2017-2018版高中数学第二章函数5简单的幂函数（一）学案

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精PAGE16学必求其心得，业必贵于专精PAGE5简单的幂函数（一）学习目标1.理解幂函数的概念.2.学会以简单的幂函数为例研究函数性质的方法.3.理解和掌握幂函数在第一象限的分类特征，能运用数形结合的方法处理幂函数有关问题．知识点一幂函数的概念思考y＝eq\f（1，x），y＝x,y＝x2三个函数有什么共同特征？梳理如果一个函数底数是自变量x,指数是常量α,即y＝xα，这样的函数称为幂函数．知识点二幂函数的图像与性质思考如图在同一坐标系内作出函数（1)y＝x；（2）；（3)y＝x2；(4)y＝x－1；（5)y＝x3的图像．填写下表:y＝xy＝x2y＝x3y＝x－1定义域值域单调性增在［0，＋∞)上______，在(－∞，0］上______在(0，＋∞）上______，在(－∞，0)上______梳理根据上表，可以归纳一般幂函数特征:(1)所有的幂函数在（0，＋∞)上都有定义，并且图像都过点________；(2)α〉0时,幂函数的图像通过________，并且在区间[0，＋∞)上是________函数．特别地，当α>1时，幂函数的图像下凸；当0〈α〈1时，幂函数的图像上凸；(3）________时，幂函数的图像在区间(0，＋∞)上是减函数；(4）幂指数互为倒数的幂函数在第一象限内的图像关于直线y＝x对称；（5)在第一象限,作直线x＝a（a>1）,它同各幂函数图像相交，按交点从下到上的顺序，幂指数按从________到________的顺序排列．类型一幂函数的概念例1已知y＝(m2＋2m－2)＋2n－3是幂函数，求m，n的值．反思与感悟只有满足函数解析式右边的系数为1,底数为自变量x，指数为常量这三个条件，才是幂函数．如:y＝3x2，y＝（2x)3,y＝eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f（x,2）))4都不是幂函数．跟踪训练1在函数y＝eq\f（1,x2)，y＝2x2，y＝x2＋x,y＝1中,幂函数的个数为(）A．0B．1C．2D．3类型二幂函数的图像及应用例2若点(eq\r（2)，2）在幂函数f(x）的图像上,点（2，eq\f（1，4）)在幂函数g（x)的图像上,问当x为何值时，（1）f（x）>g(x）;（2)f(x）＝g（x）；(3)f（x）〈g（x）．反思与感悟幂函数由于指数α的不同，它们的定义域也不同，性质也不同，幂函数的图像主要分0<α<1,α>1和α<0三种情况讨论．跟踪训练2幂函数y＝xα(α≠0),当α取不同的正数时,在区间[0，1]上它们的图像是一簇美丽的曲线（如图）．设点A(1，0），B（0，1），连接AB，线段AB恰好被其中的两个幂函数y＝xα，y＝xβ的图像三等分，即有BM＝MN＝NA.那么αβ等于()A．1 B．2C．3 D．无法确定类型三幂函数性质eq\x(命题角度1探讨幂函数性质）例3探讨函数f（x)＝的单调性．反思与感悟研究函数单调性要先研究函数定义域．幂函数的定义域主要受两个因素影响：偶次根式被开方数不小于零；分式的分母不为零．跟踪训练3已知幂函数f（x）＝（m∈N＋)．试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性．eq\x(命题角度2应用幂函数性质）例4（1）比较，的大小．(2)若（a＋1)〈（3－2a)，则a的取值范围是________．反思与感悟应用幂函数性质比大小解不等式，首先是根据研究目标的特征构造幂函数，其次是根据所构造的幂函数性质如定义域、单调性来解决问题．跟踪训练4（1)比较，，的大小．（2）若幂函数f（x)＝(m∈N＋)过（2,eq\r(2）），解不等式f(2－a)〉f(a－1）．1．已知幂函数f(x)＝k·xα的图像过点eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f（1,2）,\f（\r（2),2）)）,则k＋α等于（)A.eq\f（1,2)B．1C。eq\f(3,2)D．22．已知幂函数f(x)的图像经过点（2，eq\f（\r(2）,2))，则f（4)的值等于（)A．16B。eq\f(1,16）C．2D。eq\f(1,2)3．设α∈{－1,1，eq\f（1,2）,3｝,则使函数y＝xα的定义域为R的所有α的值为()A．1,3B．－1,1C．－1，3D．－1，1，34．下列是的图像的是(）5．以下结论正确的是（）A．当α＝0时，函数y＝xα的图像是一条直线B．幂函数的图像都经过(0，0），（1,1）两点C．