2017-2018版高中数学第二章统计2.4线性回归方程学案版3

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精PAGE18学必求其心得，业必贵于专精PAGE2.4线性回归方程学习目标1。了解相关关系、线性相关的概念；2。会根据散点图判断数据是否具有相关关系；3。会求线性回归方程，并能根据线性回归方程做出合理判断．知识点一相关关系思考数学成绩y与学习数学所用时间t之间的关系,能否用函数关系刻画?梳理相关关系：与函数关系不同,相关关系是一种变量之间__________的联系，但不是__________的关系．知识点二散点图1．散点图：将样本中n个数据点(xi，yi)（i＝1,2，…，n)描在平面直角坐标系中得到的图形．2．利用散点图可以大致确定两个变量是不是有相关关系，以及相关性强弱．知识点三最小平方法及线性回归方程思考1若散点大致分布在一条直线附近，如何确定这条直线比较合理?思考2任何一组数据都可以由最小二乘法得出线性回归方程吗?梳理线性回归方程:能用直线方程________________近似表示的相关关系叫做____________关系，该方程叫________________．最小平方法是一种求回归直线的方法，用这种方法求得的回归直线能使样本数据的点到回归直线的距离的平方和最小．给出一组数据（x1，y1)，（x2,y2),…，(xn，yn)，用最小平方法求得线性回归方程的系数a，b满足eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(b＝，,a＝。)）上式还可以表示为eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（b＝,＝，，,a＝。））类型一变量之间相关关系的判断例1在下列两个变量的关系中，哪些是相关关系？（1）正方形边长与面积之间的关系；(2)作文水平与课外阅读量之间的关系;(3）人的身高与年龄之间的关系；（4）降雪量与交通事故发生率之间的关系．反思与感悟如果能够从两个变量的观察数据之间发现相关关系是极为有意义的，由此可以进一步研究二者之间是否蕴涵因果关系，从而发现引起这种相关关系的本质原因是什么．跟踪训练1有下列关系：①老师的执教水平与学生的学习成绩之间的关系；②曲线上的点与该点的坐标之间的关系；③苹果的产量与气候之间的关系；④森林中的同一种树木，其横截面直径与高度之间的关系；⑤学生与其学号之间的关系．其中有相关关系的是________．(填序号）类型二散点图及应用例2在一次对人体脂肪含量和年龄关系的研究中，研究人员获得了一组样本数据：年龄23273941454950脂肪9。517。821。225。927。526。328.2年龄53545657586061脂肪29.630.231.430。833。535。234。6画出散点图，分析年龄与人体脂肪含量的关系．反思与感悟画散点图时应注意合理选择单位长度，避免图形过大或过小，或者是点的坐标在坐标系中画不准，使图形失真，导致得出错误结论．相关关系的散点图不一定分布在一条直线附近，也可能是曲线．跟踪训练2下表为我国在公元1000年到2000年间的人口数量．（1)试画出散点图；（2)年份与人口是相关关系吗?如果是,是正相关还是负相关？你觉得用什么函数模型模拟效果比较好？年份人口/亿13930.615780。61764218494.119284。719495。4198210。3199011.6反思与感悟函数关系与相关关系之间有密切联系,可以用函数关系来模拟相关关系，也可借助散点图来发现两变量之间的函数关系，在一定条件下，两种关系还可相互转化．类型三线性回归方程的求法及应用例3下表为某地近几年机动车辆数与交通事故数的统计资料,请判断机动车辆数与交通事故数之间是否具有线性相关关系．如果具有线性相关关系，求出线性回归方程；如果不具有线性相关关系,说明理由．机动车辆数x/103辆95110112120129135150180交通事故数y/103件6.27。57.78.58。79.810。213反思与感悟对一组数据进行线性回归分析时，应先画出其散点图，看其是否呈直线形,若呈直线形，再依系数a，b的计算公式，算出a，b.求a，b时，先计算平均数eq\x\to（x），eq\x\to(y);接着计算xi与yi的积，然后求∑xiyi及∑xeq\o\al（2，i）；最后将结果代入公式求b;用a＝eq\x\to(y）－beq\x\to（x)求a。跟踪训练3下表数据是退水温度x（℃)对黄酮延长性y(%)效应的试验结果，y是以延长度计算的,且对于给定的x，y为正态变量,其方差与x无关．x(℃）300400500600700800y（%)405055606770(1）画出散点图；(2）指出x，y是否线性相关；（3）若线性相关,求y关于x的线性回归方程；（4)估计退水温度是1000℃时，黄酮延长性的情况．1．下列两个变量之间的关系，哪个不是函数关系________．①正方体的棱长和体积；②圆半径和圆的面积；③正n边形的边数和内角度数之和；④人的年龄和身高．2．如图所示的五组数据（x,y)中，去掉__________后，剩下的4组数据相关性增强．3．设某大学的女生体重y(单位：kg）与身高x（单位:cm)具有线性相关关系，根据一组样本数据(xi，yi)(i＝1，2，…,n），用最小平方法建立的线性回归方程为eq\o(y,\s\up6（^））＝0。85x－85.71，则下列结论中不正确的是________．①体重y与身高x具有函数间的关系；②回归直线过（eq\x\to（x）,eq\x\to(y）)点；③若该大学某女生身高增加1cm,则其体重约增加0.85kg;④若该大学某女生身高为170cm，则可判定其体重必为58.79kg。4．某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表:广告费用x(万元）4235销售额y（万元)49263954根据上表可得线性回归方程eq\o（y,\s\up6（^)）＝bx＋a中的b为9。