2017-2018版高中数学第二章解析几何初步章末复习课(一)学案2

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精PAGE17学必求其心得，业必贵于专精PAGE第二章解析几何初步学习目标1。整合知识结构,梳理知识网络，进一步巩固、深化所学知识.2.培养综合运用知识解决问题的能力,能灵活选择直线方程的形式并熟练运用待定系数法求解，渗透数形结合、分类讨论的数学思想．1．直线的倾斜角与斜率(1)直线的倾斜角α的范围是____________________．（2)当k存在时，α≠90°；当k不存在时，α＝90°.(3）斜率的求法：①依据倾斜角；②依据直线方程；③依据两点的坐标．2．直线方程几种形式的转化3．两条直线的位置关系设l1:A1x＋B1y＋C1＝0，l2:A2x＋B2y＋C2＝0,则（1）平行⇔A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0；（2)相交⇔A1B2－A2B1≠0;(3）重合⇔A1＝λA2，B1＝λB2，C1＝λC2（λ≠0)或eq\f(A1，A2）＝eq\f(B1，B2)＝eq\f（C1,C2）（A2B2C2≠0)．4．距离公式（1)两点间的距离公式已知点P1（x1,y1)，P2（x2，y2),则|P1P2｜＝________________________.(2)点到直线的距离公式①点P（x0，y0)到直线l:Ax＋By＋C＝0的距离d＝________________________;②两平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0的距离d＝________________________。类型一待定系数法的应用例1过点A(3，－1)作直线l交x轴于点B，交直线l1：y＝2x于点C,若|BC|＝2｜AB|，求直线l的方程．反思与感悟待定系数法，就是所研究的式子（方程）的结构是确定的，但它的全部或部分系数是待定的，然后根据题中条件来确定这些系数的方法．直线的方程常用待定系数法求解．选择合适的直线方程的形式是很重要的，一般情况下，与截距有关的，可设直线的斜截式方程或截距式方程；与斜率有关的，可设直线的斜截式或点斜式方程等．跟踪训练1求在两坐标轴上截距相等，且到点A(3,1）的距离为eq\r（2)的直线的方程．类型二分类讨论思想的应用例2过点P（－1，0)、Q（0，2）分别作两条互相平行的直线,使它们在x轴上截距之差的绝对值为1,求这两条直线的方程．反思与感悟本章涉及直线方程的形式时，常遇到斜率存在性问题的讨论，如两直线平行（或垂直)时，斜率是否存在；已知直线过定点时，选择点斜式方程，要考虑斜率是否存在．跟踪训练2已知经过点A(－2,0）和点B（1，3a)的直线l1与经过点P（0，－1)和点Q(a，－2a)的直线l2互相垂直,求实数a的值．类型三最值问题eq\x（命题角度1可转化为距离求最值的问题)例3求函数y＝｜eq\r（x2－2x＋5）－eq\r（x2－4x＋5）|的最大值与最小值，并求取最大值或最小值时x的值．反思与感悟数形结合是解析几何的灵魂,两点间的距离公式和点到直线的距离公式是数形结合常见的结合点，常用这两个公式把抽象的代数问题转化为几何问题来解决，也能把几何问题转化为代数问题来解决，这就是数形结合．跟踪训练3已知实数x、y满足4x＋3y－10＝0,求x2＋y2的最小值．eq\x（命题角度2利用对称性求最值）例4已知直线l：x－2y＋8＝0和两点A（2，0)，B（－2，－4)．（1)在直线l上求一点P，使|PA｜＋｜PB|最小；(2）在直线l上求一点P，使｜|PB|－|PA｜｜最大．反思与感悟（1）中心对称①两点关于点对称:设P1(x1，y1）,P（a,b)，则点P1（x1，y1)关于点P(a,b）对称的点为P2（2a－x1,2b－y1）,即点P为线段P1P2的中点；②两直线关于点对称：设直线l1,l2关于点P对称,这时其中一条直线上任一点关于点P对称的点都在另外一条直线上，必有l1∥l2，且点P到直线l1、l2的距离相等．（2）轴对称两点关于直线对称:设点P1,P2关于直线l对称，则直线P1P2与l垂直，且P1P2的中点在l上．