2017学年高中数学2-21.7定积分的简单应用1.7.2含答案

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精1。7。2定积分在物理中的应用［学习目标]1．能利用定积分解决物理中的变速直线运动的路程、变力做功问题．2．通过定积分在物理中的应用，学会用数学工具解决物理问题，进一步体会定积分的价值．［知识链接]下列判断正确的是________．（1)路程是标量,位移是矢量，路程和位移是两个不同的概念；(2)利用定积分求变速直线运动的路程和位移是同一个式子eq\i\in(t1，t2，)v（t）dt；（3)利用定积分求变速直线运动的路程和位移不是同一个式子eq\i\in（t1，t2,)v(t)dt。答案（1）（3)解析(1）显然正确．对于(2),(3）两个判断,由于当v(t）≥0时，求某一时间段内的路程和位移均用eq\i\in（t1,t2,)v(t）dt求解；当v（t)<0时，求某一时间段内的位移用eq\i\in(t1，t2，）v(t）dt求解,这一时段的路程是位移的相反数，即路程为－eq\i\in（t1，t2,）v(t）dt。所以（2）错(3)正确．［预习导引]1．在变速直线运动中求路程、位移路程是位移的绝对值之和，从时刻t＝a到时刻t＝b所经过的路程s和位移s′分别为：(1)若v（t）≥0,则s＝eq\i\in(a,b,）v（t）dt，s′＝eq\i\in(a，b，）v(t)dt.（2)若v（t)≤0，则s＝－eq\i\in（a，b，）v（t)dt，s′＝eq\i\in(a,b，）v（t)dt。(3）若在区间[a,c］上，v（t）≥0，在区间[c，b]上v(t）〈0，则s＝eq\i\in(a，c,)v（t）dt－eq\i\in(c，b,）v(t)dt;s′＝eq\i\in(a,b,)v（t)dt。2．定积分在物理中的应用(1)做变速直线运动的物体所经过的路程s，等于其速度函数v＝v(t)(v(t)≥0)在时间区间［a，b］上的定积分，即s＝eq\i\in（a，b,)v(t)dt.（2）一物体在恒力F（单位：N）的作用下做直线运动,如果物体沿着与F相同的方向移动了s(单位：m)，则力F所作的功为W＝Fs;而若是变力所做的功W，等于其力函数F（x)在位移区间［a，b］上的定积分，即W＝eq\i\in(a，b,）F（x）dx。要点一求变速直线运动的路程、位移例1有一动点P沿x轴运动，在时间t时的速度为v（t)＝8t－2t2（速度的正方向与x轴正方向一致)．求（1)P从原点出发,当t＝6时，求点P离开原点的路程和位移；（2)P从原点出发，经过时间t后又返回原点时的t值．解(1）由v（t)＝8t－2t2≥0得0≤t≤4，即当0≤t≤4时，P点向x轴正方向运动，当t>4时，P点向x轴负方向运动．故t＝6时，点P离开原点的路程s1＝eq\i\in（0,4,)(8t－2t2）dt－eq\i\in(4，6，）（8t－2t2)dt＝eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(4t2－\f(2，3)t3））eq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1（4，0))－eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（4t2－\f(2，3)t3）)eq\b\lc\｜\rc\（\a\vs4\al\co1（6,4））＝eq\f(128，3）.当t＝6时，点P的位移为eq\i\in（0，6,)(8t－2t2)dt＝eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（4t2－\f（2，3)t3))eq\b\lc\|\rc\（\a\vs4\al\co1(6，0））＝0.（2)依题意eq\i\in(0,t,)（8t－2t2)dt＝0,即4t2－eq\f(2，3)t3＝0,解得t＝0或t＝6，t＝0对应于P点刚开始从原点出发的情况，t＝6是所求的值．规律方法(1)用定积分解决变速直线运动的位移和路程问题时,将物理问题转化为数学问题是关键．(2)路程是位移的绝对值之和，因此在求路程时,要先判断速度在区间内是否恒正，若符号不定，应求出使速度恒正或恒负的区间,然后分别计算,否则会出现计算失误．跟踪演练1变速直线运动的物体的速度为v（t)＝1－t2，初始位置为x0＝1，求它在前2秒内所走的路程及2秒末所在的位置．解当0≤t≤1时，v(t)≥0，当1≤t≤2时,v（t)<0.