4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为________万元．1．求样本数据的回归方程,可按下列步骤进行：第一步计算平均数eq\x\to(x),eq\x\to（y).第二步求和eq\i\su(i＝1，n，x）iyi，eq\i\su（i＝1,n，x）eq\o\al（2，i）.第三步计算b＝eq\f(\i\su(i＝1,n,）xi－\x\to（x)yi－\x\to（y）,\i\su(i＝1,n，）xi－\x\to(x)2）＝eq\f(\i\su(i＝1，n，x)iyi－n\x\to(x）\x\to(y)，\i\su(i＝1，n,x）\o\al（2，i)－n\x\to（x)2），a＝eq\x\to(y）－beq\x\to(x）。第四步写出回归方程eq\o(y,\s\up6（^）)＝bx＋a。2．回归方程被样本数据唯一确定，各样本点大致分布在回归直线附近．对同一个总体，不同的样本数据对应不同的回归直线，所以回归直线也具有随机性．3．对于任意一组样本数据，利用上述公式都可以求得“回归方程",如果这组数据不具有线性相关关系,即不存在回归直线，那么所得的“回归方程”是没有实际意义的．因此，对一组样本数据，应先作散点图，在具有线性相关关系的前提下再求回归方程．

答案精析问题导学知识点一思考一般来说，学数学的时间越长,成绩越好．但用时10小时，数学成绩却不是一个确定的数字．故不能用函数关系刻画．梳理有一定确定性知识点三思考1应该使散点整体上最接近这条直线．思考2用最小二乘法求线性回归方程的前提是先判断所给数据是否具有线性相关关系（可利用散点图来判断)，否则求出的线性回归方程是无意义的．梳理eq\o(y,\s\up6（^）)＝bx＋a线性相关线性回归方程eq\f（n\o(∑\s\up6（n),\s\do4（i＝1）)xiyi－\o（∑，\s\up6(n）,\s\do4（i＝1)）xi\o(∑，\s\up6(n),\s\do4（i＝1）)yi，n\o(∑,\s\up6（n），\s\do4（i＝1）)x\o\al(2，i)－\o(∑，\s\up6（n),\s\do4（i＝1）)xi2）eq\x\to(y)－beq\x\to（x）eq\f(\o(∑\s\up6（n)，\s\do4(i＝1）)xiyi－n\x\to（x)\x\to(y），\o（∑,\s\up6（n），\s\do4(i＝1））x\o\al(2，i）－n\x\to（x)2）eq\f（\o(∑\s\up6(n），\s\do4（i＝1))xi－\x\to(x)yi－\x\to（y),\o（∑，\s\up6（n),\s\do4(i＝1）)xi－\x\to(x)2）eq\x\to（y）－beq\x\to(x）题型探究例1解两变量之间的关系有:函数关系与带有随机性的相关关系．（1)正方形的边长与面积之间的关系是函数关系．(2)作文水平与课外阅读量之间的关系不是严格的函数关系,但是具有相关性，因而是相关关系．（3）人的身高与年龄之间的关系既不是函数关系，也不是相关关系，因为人的年龄达到一定时期身高就不发生明显变化了，因而它们不具备相关关系．(4）降雪量与交通事故发生率之间具有相关关系．跟踪训练1①③④例2解散点图如下：在散点图中，点分布在从左下角到右上角的区域，故人的年龄与人体脂肪含量是相关关系．跟踪训练2解（1)散点图如下：(2)由图可知，我国在1000年到2000年间的人口数量与年份是相关关系,且为正相关．因为增长速度越来越快，用指数模型模拟效果比较合适．例3解在直角坐标系中画出数据的散点图如图：直观判断散点在一条直线附近，故具有线性相关关系．从而计算相应的数据之和：eq\i\su（i＝1，8,x)i＝1031，eq\i\su(i＝1,8，y)i＝71。6，eq\i\su(i＝1,8，x）eq\o\al（2，i）＝137835，eq\i\su（i＝1,8，x)iyi＝9611。7。将它们代入公式计算得b≈0.0774，a≈－1.0241，所以，所求线性回归方程为eq\o（y,\s\up6（^)）＝0。0774x－1。0241。跟踪训练3解(1）散点图如图:（2）由散点图可以看出样本点分布在一条直线的附近,可见y与x线性相关．（3)列出下表并用科学计算器进行有关计算.i123456xi300400500600700800yi405055606770xiyi120002000027500360004690056000xeq\o\al(2,i）90000160000250000360000490000640000eq\x\to（x）＝550,eq\x\to（y)＝57eq\o（∑，\s\up6(6）,\s\do4(i＝1））x2i＝1990000，eq\o（∑，\s\up6(6)，\s\do4(i＝1））xiyi＝198400于是可得b＝eq\f(\o（∑,\s\up6（6),\s\do4(i＝1））xiyi－6\x\to（x)\x\to(y）,\o（∑,\s\up6（6）,\s\do4（i＝1）)x\o\al（2，i)－6\x\to(x)2）＝eq\f（198400－6×550×57，1990000－6×5502）≈0。05886，a＝eq\x\to(y）－beq\x\to（x）＝57－0。05886×550＝24.627。因此所求的线性回归方程为eq\o(y，\s\up6（^））＝0。05886x＋24。627.（4）将x＝1000代入线性回归方程得eq\o（y，\s\up6（^））＝0。05886×1000＋24。627＝83。487，即退水温度是1000℃时，黄酮延长性大约是83.487%。当堂训练1．④解析①②③都是函数关系,人的年龄和身高是一种不确定的关系，故④不是函数关系．2．(4,10）解析去除（4，10)后，其余四点大致分布在一条直线附近,相关性增强．3．①④解析