跟踪训练4在直线l：3x－y－1＝0上求一点P，使得：(1)P到A(4,1）和B(0,4）的距离之差最大;(2）P到A（4，1)和C(3,4）的距离之和最小．1．若方程（6a2－a－2)x＋（3a2－5a＋2）y＋a－1＝0表示平行于x轴的直线，则a的值是（）A.eq\f(2,3） B。eq\f(1,2）C。eq\f(2,3)，－eq\f（1,2) D．－eq\f(1，2）2．倾斜角为150°，在x轴上的截距为－1的直线方程是（)A。eq\r（3）x－3y＋1＝0 B。eq\r(3)x－3y－eq\r(3）＝0C.eq\r（3)x＋3y＋eq\r（3）＝0 D。eq\r(3）x＋3y±eq\r（3）＝03．已知直线l不经过第三象限,若其斜率为k,在y轴上的截距为b（b≠0）,则()A．kb<0 B．kb≤0C．kb>0 D．kb≥04．直线l：x－y＋1＝0关于y轴对称的直线方程为（）A．x＋y－1＝0 B．x－y＋1＝0C．x＋y＋1＝0 D．x－y－1＝05．若直线mx－（m＋2）y＋2＝0与3x－my－1＝0互相垂直，则点（m,1)到y轴的距离为________．1．一般地,与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线方程可设为Ax＋By＋m＝0；与之垂直的直线方程可设为Bx－Ay＋n＝0.2．过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ（A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R），但不包括直线l2.3．点到直线的距离与两平行线间的距离的使用条件：(1）求点到直线的距离时，应先化直线方程为一般式．（2）求两平行线之间的距离时，应先将方程化为一般式且x，y的系数对应相等．答案精析知识梳理1．（1)0°≤α〈180°2．y＝kx＋beq\f（x，a）＋eq\f(y,b）＝14．（1）eq\r（x2－x12＋y2－y12)（2)①eq\f（｜Ax0＋By0＋C｜，\r（A2＋B2））②eq\f（｜C1－C2|,\r(A2＋B2))题型探究例1解当直线l的斜率不存在时，直线l：x＝3，∴B（3,0），C(3,6)．此时|BC|＝6,|AB|＝1，|BC｜≠2｜AB｜，∴直线l的斜率存在．设直线l的方程为y＋1＝k（x－3）,显然k≠0且k≠2。令y＝0，得x＝3＋eq\f(1，k）,∴B（3＋eq\f（1,k)，0），由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝2x，,y＋1＝kx－3，））得点C的横坐标xC＝eq\f（3k＋1,k－2).∵｜BC|＝2|AB|，∴|xB－xC｜＝2｜xA－xB|，∴｜eq\f（3k＋1,k－2）－eq\f（1，k）－3｜＝2｜eq\f（1,k）|,∴eq\f(3k＋1，k－2）－eq\f（1,k)－3＝eq\f(2，k)或eq\f（3k＋1,k－2)－eq\f（1,k）－3＝－eq\f(2,k）,解得k＝－eq\f(3，2)或k＝eq\f(1,4)。∴所求直线l的方程为3x＋2y－7＝0或x－4y－7＝0。跟踪训练1解当直线过原点时，设直线的方程为y＝kx，即kx－y＝0.由题意知，eq\f(｜3k－1|,\r（k2＋1）)＝eq\r（2），解得k＝1或k＝－eq\f(1,7）。所以所求直线的方程为x－y＝0或x＋7y＝0，当直线不经过原点时，设所求直线的方程为eq\f(x，a)＋eq\f(y,a）＝1,即x＋y－a＝0。由题意知，eq\f(｜3＋1－a｜,\r(2））＝eq\r(2),解得a＝2或a＝6。所以所求直线的方程为x＋y－2＝0或x＋y－6＝0。综上可知,所求直线的方程为x－y＝0或x＋7y＝0或x＋y－2＝0或x＋y－6＝0.例2解当两条直线的斜率不存在时,两条直线的方程分别为x＝－1，x＝0，它们在x轴上截距之差的绝对值为1，符合题意．当直线的斜率存在时，设其斜率为k，则两条直线的方程分别为y＝k(x＋1），y－2＝kx.令y＝0,得x＝－1与x＝－eq\f（2,k）。由题意得｜－1＋eq\f(2，k)|＝1，即k＝1.∴两条直线的方程分别为y＝x＋1,y＝x＋2，即x－y＋1＝0,x－y＋2＝0.