第三章 电路定理

第三章电路定理①叠加定理②替代定理③戴维南定理（诺顿定理)④最大功率传输定理⑤特勒根定理⑥互易定理⑦对偶原理。从电阻电路的分析中，我们可以循到线性电阻电路分析的一些规律，可以将其当做一般性定理来使用。它们分别是：第一节叠加定理一．定理陈述及其解释性证明1．定理陈述：在线性电路中，任一支路的电流或电压是电路中各个独立源(激励)分别作用时在该支路中产生的电流或电压的代数和。aR1R3+

US1

-

I1IS2-US3

+分析图中Ua

、I1与各个激励的关系叠加定理R1R3I1′＋US1－aUS1单独作用时(IS不作用时开路，US3不作用时短路)：R1R3IS2I1″IS2单独作用时US3单独作用时：R1R3-

US3+I1'''显然有叠加原理证明二．使用叠加定理的注意点

1、叠加定理是线性电路叠加特性的概括表征，其重要性不仅仅在于可用叠加法分析电路本身（分解为简单电路），更重要的是在于它为线性电路的定性分析和一些具体的计算方法提供了理论依据。

2、若uS不作用，则短接之，若iS不作用，则开路之；而受控源不是激励，即作图分解时受控源始终保留在电路中，此外，定理中“各个独立源”可换为“各组独立源”(分组叠加)。Ua=K1US1+K2IS2+K3US3

3、对非线性电路不适用。6、只适用于线性电路中求解电压与电流响应，而不能用来计算功率。这是由于只有线性电路中的电压或电流才是激励的一次函数，而功率与激励不再是一次函数关系。求“代数和”时要注意各电压或电流的参考方向。

7、当线性电路只有一个激励时，则激励扩大K倍，任意支路的响应也扩大K倍。这称为线性电路的齐次性。实际上：线性性质包括叠加性(可加性)和齐次性(比例性，均匀性).5、叠加时，电路的连接以及电路中所有的元件（除不作用的独立源）都不允许更动。4、要注意电压或电流的参考方向（代数和）。例1：求图(a)中的uab

、i1．(a)6Ω3Ω1Ω-6V

++12V-2A3Ai1ab(b)6Ω3Ω1Ω3Ai1′ab(c)6Ω3Ω1Ω-6V

++12V-2Ai1″ab解：本电路用叠加法，可以化为简单电路的计算。又电路中的激励独立源数目较多，一个个地叠加较烦，为此，我们采用“分组叠加”的方法：①3A电流源单独作用时（图(b)）：②其它独立源共同作用时（图(c)）：例2．图示电路中NS为有源线性三端口网络，已知：IS1=8A、US2=10V时，UX=10V；IS1=–8A、US2=–6V时，UX=–22V；IS1=US2=0时，UX=–2V；试求：IS1=2A、US2=4V时，UX=？

＋UX

－IS1

＋US2

－NS解：可根据叠加性用“待定系数法”求解：即可设：UX=K1IS1+K2US2+K3

其中K3为NS内部所有独立源对UX

所产生的贡献。于是有若为无源线性网络，则不考虑内部电源的作用第二节替代定理(置换定理)一．定理陈述：在给定的线性或非线性电路中，若已知第k条支路的电压uK和电流iK

，且该支路不含有受控源或受控源的控制量，则该支路可以用下列任何一种元件来替代：

⑴

uS

=uK的电压源；

⑵

iS

=iK的电流源；

⑶

若pK吸

＞0，则可替代为RK=|uK／iK

|的电阻。若替代前后电路均具有唯一解，则替代后电路中各支路的电压与电流均保持为原值。2）替代前后电路均具有唯一解，因此替代后①uK

不变；②其它各支路的电压、电流不变1）设第K条支路用iS

=iK

来替代，则替代前后①iK

不变；②其它支路VAR未变；③KCL、KVL未变；二．定理的证明：这相当于数学上将具有唯一解的一组方程中的某一未知量用其解答代替，不会引起方程中其它任何未知量的解答在量值上有所改变。三．定理的应用：说明：1、实际上，某一支路的电压和电流不一定全要知道，才能用替代定理，而是知道其中之一，就可用相应的元件去替代。如：已知uk，则可用电压为uk的独立源来置换该支路的元件。2、电压源的极性和电流源的方向必须和原网络中的被替代量一致。替代定理应用①大网络的“撕裂”：