所以前2秒钟内所走的路程s＝eq\i\in(0,1，）v（t)dt＋eq\i\in(1，2,)[－v（t）]dt＝eq\i\in（0，1，)(1－t2）dt＋eq\i\in（1，2,）(t2－1）dt＝eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(t－\f(1，3）t3））eq\b\lc\|\rc\（\a\vs4\al\co1(1,0))＋eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f(1,3）t3－t））eq\b\lc\|\rc\（\a\vs4\al\co1（2,1))＝2.2秒末所在的位置x1＝x0＋eq\i\in（0,2,）v(t)dt＝1＋eq\i\in（0,2，）(1－t2）dt＝1＋eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（t－\f(t3，3）))eq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(2，0））＝1＋2－eq\f（8,3）＝eq\f（1,3).它在前2秒内所走的路程为2,2秒末所在的位置为x1＝eq\f（1,3).要点二求变力所作的功例2在底面积为S的圆柱形容器中盛有一定量的气体，在等温条件下，由于气体的膨胀,把容器中的一个活塞（面积为S)从点a处推到b处，计算在移动过程中，气体压力所做的功．解由物理学知识易得，压强p与体积V的乘积是常数k，即pV＝k。∵V＝xS(x指活塞与底的距离)，∴p＝eq\f（k，V)＝eq\f(k,xS）.∴作用在活塞上的力F＝p·S＝eq\f(k，xS)·S＝eq\f（k，x).∴所做的功W＝eq\i\in（a，b,)eq\f（k,x)dx＝k·lnxeq\b\lc\｜\rc\（\a\vs4\al\co1(\o(\s\up7（b)，\s\do5（a）)))＝klneq\f(b，a）。规律方法解决变力作功注意以下两个方面：（1)首先要将变力用其方向上的位移表示出来，这是关键的一步．（2)根据变力作功的公式将其转化为求定积分的问题．跟踪演练2设有一长为25cm的弹簧，若加以100N的力,则弹簧伸长到30cm,解设以x表示弹簧伸长的厘米数,F(x)表示加在弹簧上的力，则F（x）＝kx.依题意,使弹簧伸长5cm,需力100N，即100＝5k，所以k＝20，于是F(x)＝20所以弹簧伸长到40cm所做的功即计算由x＝0到x＝15所做的功：W＝∫eq\o\al(15,0)20xdx＝10x2eq\b\lc\｜\rc\（\a\vs4\al\co1(15，0）)＝2250（N·cm）．1．从空中自由下落的物体，在第一秒时刻恰经过电视塔顶，在第二秒时刻物体落地，已知自由落体的运动速度为v＝gt（g为常数)，则电视塔高为（)A.eq\f（5，2）g B．eq\f(7,2）gC．eq\f(3，2）g D．2g答案C解析h＝eq\i\in（1,2，)gtdt＝eq\f(1，2）gt2eq\b\lc\｜\rc\（\a\vs4\al\co1（\o（\s\up7（2）,\s\do5(1)）))＝eq\f（3，2)g。2．一列车沿直线轨道前进，刹车后列车速度v（t）＝27－0.9t，则列车刹车后前进多少米才能停车 （）A．405 B．540C．810 D．945答案A解析停车时v(t）＝0,由27－0.9t＝0,得t＝30,∴s＝∫eq\o\al（30,0)v(t)dt＝∫eq\o\al(30,0）（27－0.9t)dt＝（27t－0.45t2）eq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\o（\s\up7(30)，\s\do5（0）)））＝405.3．（2013·湖北)一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v(t）＝7－3t＋eq\f（25,1＋t)（t的单位：s，v的单位：m/s)行驶至停止．在此期间汽车继续行驶的距离（单位：m）是（)A．1＋25ln5 B．8＋25lneq\f(11，3）C．4＋25ln5 D．4＋50ln2答案C解析由v（t）＝7－3t＋eq\f(25,1＋t)＝0，解得t＝4（t＝－eq\f(8,3）舍去)，所以所求的路程为eq\i\in(0，4,）eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(7－3t＋\f（25，1＋t）））dt＝eq\b\lc\\rc\｜（\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(7t－\f（3，2）t2＋25ln1＋t)）))eq\o\al(4,0)＝4＋25ln5，选C。