若幂函数y＝xα的图像关于原点对称，则y＝xα在定义域内y随x的增大而增大D．幂函数的图像不可能在第四象限，但可能在第二象限1．幂函数y＝xα（α∈R)，其中α为常数，其本质特征是以幂的底x为自变量，指数α为常数,这是判断一个函数是不是幂函数的重要依据和唯一标准．2．幂函数y＝xα的图像与性质由于α的值不同而比较复杂，一般从两个方面考查：（1）α〉0时,图像过（0，0），（1,1)在第一象限的图像上升；α<0时，图像不过原点，在第一象限的图像下降,反之也成立．（2）曲线在第一象限的凹凸性：α>1时，曲线下凸；0<α〈1时，曲线上凸;α<0时,曲线下凸．3．在具体应用时，不一定是y＝xα，α＝－1，eq\f(1，2），1，2,3这五个已研究熟的幂函数，这时可根据需要构造幂函数,并针对性地研究某一方面的性质．

答案精析问题导学知识点一思考底数为x，指数为常数．知识点二思考RRR[0,＋∞）{x｜x≠0｝R［0,＋∞)R[0，＋∞)｛y｜y≠0｝增加减少增增减少减少梳理(1)(1,1)（2）原点增(3）α<0（5)小大题型探究例1解由题意得eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(m2＋2m－2＝1,,2n－3＝0，)）解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝－3或1，，n＝\f(3,2），))所以m＝－3或1，n＝eq\f（3,2）。跟踪训练1B［因为y＝eq\f(1,x2)＝x－2，所以是幂函数；y＝2x2由于出现系数2，因此不是幂函数;y＝x2＋x是两项和的形式,不是幂函数；y＝1＝x0(x≠0),可以看出，常函数y＝1的图像比幂函数y＝x0的图像多了一个点(0,1）,所以常函数y＝1不是幂函数．]例2解设f(x）＝xα，因为点(eq\r（2），2）在幂函数f(x）的图像上,所以将点（eq\r(2)，2）代入f(x）＝xα中，得2＝(eq\r（2)）α，解得α＝2,则f（x）＝x2。同理可求得g(x)＝x－2。在同一坐标系内作出函数f（x)＝x2和g(x)＝x－2的图像(如图所示），观察图像可得：(1）当x>1或x〈－1时，f（x)>g（x）；（2)当x＝1或x＝－1时，f(x)＝g（x）;(3)当－1〈x<1且x≠0时，f(x）<g(x）．跟踪训练2A[由条件知，M（eq\f（1,3），eq\f(2，3))、N(eq\f（2,3)，eq\f（1,3)），∴eq\f(1，3）＝（eq\f（2，3））α，eq\f（2，3)＝(eq\f(1,3)）β，∴（eq\f(1，3））αβ＝[（eq\f（1,3））β］α＝(eq\f（2,3）)α＝eq\f(1,3），∴αβ＝1。故选A。］例3解f（x)＝的定义域为（0，＋∞)．任取x1,x2∈（0，＋∞),且x1<x2，则f(x2)－f（x1)＝－＝eq\f(1，\r（x2))－eq\f(1，\r(x1))＝eq\f（\r（x1）－\r（x2），\r(x1x2））＝eq\f(x1－x2，\r(x1x2）·\r（x1)＋\r(x2)）.因为x2>x1>0，所以x1－x2〈0，且eq\r（x1x2）·(eq\r（x1）＋eq\r（x2)）>0，于是f（x2)－f（x1）〈0，即f（x2）<f(x1），所以f(x)＝在区间（0，＋∞）内是减函数．跟踪训练3解∵m∈N＋,∴m2＋m＝m×（m＋1)为偶数．令m2＋m＝2k，k∈N＋,则f(x)＝eq\r(2k,x)，∴f(x）的定义域为［0，＋∞），在［0，＋∞）上为增函数．例4(1）解∵在[0，＋∞)上是增函数，27>25，∴即（2)（eq\f(2,3）,eq\f(3，2））解析由(1)知f（x)＝x在区间（0，＋∞)内是减函数．所以(a＋1)<（3－2a)等价于eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（a＋1>0，，3－2a〉0，,a＋1〉3－2a,）)解得eq\f(2,3）<a<eq\f(3，2）.所以a的取值范围是(eq\f（2，3)，eq\f(3,2）)．．跟踪训练4解∵在R上为增函数，且eq\f（1,2)<9〈16,∴即(2）∵eq\r(2）＝＝，∴m2＋m＝2，解得m＝1或m＝－2（舍去），∴f(x）＝，由(1)知f（x）在定义域［0,＋∞）上为增函数，∴f(2－a)>f(a－1）等价于2－a>a－1≥0，解得1≤a〈eq\f(3,2)。当堂训练1．C[由幂函数的定义知k＝1.又feq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（1,2)）)