2017-2018版高中数学第二章解三角形1.1正弦定理(一)学案5

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精PAGE11学必求其心得，业必贵于专精PAGE1．1正弦定理(一）学习目标1.掌握正弦定理的内容及其证明方法.2。能运用正弦定理与三角形内角和定理解决简单的解三角形问题．知识点一正弦定理的推导思考1如图，在Rt△ABC中，eq\f(a，sinA）、eq\f(b，sinB)、eq\f(c,sinC）各自等于什么?思考2在一般的△ABC中，eq\f（a，sinA）＝eq\f(b，sinB）＝eq\f（c，sinC)还成立吗?课本是如何说明的？梳理任意△ABC中，都有eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB）＝eq\f（c,sinC)，证明方法除课本提供的方法外，还可借助边AB上的高CD＝bsinA＝asinB、三角形面积公式、外接圆来证明．知识点二正弦定理的呈现形式1.eq\f（a，sinA)＝________＝____________＝2R(其中R是____________);2．a＝eq\f（bsinA，sinB）＝eq\f(csinA,sinC）＝2RsinA;3．sinA＝eq\f（a，2R)，sinB＝________，sinC＝________.知识点三解三角形一般地,把三角形的三个角A,B,C和它们的对边a，b,c叫做三角形的元素．已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫作解三角形．类型一定理证明例1在钝角△ABC中,证明正弦定理．反思与感悟(1)本例用正弦函数定义沟通边与角内在联系，充分挖掘这些联系可以使你理解更深刻，记忆更牢固．（2)要证eq\f（a,sinA）＝eq\f(b，sinB)，只需证asinB＝bsinA，而asinB,bsinA都对应CD。初看是神来之笔，仔细体会还是有迹可循的，通过体会思维的轨迹，可以提高我们的分析解题能力．跟踪训练1如图，锐角△ABC的外接圆O半径为R，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.求证:eq\f（a，sinA)＝2R。类型二用正弦定理解三角形例2在△ABC中,已知A＝32。0°，B＝81.8°，a＝42.9cm，解三角形．反思与感悟(1)正弦定理实际上是三个等式：eq\f（a,sinA)＝eq\f（b,sinB)，eq\f（b，sinB)＝eq\f（c,sinC)，eq\f(a，sinA)＝eq\f(c，sinC），每个等式涉及四个元素,所以只要知道其中的三个就可以求另外一个．（2）具体地说，以下两种情形适用正弦定理：①已知三角形的任意两角与一边；②已知三角形的任意两边与其中一边的对角．跟踪训练2在△ABC中，已知a＝18，B＝60°,C＝75°，求b的值．类型三边角互化命题角度1边化角例3在任意△ABC中，求证：a(sinB－sinC)＋b(sinC－sinA）＋c(sinA－sinB)＝0。命题角度2角化边例4在△ABC中，A＝eq\f（π,3)，BC＝3，求△ABC周长的最大值．反思与感悟利用eq\f（a,sinA）＝eq\f（b，sinB）＝eq\f（c,sinC）＝2R或正弦定理的变形公式a＝ksinA，b＝ksinB，c＝ksinC（k〉0)能够使三角形边与角的关系相互转化．跟踪训练3在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，若A∶B∶C＝1∶2∶3,求a∶b∶c的值．1.在△ABC中，一定成立的等式是()A．asinA＝bsinB B．acosA＝bcosBC．asinB＝bsinA D．acosB＝bcosA2．在△ABC中,sinA＝sinC，则△ABC是（）A．直角三角形 B．等腰三角形C．锐角三角形 D．钝角三角形3．在△ABC中，已知BC＝eq\r（5），sinC＝2sinA，则AB＝________.4．在△ABC中，a＝eq\r（3），b＝eq\r（2）,B＝eq\f（π,4)，则A＝________。1.定理的表示形式：eq\f(a,sinA)＝eq\f（b，sinB）＝eq\f(c,sinC）＝2R，或a＝ksinA，b＝ksinB，c＝ksinC（k〉0)．2.正弦定理的应用范围：（1）已知两角和任一边，求其他两边和一角．（2）已知两边和其中一边的对角，求另一边和两角．3。利用正弦定理可以实现三角形中边角关系的相互转化：一方面可以化边为角，转化为三角函数问题来解决；另一方面，也可以化角为边，转化为代数问题来解决．