i2BCAi1Ai2i1Bi1i2C

①替代定理推广用于二端网络时，要求该二端网络内部某部分电压或电流不能是外部受控源的控制量。②

某些线性电路问题的解决(如定理的证明);③

具有唯一解非线性电路问题的简化分析。i+u-Ni+u-N④是测试或试验中采用假负载的理论依据。一．戴维南定理

1．定理陈述：任何一个含独立源、线性电阻、线性受控源的一端口网络NS

，对于外电路来说都可以等效成为有伴电压源(uOC

与Ri的串联组合)，其中：

uOC

──NS端口的开路电压，

Ri

──NS的“除源电阻”；是指将NS内所有的独立源令为零(将uS短路，将iS开路)时的入端电阻(除源后的一端口用N0表示)。NSi+u-外电路(a)i+u-外电路(b)Ri+Uoc–abR一端口网络——两个端钮电流相等的二端网络无源一端口网络（无源二端网络）第三节戴维南定理与诺顿定理

含源一端口网络（有源二端网络）？2．定理证明：开路NS

+u'=uOC

-NOi+u"-

iNSi+u-i替代定理Rii

+u"=－Rii-

i因此u=u‘+u“=uOC

-Ri

i

如图（b），定理证毕。两个网络若在端口处的VCR相同，则两者对外电路而言是等效的。i+u-外电路(b)Ri+Uoc–NSi+u-外电路(a)二．诺顿定理

1．定理陈述：任何一个含独立源、线性电阻、线性受控源的一端口网络NS，对于外电路来说都可以等效成为有伴电流源(iSC

与Gi

的并联组合)，其中：iSC

──NS端口的短路电流；iSC

方向由u的“+极”沿外电路至“-极”！

Gi

=1／Ri

──NS的“除源电导”；2．定理证明：先将NS等效为戴维南等效电路，再用有伴电源等效变换即证。由等效关系可知：iSC

=i|u=0=uOC／Ri

.NSi+u-外电路(a)三．戴维南等效电路或诺顿等效电路的求法方法一(若除源后N0为简单纯电阻电路)：①求uOC

、iSC

二者之一，其中：uOC

─令端口i=0(开路)，对电路用已知方法计算之；iSC

──令端口u=0(短路)，对电路用已知方法计算之；②对除源网络N0(简单纯电阻电路)用串、并联的方法求出Ri

．iiSC外电路(b)+u

–Gi方法二：同时求出uOC

、iSC，

则：

Ri

=uOC

／iSC

但当uOC

=0时，iSC

也为零，此时就不能用上式求Ri

方法三：若除源后N0为含受控源电阻电路①求出uOC

、iSC

二者之一；②对除源网络N0用外施电源法求Ri

方法四(一步法或激励－响应法)：直接对NS求解端口的VAR，若求得为u’=A+Bi’则由戴维南等效电路知：uOC

=A，Ri=B．（当求uOC

或iSC

的电路仍然较复杂时用此法的计算量最少）

NSi'+u'-

+uS

-

方法六：实验测量法（限于直流电路）：+U

R-

+UOC

-

RiI①测开路电压UOC

；②允许短路时测ISC，则Ri

=UOC／ISC;否则用一R作为外电路并测其U、I，此时，例1．试分别求当负载电阻RL为7Ω和17Ω时电流I之值

解：此题特点：求解量均在RL支路(a图)。最好选用戴维南定理（或诺顿定理）求解,可用方法一求解：①求UOC:其最简单的解法是用回路法(b图)：②对除源后的简单电阻电路用串并联的方法求Ri

：③由戴维南等效电路求I

：

IRL＋4V－9Ω此题若用独立变量法，则对RL的两个值将求解两次方程，可见上述解法简化了计算。3Ω20Ω4Ω8ΩRL-16V+1AIaba32I1-20×1=16，得I1=9／8A,UOC=–8I1+16–3×1=4Vabb3Ω20Ω4Ω8Ω-16V+1A1AI1

