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文档简介
学必求其心得,业必贵于专精学必求其心得,业必贵于专精PAGE9学必求其心得,业必贵于专精PAGE5从力做的功到向量的数量积(二)学习目标1.掌握平面向量数量积的运算律及常用的公式.2。会利用向量数量积的有关运算律进行计算或证明.知识点一平面向量数量积的运算律类比实数的运算律,判断下表中的平面向量数量积的运算律是否正确.运算律实数乘法向量数量积判断正误交换律ab=baa·b=b·a结合律(ab)c=a(bc)(a·b)c=a(b·c)分配律(a+b)c=ac+bc(a+b)·c=a·c+b·c消去律ab=bc(b≠0)⇒a=ca·b=b·c(b≠0)⇒a=c知识点二平面向量数量积的运算性质类比多项式乘法的乘法公式,写出下表中的平面向量数量积的运算性质.多项式乘法向量数量积(a+b)2=a2+2ab+b2(a-b)2=a2-2ab+b2(a+b)(a-b)=a2-b2(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca梳理与多次式乘法公式类似,平面向量数量积也有相似公式,应用公式时不要漏写数量积中的点乘符号“·”.类型一向量数量积的运算性质例1给出下列结论:①若a≠0,a·b=0,则b=0;②若a·b=b·c,则a=c;③(a·b)c=a(b·c);④a·[b(a·c)-c(a·b)]=0,其中正确结论的序号是________.反思与感悟向量的数量积a·b与实数a、b的乘积a·b有联系,同时有许多不同之处.例如,由a·b=0并不能得出a=0或b=0.特别是向量的数量积不满足结合律.跟踪训练1设a,b,c是任意的非零向量,且互不平行,给出以下说法:①(a·b)·c-(c·a)·b=0;②(b·c)·a-(c·a)·b不与c垂直;③(3a+2b)·(3a-2b)=9|a|2-4|b|2.其中正确的是________.(填序号)类型二平面向量数量积有关的参数问题命题角度1已知向量垂直求参数值例2已知两个单位向量a,b的夹角为60°,c=ta+(1-t)·b,且b⊥c,则t=________________。反思与感悟由两向量垂直求参数一般是利用性质:a⊥b⇔a·b=0。跟踪训练2已知向量a=(k,3),b=(1,4),c=(2,1),且(2a-3b)⊥c,则实数k等于()A.-eq\f(9,2)B.0C.3D.eq\f(15,2)命题角度2由两向量夹角的取值范围求参数的取值范围例3已知e1与e2是两个互相垂直的单位向量,若向量e1+ke2与ke1+e2的夹角为锐角,则k的取值范围为________.反思与感悟由两向量夹角θ的取值范围,求参数的取值范围,一般利用以下结论:对于非零向量a,b,θ∈[0,eq\f(π,2))⇔a·b>0,θ∈(eq\f(π,2),π]⇔a·b〈0.跟踪训练3设两个向量e1,e2满足|e1|=2,|e2|=1,e1,e2的夹角为60°,若向量2te1+7e2与e1+te2的夹角为钝角,求实数t的取值范围.1.下面给出的关系式中正确的个数是()①0·a=0;②a·b=b·a;③a2=|a|2;④|a·b|≤a·b;⑤(a·b)2=a2·b2。A.1B.2C.3D.42.已知|a|=1,|b|=eq\r(2),且(a+b)与a垂直,则a与b的夹角是()A.60°B.30°C.135°D.45°3.已知平面向量a,b满足|a|=3,|b|=2,a与b的夹角为60°,若(a-mb)⊥a,则实数m的值为()A.1B.0C.2D.34.已知正三角形ABC的边长为1,设eq\o(AB,\s\up6(→))=c,eq\o(BC,\s\up6(→))=a,eq\o(CA,\s\up6(→))=b,那么a·b+b·c+c·a的值是()A。eq\f(3,2) B.eq\f(1,2)C.-eq\f(3,2) D.-eq\f(1,2)5.已知|a|=2,|b|=1,(2a-3b)·(2a+b)=9。(1)求a与b之间的夹角θ;(2)求向量a在a+b上的射影.1.数量积对结合律不一定成立,因为(a·b)·c=|a||b|·cos〈a,b〉·c是一个与c共线的向量,而(a·c)·b=|a||c|cos〈a,c〉·b是一个与b共线的向量,若b与c不共线,则两者不相等.2.在实数中,若ab=0,则a=0或b=0,但是在数量积中,即使a·b=0,也不能推出a=0或b=0,因为其中cosθ有可能为0.3.在实数中,若ab=bc,b≠0,则a=c,在向量中a·b=b·c,b≠0D/⇒a=c。
答案精析知识梳理知识点一正确错误正确错误知识点二(a+b)2=a2+2a·b+b2(a-b)2=a2-2a·b+b2(a+b)·(a-b)=a2-b2(a+b+c)2=a2+b2+c2+2a·b+2b·c+2c·a题型探究例1④跟踪训练1③例22跟踪训练2C例3(0,1)∪(1,+∞)跟踪训练3解设向量2te1+7e2与e1+te2的夹角为θ。根据题意,得cosθ=eq\f(2te1+7e2·e1+te2,|2te1+7e2||e1+te2|)<0,∴(2te1+7e2)·(e1+te2)<0。化简,得2t2+15t+7<0,解得-7〈t〈-eq\f(1,2)。当θ=π时,也有(2te1+7e2)·(e1+te2)〈0,但此时夹角不是钝角.设2te1+7e2=λ(e1+te2),λ<0,则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2t=λ,,7=λt,,λ〈0,))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ=-\r(14),,t=-\f(\r(14),2).))∴实数t的取值范围是(-7,-eq\f(\r(14),2))∪(-eq\f(\r(14),2),-eq\f(1,2)).当堂训练1.C2.C
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