综上可知，所求两条直线的方程分别为x＝－1,x＝0或x－y＋1＝0，x－y＋2＝0。跟踪训练2解直线l1的斜率k1＝eq\f（3a－0,1－－2）＝a，当a≠0时，直线l2的斜率k2＝eq\f(－2a－－1，a－0)＝eq\f(1－2a，a).∵l1⊥l2，∴k1·k2＝－1，即a·eq\f（1－2a，a）＝－1，得a＝1.当a＝0时,P（0，－1),Q(0，0），这时直线l2为y轴，A(－2，0)，B(1,0)，这时直线l1为x轴，显然l1⊥l2。综上可知，实数a的值为1或0。例3解将已知条件变形为y＝|eq\r（x－12＋22）－eq\r（x－22＋12)｜＝｜eq\r(x－12＋0－22)－eq\r(x－22＋0－12）｜。故设M（x，0)，A(1,2），B（2，1)，∴原条件变为y＝｜|MA｜－|MB|｜。则上式的几何意义为x轴上的点M(x，0）到定点A(1，2)与B(2,1)的距离的差的绝对值，由图可知，当|AM|＝｜BM|时，y取最小值0。即eq\r（x－12＋4)＝eq\r(x－22＋1），解得x＝0，此时点M在坐标原点，ymin＝0.又由三角形性质可知，｜|MA|－｜MB||≤|AB｜，即当｜｜MA｜－|MB｜|＝｜AB｜，即当A、B、M三点共线时，y取最大值．由已知，得直线AB的方程为y－2＝－（x－1)，即y＝－x＋3，令y＝0,得x＝3,∴当x＝3时,ymax＝|AB|＝eq\r(2－12＋1－22）＝eq\r(2）。跟踪训练3解设点P(x,y)，则点P在直线l：4x＋3y－10＝0上，x2＋y2＝(eq\r(x2＋y2))2＝（eq\r(x－02＋y－02))2＝｜OP｜2。如图所示,当OP⊥l时,|OP｜取最小值｜OM｜，原点O到直线l的距离|OM|＝d＝eq\f(|－10|，\r(42＋32）)＝2，即|OP|的最小值是2，所以x2＋y2的最小值是4.例4解（1）设点A关于直线l的对称点为A′（m，n)，则eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（\f（n－0，m－2）＝－2，,\f(m＋2,2)－2·\f(n＋0,2）＋8＝0，)）解得eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝－2，，n＝8，）)故A′(－2,8)．因为P为直线l上的一点，则|PA|＋|PB｜＝|PA′｜＋｜PB|≥|A′B｜,当且仅当B、P、A′三点共线时,|PA|＋｜PB|取得最小值,为|A′B|，点P即是直线A′B与直线l的交点，解eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－2，，x－2y＋8＝0,))得eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（x＝－2，,y＝3，))故所求的点P的坐标为(－2，3)．(2)A，B两点在直线l的同侧，P是直线l上的一点,则｜|PB｜－｜PA｜｜≤｜AB｜,当且仅当A，B,P三点共线时,｜｜PB|－｜PA｜|取得最大值为|AB|，点P即是直线AB与直线l的交点，又直线AB的方程为y＝x－2，解eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(y＝x－2,,x－2y＋8＝0,)）得eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(x＝12,，y＝10，）)故所求的点P的坐标为（12,10)．跟踪训练4解(1)如图，点B关于直线l的对称点B′（3，3)．直线AB′的方程为2x＋y－9＝0,由eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(2x＋y－9＝0，,3x－y－1＝0，)）解得eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（x＝2，,y＝5，）)即P(2,5)．（2）如图，点C关于直线l的对称点C′(eq\f(3，5)，eq\f（24，5)）,由图像可知,|PA｜＋｜PC｜≥｜AC′|.当点P是直线AC′与l的交点时“＝”成立