答案精析问题导学知识点一思考1eq\f（a,sinA）＝eq\f（b,sinB）＝eq\f(c，sinC）＝c.思考2在一般的△ABC中，eq\f(a，sinA）＝eq\f（b，sinB）＝eq\f(c,sinC)仍然成立，课本采用向量来证明的．知识点二1.eq\f(b，sinB）eq\f（c，sinC）△ABC外接圆的半径3。eq\f（b，2R)eq\f（c，2R)题型探究例1证明如图,过C作CD⊥AB，垂足为D，D是BA延长线上一点，根据正弦函数的定义知：eq\f(CD,b）＝sin∠CAD＝sin(180°－A)＝sinA，eq\f（CD,a）＝sinB。∴CD＝bsinA＝asinB.∴eq\f(a，sinA)＝eq\f(b，sinB）.同理,eq\f(b，sinB）＝eq\f(c，sinC）.故eq\f(a,sinA）＝eq\f(b,sinB）＝eq\f（c,sinC).跟踪训练1证明连接BO并延长，交外接圆于点A′，连接A′C,则圆周角∠A′＝∠A。∵A′B为直径,长度为2R,∴∠A′CB＝90°，∴sinA′＝eq\f(BC,A′B）＝eq\f(a,2R)，∴sinA＝eq\f(a,2R），即eq\f（a，sinA）＝2R。例2解根据三角形内角和定理，C＝180°－(A＋B）＝180°－（32。0°＋81。8°)＝66。2°。根据正弦定理,b＝eq\f（asinB，sinA)＝eq\f(42。9sin81.8°,sin32。0°)≈80。1（cm)；根据正弦定理，c＝eq\f(asinC,sinA)＝eq\f(42。9sin66.2°，sin32.0°)≈74。1(cm)．跟踪训练2解根据三角形内角和定理，A＝180°－（B＋C）＝180°－(60°＋75°）＝45°.根据正弦定理，b＝eq\f（asinB，sinA）＝eq\f（18sin60°，sin45°)＝9eq\r(6)。例3证明由正弦定理，令a＝ksinA，b＝ksinB，c＝ksinC，k>0。代入得:左边＝k(sinAsinB－sinAsinC＋sinBsinC－sinBsinA＋sinCsinA－sinCsinB)＝0＝右边，所以等式成立．例4解设AB＝c，BC＝a，CA＝b。由正弦定理，得eq\f（a，sinA）＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝eq\f(3,sin\f(π，3))＝2eq\r（3)。∴b＝2eq\r（3）sinB，c＝2eq\r（3)sinC,a＋b＋c＝3＋2eq\r(3）sinB＋2eq\r(3）sinC＝3＋2eq\r(3)sinB＋2eq\r(3）sineq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(2π，3）－B））＝3＋2eq\r（3)sinB＋2eq\r(3)·eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f（\r（3),2)cosB＋\f(1，2）sinB）)＝3＋3eq\r（3）sinB＋3cosB＝3＋6sineq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（B＋\f（π，6）)），∴当B＝eq\f（π,3）时，△ABC的周长有最大值9。跟踪训练3解∵A＋B＋C＝π，A∶B∶C＝1∶2∶3,∴A＝eq\f（π,6），B＝eq\f（π，3），C＝eq\f（π,2）,∴sinA＝eq\f（1，2),sinB＝eq\f（\r(3），2)，sinC＝1。设eq\f(a,sinA）＝eq\f(b,sinB)＝eq\f（c,sinC)＝k(k〉0)，则a＝ksinA＝eq\f(k,2)，b＝ksinB＝eq\f（\r（3）,2）k,c