2017-2018版高中数学第四章导数应用1.1导数与函数的单调性学案1-1

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精PAGE19学必求其心得，业必贵于专精PAGE1．1导数与函数的单调性学习目标1。理解导数与函数的单调性的关系。2。掌握利用导数判断(证明）函数单调性的方法。3.能利用导数求不超过三次多项式函数的单调区间．知识点一函数的单调性与导函数正负的关系思考观察下列各图，完成表格内容函数及其图像切线斜率k正负导数正负单调性正［1,＋∞)上单调______R上单调________负(0,＋∞）上单调______（0，＋∞）上单调______(－∞，0）上单调______梳理一般地，设函数y＝f(x)，在区间(a,b)上(1)如果f′（x）>0，则f(x)在该区间上是增加的．（2）如果f′(x）<0，则f(x）在该区间上是减少的．导数值切线的斜率倾斜角曲线的变化趋势函数的单调性>0____0____角____单调____<0____0____角____单调____知识点二函数的变化快慢与导数的关系思考我们知道导数的符号反映函数y＝f（x）的增减情况，怎样反映函数y＝f(x)增减的快慢呢?能否从导数的角度解释变化的快慢呢？梳理一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化得快，这时,函数的图像就比较“陡峭”（向上或向下）；反之，函数的图像就“平缓”一些．类型一原函数与导函数的关系例1已知函数y＝f(x)的图像如图所示，则函数y＝f′（x)的图像可能是图中的（)反思与感悟（1）对于原函数图像，要看其在哪个区间内单调递增，则在此区间内导数值大于零．在哪个区间内单调递减，则在此区间内导数值小于零．根据导数值的正负可判定导函数图像．（2）对于导函数的图像可确定原函数的增减区间及增减快慢．跟踪训练1已知y＝f′（x)的图像如图所示，则y＝f(x）的图像最有可能是如图所示的(）类型二单调区间的求解及单调性证明命题角度1求函数的单调区间例2求f（x)＝3x2－2lnx的单调区间．反思与感悟求函数y＝f（x）的单调区间的步骤（1)确定函数y＝f(x)的定义域．（2)求导数y′＝f′（x)．(3）解不等式f′(x）>0，函数在定义域内的解集上为增函数．（4）解不等式f′（x）<0,函数在定义域内的解集上为减函数．跟踪训练2求函数f(x）＝eq\f（ex,x－2）的单调区间．命题角度2证明函数的单调性例3证明函数f（x）＝eq\f（lnx,x）在区间（0,2）上是单调递增函数．反思与感悟利用导数证明不等式的一般步骤(1)构造函数:F(x)＝f(x）－g(x）．(2）求导：F′(x）＝f′（x）－g′（x)．（3）判断函数的单调性．（4)若F(x）在区间上的最小值大于等于0,则f(x）≥g（x）；若F(x）在区间上的最大值小于等于0，则f(x）≤g（x）．跟踪训练3证明：函数f（x）＝eq\f(sinx,x)在区间eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f（π，2），π))上是减少的．类型三含参数函数的单调性例4若函数f（x）＝kx－lnx在区间（1，＋∞）上单调递增,则k的取值范围是________．引申探究试求函数f(x）＝kx－lnx的单调区间．反思与感悟(1)讨论含有参数的函数的单调性，通常归结为求含参数不等式的解集的问题，而对含有参数的不等式要针对具体情况进行讨论，但始终注意定义域对单调性的影响以及分类讨论的标准．（2）利用导数法解决取值范围问题的两个基本思路①将问题转化为不等式在某区间上的恒成立问题，即f′（x)≥0（或f′（x)≤0)恒成立,利用分离参数或函数性质求解参数范围，然后检验参数取“＝"时是否满足题意;②先令f′(x）〉0(或f′(x)<0），求出参数的取值范围后,再验证参数取“＝”时f（x）是否满足题意．(3)恒成立问题的重要思路①m≥f（x）恒成立⇒m≥f（x）max；②m≤f(x)恒成立⇒m≤f(x）min。跟踪训练4已知函数f(x)＝x2＋2alnx.（1）试讨论函数f（x）的单调区间；（2)若函数g(x）＝eq\f（2,x)＋f（x）在［1，2］上是减函数，求实数a的取值范围．1．f(x)＝（x－3)ex的单调递增区间是（）A．（－∞,2) B．(0,3）C．（1,4） D．(2,＋∞)2．函数y＝f(x）在定义域(－eq\f（3,2）,3)内可导，其图像如图所示，记y＝f（x)的导函数为y＝f′（x）,则不等式f′(x)≤0的解集是（)A．[－eq\f（1,3），1]∪[2，3）B．[－1，eq\f(1，2）]∪［eq\f（4，3)，eq\f（8,3）]C．（－eq\f（3，2）,eq\f(1,2)）∪［1，2]D．（－eq\f（3，2),－1）∪［eq\f(1，2)，eq\f（4,3)]∪［eq\f(8,3)，3]3．若函数f（x)＝x3＋2x2＋mx＋1在（－∞，＋∞）上是增加的，则m的取值范围是(）A．m≥eq\f（4,3) B．m>eq\f（4，3)C．m≤eq\f（4，3) D．m<eq\f(4,3）4．若函数y＝f（x）＝a(x3－x）的单调减区间为eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r（3),3）,\f(\r（3）,3））)，则a的取值范围是________．5．已知a>0且a≠1，证明：函数y＝ax－xlna在(－∞，0)上是减少的．1．导数的符号反映了函数在某个区间上的单调性,导数绝对值的大小反映了函数在某个区间或某点附近变化的快慢程度．2．利用导数求函数f（x)的单调区间的一般步骤:(1）确定函数f（x)的定义域;(2）求导数f′(x）;（3）在函数f（x)的定义域内解不等式f′（x）>0和f′(x）〈0；（4)根据(3)的结果确定函数f(x)的单调区间．