4．一个弹簧压缩xcm可产生4xN的力，把它从自然长度压缩到比自然长度短5cm,解设F（x)＝kx,因为弹簧压缩xcm可产生4xN的力,∴k＝4。∴弹簧克服弹力所做的功为W＝4eq\i\in（0,5,)xdx＝4×eq\b\lc\\rc\｜(\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f(1，2）x2)))）eq\o\al(5,0）＝50（N·cm）＝0.5（J）．1．已知变速运动方程，求在某段时间内物体运动的位移或者经过的路程,就是求速度方程的定积分．解这类问题需注意三点：（1）分清运动过程中的变化情况；(2）如果速度方程是分段函数，那么要用分段的定积分表示；（3)明确是求位移还是求路程,求位移可以正负抵消,求路程不能正负抵消．2．利用定积分求变力做功问题，关键是求出变力与位移之间的函数关系，确定好积分区间．求变力做功时，要注意单位，F(x)单位:N，x单位:m。一、基础达标1．一物体沿直线以v＝2t＋1（t的单位：s，v的单位：m/s)的速度运动,则该物体在1～2s间行进的路程为（)A．1m B．C．3m答案D解析s＝eq\b\lc\\rc\｜(\a\vs4\al\co1(\i\in（1,2，)2t＋1dt＝t2＋t））eq\o\al（2，1)＝4(m）．2．一物体从A处向B处运动，速度为1。4tm/s（t为运动的时间)，到B处时的速度为35m/s，则ABA．120m B．C．360m答案B解析从A处到B处所用时间为25s．所以|AB|＝eq\b\lc\\rc\|(\a\vs4\al\co1(∫\o\al(25，0)1.4tdt＝0.7t2)）eq\o\al(25，0）＝437.5(m)．3．以初速度40m/s竖直向上抛一物体，ts时速度v＝40－10t2，A。eq\f(160,3)m B．eq\f（80，3)mC．eq\f(40,3)m D．eq\f(20,3）m答案A解析v＝0时物体达到最高，此时40－10t2＝0，则t＝2s.又∵v0＝40m/s，∴t0＝0∴h＝eq\i\in（0,2,)(40－10t2)dt＝eq\b\lc\\rc\｜（\a\vs4\al\co1(\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(40t－\f(10，3)t3)))）eq\o\al（2,0)＝eq\f（160，3)（m)．4．如果1N的力使弹簧伸长1cm，在弹性限度内，为了将弹簧拉长10A．0。5J B．1JC．50J D．100J答案A解析由于弹簧所受的拉力F（x）与伸长量x成正比，依题意，得F(x)＝x,为了将弹簧拉长10cm，拉力所做的功为W＝∫eq\o\al(10，0)F（x)dx＝∫eq\o\al(10，0）xdx＝eq\b\lc\\rc\｜(\a\vs4\al\co1(\f(1，2）x2))eq\o\al（10，0）＝50（N·cm）＝0。5（J)．5．汽车以每小时32km的速度行驶，到某处需要减速停车，设汽车以加速度a＝－1。8m/s2刹车,答案21.95解析t＝0时，v0＝32km/h＝eq\f（32×1000,3600）m/s＝eq\f（80，9）m/s.刹车后减速行驶，v(t)＝v0＋at＝eq\f(80,9）－1。8t。停止时，v(t)＝0，则eq\f(80,9）－1。8t＝0，得t＝eq\f（400，81）s，所以汽车所走的距离s＝∫eq\f（400,81)0v(t)dt＝eq\b\lc\\rc\｜(\a\vs4\al\co1（\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(80,9)t－\f(1,2）t2×1。8)））)eq\f(400，81)0≈21。95（m)．6．有一横截面的面积为4cm2的水管控制往外流水，打开水管后t秒末的流速为v（t)＝6t－t2(单位：cm/s)(0≤t≤6）．则t＝0到t＝答案144解析由题意可得t＝0到t＝6这段时间内流出的水量V＝eq\i\in（0，6，）4(6t－t2)dt＝4eq\b\lc\\rc\｜(\a\vs4\al\co1（\i\in（0,6,)6t－t2dt＝4\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3t2－\f（1，3)t3）)））eq\o\al（6,0）＝144（cm3）．故t＝0到t＝6这段时间内流出的水量为144cm3。7．一物体做变速直线运动，其v－t曲线如图所示，求该物体在eq\f（1,2)s~6s间的运动路程．