+UOC

-3Ω20Ω4Ω8ΩabRic例2．求右边电路的最简等效电路。

②除源（受控源不得除去）求Ri

（图b）消去非端口变量I1得：Ri

=15Ω；+20V-15Ωa+U-bI解法一：求UOC、Ri①I=0求UOC.（图a）5Ω10Ω5Ω1Ω+12V-2I1I1Ia+U-baI1I15Ω10Ω5Ω1Ω2I1I1Ia+U-bb解法二：一步法（直接求端口VAR）得：U=20+15I

I1=(-5I+U)／10=0.1U-0.5I（KVL）I2=I1+I

=0.1U+

0.5I（KCL）I3=2I1–I2=0.1U-1.5I（KCL）U=5I＋5I2–I3+12（KVL）U=5I+0.5U+2.5I-0.1U+1.5I+125Ω10Ω5Ω1Ω+12V-2I1I1Ia+U-bI2I3Example3.8FindtheThéveninequivalentforthecircuitcontainingdependentsourcesshowninFig3.37.Solution:(1)Findtheopen-circuitvoltagevabFig.3.37Solution:(2)Findtheshort-circuitcurrentisc(3)getRTh(4)drawing图3.37的戴维南等效电路注意点：1、对端钮处等效，即对外电路等效。2、含源一端口网络一定是线性网络。3、开路电压uoc与端电压u不同，要注意等效电压源uoc的参考极性。4、外电路为任意（线性、非线性、有源、无源、支路或部分网络均可）。5、若含源一端口网络Ns内具有受控源时，这些受控源只能受Ns内部（包括端口）有关电压或电流控制，而Ns内部的电压或电流也不能作为外电路中受控源的控制量。即Ns与外电路之间一般应没有耦合关系。作业：习题卡3-1，3-3，3-5第四节最大功率传输定理一．最大功率传输定理的结论与证明Ia+U－

RLbNS问题：如图RL=?时，NS传给RL的PRL=Pmax

=?Ia+U-

RLb+UOC-Ri得RL=Ri

，此时RL可获得Pmax

匹配求解：戴维南等效电路如图则有：（最大功率传输定理）

通常UOC发出的功率并不等于NS中原来电源所发出的功率，匹配时的效率并不高，对UOC来讲，η只有50％(对NS，η≠50％)。因此，对于强电而言，不能工作在匹配状态；但对弱信号的传输，往往就需要实现最大功率传输。若用诺顿等效电路例：求RL=?时PRL吸

=Pmax=?Ri+UOC

-

RL11'

iRL

20Ω20Ω10Ω2A11'+15V-

+5V-

i解：先进行戴维南等效：第五节特勒根定理

一、特勒根定理１对于一个具有n个节点和b条支路的电路，若其第k条支路的电压uk

、电流ik取为关联方向（k=1,2,…，b），则恒有：证明：为了简化证明，考虑n=4、b=6的电路如图，各支路只用线段表示，线段的方向表示电压（或电流）的参考方向，并令0为参考节点，则：

4①2②3③1560原式=un1i1+(un1-un2)

i2+(un2-un3)

i3+(un1-un3)

i4+un2i5+un3i6=

un1(i1+i2+i4)+un2(-i2+i3+i5)+un3(-i3–i4+i6)=un1·0+un2·0+un3·0=0用上述类似的过程，对任何具有n个节点和b条支路的集总电路，均可证明上式成立。物理意义：功率守恒二．特勒根定理２二．特勒根定理２：对于两个具有n个节点和b条支路的电路N和N^

，若它们的拓扑结构（图）相同，设N与N^的对应支路编号一致，所取关联方向相同，如支路电流与电压分别记为(i1，i2，…，ib)、(u1，u2，…，ub)和(i^1，i^2，…，i^b)、(u^1，u^2，…，u^b)，则恒有：特勒根定理２同样适用于任何集总参数电路，物理意义为似功率守恒例．N、N'的各支路电流均已标出，试验证特勒根定理1和特勒根定理2b2b4b1b3

b5定理证明在书上P67页，请自学！0.8A5Ω5Ω＋3V－－1V＋1A－6V＋5Ω＋4V－N0.2A+5V-2A3Ω2Ω＋5V－1A5Ω1A+2V-+10V-+3V-+15V-

