数列的函数特性

数列的概念北师大版高中数学必修5第一章《数列》一、数列的概念1.定义按一定次序排列的一列数叫做数列.2.数列是特殊的函数

从函数的观点看数列,对于定义域为正整数集N*(或它的有限子集{1,2,3,…,n})的函数来说,数列就是这个函数当自变量从小到大依次取值时对应的一系列函数值,其图象是无限个或有限个孤立的点.

注:依据此观点可以用函数的思想方法来解决有关数列的问题.复习回顾二、数列的表示1.列举法2.图象法3.通项公式法

若数列的每一项

an

与项数

n

之间的函数关系可以用一个公式来表达,即

an=f(n),则

an=f(n)

叫做数列的通项公式.三、数列的分类1.按项数：有穷数列和无穷数列；2.按

an

的增减性：递增、递减、常数、摆动数列；

a1,a2,a3,……an,…….简记为：{an}数列的图象是一群孤立的点.1.据所给数列的前几项求其通项公式时，需仔细观察分析，

抓住以下几方面的特征：

(1)分式中分子、分母的特征；

(2)相邻项的变化特征；

(3)拆项后的特征；

(4)各项符号特征等，并对此进行归纳、联想.练习1：写出下列数列的一个通项公式：(1)3,5,9,17,33，…；(2)，2，，8，，…；(3)，2，…；(4)1,0,1,0，….问题8：如果一个数列{an}的首项a1=1，从第二项起每一项等于它的前一项的2倍再加1，即an=2an-1+1（n∈N，n>1），（※）你能写出这个数列的前三项吗？像上述问题中给出数列的方法叫做递推法，其中an=2an-1+1(n>1)称为递推公式。递推公式也是数列的一种表示方法。递推公式是数列所特有的表示法，它包含两个部分，一是递推关系，一是初始条件，二者缺一不可．

数列的表示1.列举法2.图象法3.通项公式法

若数列的每一项

an

与项数

n

之间的函数关系可以用一个公式来表达,即

an=f(n),则

an=f(n)

叫做数列的通项公式.4.递推公式法

如果已知数列的第一项(或前几项),

且任一项与它的前一项(或前几项)的关系可以用一个公式来表示,

这个公式就叫做数列的递推公式.注:递推公式有两要素:递推关系与初始条件.例1

设数列满足

写出这个数列的前五项。练习2：根据数列的通项公式，写出它的前5项。5，8，11，14，172，4，8，16，323，6，3，-3，-61，2，5/2，29/10，941/2903.已知数列

{an}

满足

a1=1,an=3n-1+an-1(n≥2).(1)求

a2,

a3;(2)证明:an=.3n-12(1)解:

∵a1=1,an=3n-1+an-1(n≥2),∴a2=32-1+a1=3+1=4,∴a3=33-1+a2=9+4=13.故

a2,

a3的值分别为

4,13.(2)证:

∵a1=1,an=3n-1+an-1,∴an-an-1=3n-1.∴an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1)=1+3+32+…+3n-1

3n-12故

an=.3n-123n-13-13-1==.分析：数列的增减性递增数列——an

＜an+1递减数列——an

＞an+1常数列:an=an+1摆动数列:an－1

＜an

且an

＞an+1方法：作差比较解:例4：求数列中的数值最大的项.3.已知数列{an}的通项公式为an＝n2－5n＋4.(1)数列中有多少项是负数？

(2)n为何值时，an有最小值？并求出最小值.解：(1)由n2－5n＋4＜0，解得1＜n＜4.∵n∈N*，∴n＝2,3.∴数列中有两项a2，a3是负数.(2)∵an＝n2－5n＋4＝n(n-)2-的对称轴方程为n＝又n∈N*，∴n＝2或n＝3时，an有最小值，其最小值为a2＝a3＝－2.5.已知数列

{an}

的通项

an=(n+1)()n(nN*),试问该数列{an}

有没有最大项?若有,求出最大项和最大项的项数;若没有,说明理由.1110∴当

n<9

时,an+1-an>0,即

an+1>an;当

n>9

时,an+1-an<0,即

an+1<an.∴数列

{an}

有最大项,其项数为

9

或

10,其值为解:∵

an+1-an=(n+2)(

)n+1-(n+1)(

)n

11101110=(

)n∙

.1110119-n

当

n=9

时,an+1-an=0,即

a10=a9;10∙(

)9.1110解法二:由

an≥an+1an≥an-1(n+1)(

)n≥n(

)n-111101110(n+1)(

)n≥(n+2)(

)n+111101110(n+1)(

)≥n

1110n+1≥(n+2)(

)11109≤n≤10.∴数列

{an}

有最大项,其项数为