解由题意,得v(t)＝eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(2t0≤t≤1，,21≤t≤3，,\f(1,3)t＋13≤t≤6,)）由变速直线运动的路程公式，可得：s＝eq\i\in（,6，)eq\f（1，2)v（t)dt＝eq\i\in（，1,）eq\f(1,2)2tdt＋eq\i\in(1，3，)2dt＋eq\i\in（3,6，)eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f（1，3)t＋1）)dt＝t2eq\b\lc\｜\rc\｜(\a\vs4\al\co1（\o(\s\up7（1)，\s\do5（\f（1,2）））＋2t））eq\o\al(3，1)＋eq\b\lc\\rc\|(\a\vs4\al\co1（\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f（1,6）t2＋t)））)eq\o\al(6,3）＝eq\f（49，4）(m）．所以该物体在eq\f(1，2)s～6s间的运动路程是eq\f(49,4）m.二、能力提升8．一物体在力F（x)＝eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（100≤x≤2,3x＋4x〉2））(单位:N）的作用下沿与力F相同的方向，从x＝0处运动到x＝4（单位:m)处,则力F(x）做的功为(）A．44J B．46JC．48J D．50J答案B解析W＝eq\i\in(0,4,）F（x）dx＝eq\i\in（0,2，)10dx＋eq\i\in（2，4，）(3x＋4）dx＝10xeq\b\lc\|\rc\｜(\a\vs4\al\co1(\o(\s\up7(2)，\s\do5（0））＋\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(3，2)x2＋4x))））eq\o\al(4，2)＝46（J）．9．做直线运动的质点在任意位置x处，所受的力F（x）＝1＋ex,则质点沿着与F(x）相同的方向，从点x1＝0处运动到点x2＝1处，力F（x)所做的功是()A．1＋e B．eC．eq\f（1,e) D．e－1答案B解析W＝eq\i\in（0，1，）F(x)dx＝eq\b\lc\\rc\|(\a\vs4\al\co1（\i\in(0，1，）1＋exdx＝x＋ex)）eq\o\al（1，0）＝(1＋e)－1＝e.10．如图所示，将一弹簧从平衡位置拉到离平衡位置lm处，则克服弹簧力所做的功为________．答案eq\f（1,2)kl2(J）解析在弹性限度内，拉伸（压缩）弹簧所需的力与弹簧拉伸（压缩）的长度成正比,即F(x）＝kx，其中k为比例系数．由变力做功公式得W＝eq\b\lc\\rc\|（\a\vs4\al\co1（\i\in(0,l，）kxdx＝\f(1,2)kx2）)eq\o\al（l，0）＝eq\f（1,2）kl2(J)．11．一物体按规律x＝bt3作直线运动，其中x为时间t内通过的距离,媒质的阻力正比于速度的平方，试求物体由x＝0运动到x＝a时,阻力所做的功．解物体的速度v＝x′（t)＝(bt3）′＝3bt2，媒质的阻力F阻＝kv2＝k·（3bt2)2＝9kb2t4(其中k为比例常数，k>0）．当x＝0时，t＝0；当x＝a时,t＝eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f(a,b))）eq\f(1,3)。所以阻力所做的功为W阻＝eq\i\in(0,a，)F阻dx＝∫eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f（a,b）)）eq\f（1,3)0kv2·vdt＝∫eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f（a,b))）eq\f（1，3)09kb2t4·3bt2dt＝∫eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（a,b）)）eq\f(1,3）027kb3t6dt＝eq\b\lc\\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f（27，7)kb3t7)）eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f(a，b)）)eq\f（1,3）0＝eq\f（27,7)kbeq\f（2，3）·aeq\f(7，3）。12．物体A以速度vA＝3t2＋1(米/秒)在一直线上运动，同时物体B也以速度vB＝10t(米/秒）在同一直线上与物体A同方向运动，问多长