第三章力系的合成与平衡

§3力系的基本类型§3–1平面力系合成与平衡§3–2力偶系的合成与平衡§3–3平面一般力系合成与平衡§3–4物体系统的平衡§3–6空间力系的合成与平衡第三章力系的合成与平衡§3–5考虑摩擦时物体的平衡共点力系力偶系§力系的基本类型共点力系——各力均作用于同一点的力系。平行力系——力的作用线平行的力系。平面力系——各力的作用线都在同一平面内的力系。力偶系——若干个力偶组成的力系。空间力系——各力的作用线不在同一平面内的力系。力系空间力系平面力系平面汇交力系平面一般力系平面力偶系空间汇交力系空间力偶系空间一般力系把各力矢首尾相接，形成一条有向折线段（称为力链）。加上一封闭边，就得到一个多边形，称为力多边形。2、力的多边形规则：RF1BF2CF3DF4EA空间共点力系和平面情形类似，在理论上也可以用力多边形来合成。但空间力系的力多边形为空间图形。给实际作图带来困难。RF1BF2CF3DF4EA1、平面汇交力系的合成结果

该力系的力多边形自行闭合，即力系中各力的矢量和等于零。共点力系可以合成为一个力，合力作用在力系的公共作用点，它等于这些力的矢量和，并可由这力系的力多边形的封闭边表示。矢量的表达式：R=F1+F2+F3+···+Fn2、平面汇交力系平衡的充要几何条件：§3–1平面汇交力系合成与平衡的几何法A60ºPB30ºaaC(a)NB(b)BNADAC60º30ºPEPNBNA60º30ºHK(c)解：(1)取梁AB作为研究对象。(4)解出：NA=Pcos30=17.3kN，NB=Psin30=10kN(2)画出受力图。(3)应用平衡条件画出P、NA和NB的闭合力三角形。例题3-1水平梁AB中点C作用着力P，其大小等于20kN，方向与梁的轴线成60º角，支承情况如图(a)所示，试求固定铰链支座A和活动铰链支座B的反力。梁的自重不计。

§3–1平面汇交力系合成与平衡的几何法OPASBBNDD(b)JNDKSBPI(c)解：(1)取制动蹬ABD作为研究对象。(2)画出受力图。P246ACBOED(a)(3)应用平衡条件画出P、SB和ND的闭和力三角形。例题3-2图示是汽车制动机构的一部分。司机踩到制动蹬上的力P=212N，方向与水平面成=45角。当平衡时，BC水平，AD铅直，试求拉杆所受的力。已知EA=24cm，DE=6cm点E在铅直线DA上，又B、C、D都是光滑铰链，机构的自重不计。§3–1平面汇交力系合成与平衡的几何法（5）代入数据求得：

SB=750N。（4）由几何关系得：由力三角形可得：§3–1平面汇交力系合成与平衡的几何法OPASBBNDD(b)JNDKSBPI(c)P246ACBOED(a)反之，当投影Fx

、Fy

已知时，则可求出力

F

的大小和方向：力在坐标轴上的投影：结论：力在某轴上的投影，等于力的模乘以力与该轴正向间夹角的余弦。yb´a´abFOxBFxFyAF2F1(a)F3F1F2RF3xABCD(b)合力在任一轴上的投影，等于它的各分力在同一轴上的投影的代数和。证明：以三个力组成的共点力系为例。设有三个共点力F1、F2、F3如图。合力投影定理：§3–1平面汇交力系合成与平衡的解析法合力R在x轴上投影：F1F2RF3xABCD(b)推广到任意多个力F1、F2、Fn

组成的平面共点力系，可得：abcd各力在x轴上投影：§3–1平面汇交力系合成与平衡的解析法合力的大小合力R的方向余弦根据合力投影定理得§3–1平面汇交力系合成与平衡的解析法共点力系平衡的充要解析条件：

