函数可以查阅相关表格获得。常用函数的拉氏变换对照表1)叠加定理：两个函数代数和的拉氏变换等于两个函数拉氏变换的代数和。即④性质：证

:2)比例定理

K倍原函数的拉氏变换等于原函数拉氏变换的K倍。即L［Kf(t)］=KL［f(t)］=KF(s)证:

3)微分定理：则：

L［f’(t)］=sF(s)-f(0)证

L［f’(t)］=sF(s)–f(0)同理：L［f″(t)］=s2F(s)-sf

(0)-f′(0)…L［f

(n)(t)］=snF(s)-sn-1f(0)-…-f

(n-1)(0)

若具有零初始条件，即f(0)=f’(0)=…=f(n-1)(0)=0则:L［f’(t)］=sF(s)

L［f″(t)］=s2F(s)…L［f(n)(t)］=snF(s)

4)积分定理5)位移定理：L［e-αtf(t)］=F(s+α)

证:6)初值定理7)终值定理

证:由微分定理有对上式两边取极限由于当s→0时，e-st→1，则：时滞定理：卷积定理：（二）拉氏反变换

按定义求拉氏反变换很困难，一般常用部分分式法计算：的一般形式为部分分式原函数分解查表◆F(s)含有共扼复数极点时，可展开为◆F(s)中具有不同的极点时，可展开为待定系数◆F(s)含有多重极点时，可展开为

例解：例

例解：3、含有共轭极点。微分方程以s为参量的象函数的代数方程象函数原函数(微分方程解)拉氏变换求解代数方程拉氏反变换（三）、用拉氏变换法求解微分方程举例小结拉氏变换性质拉氏反变换（三种情况）用拉式变换求解微分方程2.2传递函数用微分方程来描述系统比较直观，但是一旦系统中某个参数发生变化或者结构发生变化，就需要重新排列微分方程，不便于系统的分析与设计。为此提出传递函数的概念。一、传递函数的定义和概念以上一节例（1）RLC电路的微分方程为例：设初始状态为零，对上式进行拉氏变换，得到：G(s)R(s)C(s))定义：零初始条件下，系统输出量的拉氏变换与输入量拉氏变换的比值称为该系统的传递函数，用G(s)表示。一般形式：设线性定常系统（元件）的微分方程是：

y(t)为系统的输出，r(t)为系统输入，则零初始条件下，对上式两边取拉氏变换，得到系统传递函数为：分母中s的最高阶次n即为系统的阶次。因为组成系统的元部件或多或少存在惯性，所以G(s)的分母阶次大于等于分子阶次，即,是有理真分式，若m>n,我们就说这是物理不可实现的系统。二、传递函数的性质

(1)传递函数是一种数学模型，是对微分方程在零初始条件下进行拉氏变换得到的；

(2)传递函数与微分方程一一对应；

(3)传递函数描述了系统的外部特性。不反映系统的内部物理结构的有关信息；

(4)传递函数只取决于系统本身的结构参数，而与输入和初始条件等外部因素无关；

(5)传递函数与系统的输入输出的位置有关；

(6)传递函数一旦确定，系统在一定的输入信号下的动态特性就确定了。二、传递函数的性质

(1)传递函数描述了系统的外部特性。不反映系统的内部物理结构的有关信息；传递函数只取决于系统本身的结构参数，而与输入和初始条件等外部因素无关；

(2)传递函数与微分方程一一对应；

(3)传递函数与系统的输入输出的位置有关；

(5)传递函数一旦确定，系统在一定的输入信号下的动态特性就确定了。

传递函数微分方程用方框图来表示一个具有传递函数G(s)的线性系统系统输入量与输出量的因果关系可以用传递函数连系起来

(6)[例]求如图所示电路的传递函数[解]：解法一：列出回路电压方程和输出节点方程拉氏变换用复数阻抗法求电网络的传递函数时域方程拉氏变换传递函数复数阻抗电容电感电阻解法二：将原用复阻抗表示：3、传递函数的几种表达形式①有理分式形式：式中：—为实常数，一般n≥m上式称为n阶传递函数，相应的系统为n阶系统。②零点、极点形式（首一多项式）：传递函数的零点，传递函数的极点—传递系数（根轨迹增益）③时间常数形式（尾一多项式）：其中称为时间常数K称为传递系数或增益。显然：3、传递函数的极点和零点对输出的影响传递函数的零点,用“”表示传递函数的极点,用“”表示极点是微分方程的特征跟，因此，决定了所描述系统自由运动的模态。运动的模态线性微分方程的解=特解+齐次微分方程的通解通解由微分方程的特征方程决定，代表自由运动。零点距极点的距离越远，该极点所产生的模态所占比重越大零点距极点的距离越近，该极点所产生的模态所占比重越小如果零极点重合－该极点所产生的模态为零，因为分子分母相互抵消。

例

已知某系统在0初条件下的阶跃响应为：试求：（1）系统的传递函数；（2）系统的特征根及相应的模态；（3）画出对应的零极点图；（4）求系统的单位脉冲响应g(t)；（5）求系统微分方程；（6）当c(0)=-1,c′

(0)=0;r(t)=1(t)时，求系统的响应。解.（1）(3)

如图所示(2)

(4)

(5)

（6）其中初条件引起的自由响应部分4、典型元部件的传递函数典型环节环节：具有相同形式传递函数的元部件的分类。不同的元部件可以有相同的传递函数；若输入输出变量选择不同，同一部件可以有不同的传递函数；任一传递函数都可看作典型环节的组合。

控制系统从动态性能或数学模型来看可分成为以下几种基本环节，也就是典型环节。

（一）比例环节比例环节的传递函数为：G(s)=K输出量与输入量成正比，比例环节又称为无惯性环节或放大环节。如图所示为一电位器输入量和输出量关系如图中所示。

（二）惯性环节传递函数为如下形式的环节为惯性环节：当环节的输入量为单位阶跃函数时，环节的输出量将按指数曲线上升，具有惯性，如图所示。式中

K——环节的比例系数；