b1b2b3b4b5Σ

Nu34-1-65

i-0.80.8-0.211

u

i-2.43.20.2-650^Nu'1510523

i'-22111

u'i'-30205230N与^Nu'i-128-1230ui'-68-1-650可列表（u的单位为V，i的单位为A，p的单位为W）来验证：

有时两个电路结构并不完全相同，可用开路或短路来替代或填补某些支路。

第六节互易定理“互易”─若线性电路只有一个激励，则该激励与电路中某个响应的位置互换后，其激励与响应的关系保持不变（共有三种形式）：+uS

-

i1i2+u2=0

-

NR+u1-

122'1'+uS

-

122'1'+u1=0-

+u2

-

i1i2NR一、互易定理的第一种形式：设下列两图中NR为同一仅含线性电阻的网络：则

=

i2即恒压源与短路电流响应可互易)证明：设总共有b条支路，则由特勒根定理2：又因二．互易定理的第二种形式

i1

i2+u2-

NR+u1-

122'1'iS

i1

i2+u2-

NR+u1-

122'1'iS证明：此时将，代入（*）式二．互易定理的第二种形式：设下列两图中NR为同一仅含线性电阻的网络，则即恒流源与开路电压响应可互易.二．互易定理的第二种形式证明：将；

代入（*）式2'1'

i1=0

i2+u2-

NR+u1-

12＋uS－三．互易定理的第三种形式：设下列两图中NR为同一仅含线性电阻的网络，若

uS

=iS(量值上)，则(量值上)i1

i2+u2=0

-

+u1-

12'1'iS

NR2四、互易定理应用时的几点说明①式（*）是互易定理三种形式的统一表达式，用各种互易定理解题时，可统一使用它，但根据其证明中使用了特勒根定理，就要求这些端口变量取关联参考方向（对NR以外的端口支路而言）。此外，若NR的激励端口与响应端口的总和超过２，则该式可作相应的推广。②两网络为同一纯电阻网络NR

，这只是网络互易的充分条件。若网络中还含有受控源，则不一定互易！③响应与激励位置互换后，NR内部支路的电压、电流一般会改变。例．如图，求＋u2－2A5Ω＋u1－

i1

i2121'2'NR解法一：第二种形式解法二：直接用(*)式来解＋10V－121'2'i1i2=0

NR2A＋5V－第七节对偶原理

即系统中某些元素之间的关系（或方程）用对应的另一些元素置换后，所得的新关系（或新方程）也一定对应地成立。电路中互为对偶的元素、变量有：u、R、L、开路、有伴电压源、磁链、……、uOC

、节点、节点自电导、iS

……i、G、C、短路、有伴电流源、电荷、……、iSC、网孔、网孔自电阻、uS

……在电路分析中，发现有些关系式、物理量及电路是成对出现的，它们之间存在着一种明显的类比关系。例如：欧姆定律的两种形式：在关联参考方向下：u=Ri

，i=Gu在这两个关系式中，通过对应元素（对偶元素）互换后又能彼此转换，这种类比的性质就称对偶性，即对偶原理。电路中互为对偶的方程如：u=Ri

；iC

=C(duC

／dt)；ψL=LiL

；……；i=Gu

；uL=L(diL

／dt)；qC

=CuC

；…….R1R3+uS1-il1R2il2+uS3-

①②G2G1G3iS1iS3互为对偶的电路根据对偶原理，如果导出了电路某一个关系式或结论，就等于解决了与之对偶的另一个关系式或结论。掌握电路的这一性质，能帮助我们掌握电路的规律，做到由此及彼，举一反三。例如：必须注意，两个电路互为对偶，绝非是这两个电路等效。“对偶”和“等效”是两个不同的概念，不可混淆。

3-19、3-20、3-22

作业：3-7，3-9，3-14，3-16例1、列出图示电路的回路电流方程。解：控制关系方程，即习题课一直流电路2Ω-2i1++4V-+u2-i1u2

2Ω2ΩR3R1R2is2Aus

isu2

i例2、列出电路的节点电压方程（不必求解）解：注意：1、与电流源串联电导不计入自电导和互电导之中；2、无伴电压源假设未知电流的处理方法。例3、电路如图所示，求：Uab

?解：电压源两边电阻组成的两组电桥，均处于平衡状态电流为0的支路可视为开路例4、书上