力系中所有各力在各个坐标轴中每一轴上的投影的代数和分别等于零。空间共点力系的平衡方程:§3–1平面汇交力系合成与平衡的解析法平面共点力系的平衡方程:§3–1平面汇交力系合成与平衡的解析法解：(1)取制动蹬ABD作为研究对象。例题3-3图所示是汽车制动机构的一部分。司机踩到制动蹬上的力P=212N，方向与水平面成=45角。当平衡时，BC水平，AD铅直，试求拉杆所受的力。已知EA=24cm，DE=6cm点E在铅直线DA上，又B、C、D都是光滑铰链，机构的自重不计。OPASBBNDD(b)P246ACBOED(a)(3)列出平衡方程：联立求解，得O45°PFBFDD(b)xy又§3–1平面汇交力系合成与平衡的解析法30°BPAC30°a解：1.取滑轮B轴销作为研究对象。2.画出受力图（b)。SBCQSABPxy30°30°bB例题3-4利用铰车绕过定滑轮B的绳子吊起一重P=20kN的货物，滑轮由两端铰链的水平刚杆AB和斜刚杆BC支持于点B(图(a))。不计铰车的自重，试求杆AB和BC所受的力。§3–1平面汇交力系合成与平衡的解析法3.列出平衡方程：4.联立求解，得反力SAB为负值，说明该力实际指向与图上假定指向相反。即杆AB实际上受拉力。§3–1平面汇交力系合成与平衡的解析法SBCQSABPxy30°30°bB投影法的符号法则：当由平衡方程求得某一未知力的值为负时，表示原先假定的该力指向和实际指向相反。解析法求解共点力系平衡问题的一般步骤:1.选分离体，画受力图。分离体选取应最好含题设的已知条件。2.建立坐标系。3.将各力向各个坐标轴投影，并应用平衡方程∑Fx=0，∑Fy=0，求解。§2–4共点力系合成与平衡的解析法平面力偶系可合成为一力偶。合力偶的矩等于各分力偶矩的代数和。一、力偶系的合成§3-2平面力偶系的合成与平衡合力矩等于零，即力偶系中各力偶矩的代数和等于零。二、平面力偶系平衡的充要条件平衡方程§3-2平面力偶系的合成与平衡例题3-6图示的铰接四连杆机构OABD，在杆OA和BD上分别作用着矩为

l1和l2的力偶，而使机构在图示位置处于平衡。已知OA=r，DB=2r，α=30°，不计杆重，试求l1和l2间的关系。Dl2BNDSBAOl1NOSABAOBDαl1l2A§3-2平面力偶系的合成与平衡解：杆AB为二力杆。分别写出杆AO和BD的平衡方程：§3-2平面力偶系的合成与平衡ααDl2BNDSBAOl1NOSABA小结1、掌握共点力系合成与平衡的几何法与解析法3、熟练运用平衡方程求解共点力系的平衡问题4、理解力偶和力偶矩的概念，并运用平衡条件求解力偶系的平衡问题2、能正确地将力沿坐标轴分解并求力在坐标轴上的投影。正确理解合力投影定理作业2—1、2、8、12、13、15、18§2–3力的投影.力沿坐标轴的分解例题2-5如图所示，用起重机吊起重物。起重杆的A端用球铰链固定在地面上，而B端则用绳CB和DB拉住，两绳分别系在墙上的C点和D点，连线CD平行于x轴。已知CE=EB=DE,角α=30o，CDB平面与水平面间的夹角∠EBF=30o,重物G=10kN。如不计起重杆的重量,试求起重杆所受的力和绳子的拉力。§2–4共点力系合成与平衡的解析法1.取杆AB与重物为研究对象，受力分析如图。解：xzy30oαABDGCEFF1F2FAzy30oαABGEFF1FA其侧视图为§2–4共点力系合成与平衡的解析法3.联立求解。2.列平衡方程。zy30oαABGEFF1FA§2–4共点力系合成与平衡的解析法xzy30oαABDGCEFxzyOF1F2F3xzy45°Ol145°l2l3解：1、画出各力偶矩矢。2、合力偶矩矢的投影：例题2-6图所示的三角柱刚体是正方体的一半。在其中三个侧面各自作用着一个力偶。已知力偶（F1

，F1）