答案精析问题导学知识点一思考正递增正正递增负递减负负递减负负递减梳理(2)>锐上升递增〈钝下降递减知识点二思考如图所示,函数y＝f(x)在（0，b）或（a,0）内导数的绝对值较大,图像“陡峭”，在(b,＋∞）或（－∞，a）内导数的绝对值较小，图像“平缓”．题型探究例1C[由函数y＝f(x）的图像的增减变化趋势判断函数y＝f′（x）的正、负情况如下表：x(－1，b）（b，a)(a,1)f(x)f′(x)－＋－由表可知函数y＝f′(x)的图像，当x∈（－1，b）时，函数图像在x轴下方;当x∈(b，a)时，函数图像在x轴上方；当x∈（a，1）时,函数图像在x轴下方．故选C.］跟踪训练1C［由f′(x)>0（f′（x）<0)的分界点判断原函数在此分界点两侧的图像的上升和下降趋势．由已知可得x的取值范围和f′(x）的正、负,f（x)的增减变化情况如下表所示:x(－∞，0）（0，2)(2，＋∞）f′（x）＋－＋f（x)由表可知f(x）在（－∞，0)上是增加的，在（0，2)上是减少的，在(2，＋∞)上是增加的，满足条件的只有C，故选C。]例2解f(x）＝3x2－2lnx的定义域为（0，＋∞)．f′（x)＝6x－eq\f(2,x）＝eq\f（23x2－1，x)＝eq\f（2\r（3）x－1\r(3)x＋1,x)，由x>0，解f′（x）>0，得x〉eq\f（\r(3），3).由x<0，解f′（x)<0，得0〈x<eq\f（\r(3),3）.∴函数f(x)＝3x2－2lnx的单调递增区间为(eq\f（\r(3）,3)，＋∞)，单调递减区间为(0，eq\f（\r(3)，3))．跟踪训练2解函数f（x)的定义域为（－∞，2）∪（2，＋∞)．f′(x)＝eq\f(exx－2－ex，x－22)＝eq\f（exx－3，x－22）.因为x∈（－∞，2）∪(2，＋∞)，所以ex〉0，（x－2）2〉0.由f′(x）〉0,得x>3,所以函数f（x)的单调递增区间为(3,＋∞)；由f′（x)〈0,得x<3。又函数f(x)的定义域为(－∞，2）∪(2，＋∞)，所以函数f(x)的单调递减区间为（－∞，2）和（2，3）．例3证明由题意，得f′（x)＝eq\f(\f(1,x）·x－lnx,x2）＝eq\f（1－lnx，x2).∵0〈x<2，∴lnx<ln2<1,1－lnx>0，∴f′(x)＝eq\f（1－lnx,x2)>0.根据导数与函数单调性的关系,可得函数f(x)＝eq\f（lnx，x）在区间(0,2)上是单调递增函数．跟踪训练3证明f′(x)＝eq\f（xcosx－sinx,x2),又x∈eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(π，2），π))，则cosx<0,所以xcosx－sinx<0，所以f′(x)〈0，所以f(x）在eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f（π,2)，π）)上是减少的．例4[1,＋∞）解析由于f′（x)＝k－eq\f(1,x)，f(x)＝kx－lnx在区间(1,＋∞）上单调递增⇔f′(x)＝k－eq\f(1，x)≥0在(1，＋∞）上恒成立．由于k≥eq\f（1，x)，而0〈eq\f（1，x)<1，所以k≥1。即k的取值范围为[1，＋∞)．引申探究解f（x)＝kx－lnx的定义域为(0，＋∞),f′（x)＝k－eq\f（1,x），当k≤0时,函数的单调递减区间为（0，＋∞)；当k〉0时，函数的单调递增区间为(eq\f（1,k）,＋∞）,单调递减区间为（0,eq\f(1，k)）．跟踪训练4解（1)f′(x）＝2x＋eq\f(2a，x）＝eq\f(2x2＋2a,x），函数f（x）的定义域为（0,＋∞)．①当a≥0时，f′(x）〉0，f（x)的单调递增区间为（0，＋∞）；②当a<0时，f′（x）＝eq\f（2x＋\r（－a）x－\r（－a),x),当x变化时，f′(x）,f（x)的变化情况如下表：x(0,eq\r(－a）)eq\r（－a）（eq\r（－a），＋∞）f′(x）－0＋f（x）递减递增由上表可知,函数f（x)的单调递减区间是（0,eq\r（－a）)；单调递增区间是(eq\r(－a）,＋∞)．(2）由g(x）＝eq\f（2,x)＋x2＋2alnx,得g′(x)＝－eq\f(2,x2）＋2x＋eq\f(2a，x），由已知函数g(x）为[1，2]上的单调减函数，则g′(x）≤0在[1，2]上恒成立，即－eq\f（2,x2)＋2x＋eq\f（2a,x)≤0在［1，2]上恒成立，即a≤eq\f(1,x)－x2在[1，2]上恒成立．令h（x)＝eq\f（1,x）－x2，则h′(x)＝－eq\f(1,x2)－2x＝－(eq\f（1,x2）＋2x)<0，x∈［1,2]，所以h(x)在[1,2］上为减函数，h（x）min＝h(2)＝－eq\f(7，2），所以a≤－eq\f(7，2）.故实数a的取值范围为{a|a≤－eq\f（7，2)｝．当堂训练1．D