2017-2018版高中数学第二章函数4二次函数性质的再研究学案

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精PAGE18学必求其心得，业必贵于专精PAGE4二次函数性质的再研究学习目标1。掌握配方法，理解a，b，c（或a，h，k）对二次函数图像的作用.2.理解由y＝x2到y＝a（x＋h)2＋k的图像变换方法.3。能根据条件灵活选择二次函数的三种形式求解析式.4。掌握二次函数的性质．知识点一二次函数的配方法思考y＝4x2－4x－1如何配方?你能由此求出方程4x2－4x－1＝0的根吗?梳理对于一般的二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0），可类似地配方为y＝a（x＋eq\f(b,2a))2＋eq\f（4ac－b2,4a），由此可得二次函数的值域、顶点等性质，y＝x2与y＝ax2＋bx＋c图像间的关系以及二次方程求根公式等．所以配方法是非常重要的数学方法．知识点二图像变换思考y＝x2和y＝2（x＋1)2＋3的图像之间有什么关系？梳理由y＝x2的图像各点纵坐标变为原来的a倍，左移eq\f(b,2a）个单位，上移eq\f(4ac－b2，4a)个单位，可得y＝a（x＋eq\f(b，2a)）2＋eq\f(4ac－b2,4a）的图像，即y＝ax2＋bx＋c的图像．知识点三二次函数的三种形式思考我们知道y＝x2－2x＝(x－1)2－1＝(x－2)x，那么点（1，－1），数0,2是y＝x2－2x的什么？梳理（1)二次函数的一般式y＝ax2＋bx＋c(a≠0）．（2)如果已知二次函数的顶点坐标为（－h，k)，则可将二次函数设为y＝a(x＋h)2＋k.（3）如果已知方程ax2＋bx＋c＝0的两根x1,x2（即抛物线与x轴交点横坐标）,可设为y＝a（x－x1)（x－x2)．知识点四二次函数的性质函数二次函数y＝ax2＋bx＋c＝a（x＋eq\f(b,2a))2＋eq\f(4ac－b2,4a)（a，b，c是常数，且a≠0）图像性质开口向上向下对称轴方程x＝－eq\f(b，2a)x＝－eq\f(b，2a）顶点坐标(－eq\f(b，2a），eq\f(4ac－b2,4a）)（－eq\f(b，2a)，eq\f（4ac－b2,4a））单调性在区间（－∞，－eq\f（b,2a)］上是减函数,在区间[－eq\f（b,2a）,＋∞)上是增函数在区间(－∞，－eq\f（b,2a)]上是增函数，在区间[－eq\f(b，2a），＋∞)上是减函数最值当x＝－eq\f(b,2a）时，y有最小值，ymin＝eq\f(4ac－b2，4a）当x＝－eq\f(b,2a）时，y有最大值，ymax＝eq\f（4ac－b2，4a)类型一二次函数解析式的求解例1已知二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0)的图像与x轴相交于点A（－3，0），对称轴为x＝－1，顶点M到x轴的距离为2,求此函数的解析式．反思与感悟求二次函数解析式的步骤跟踪训练1（1)y＝ax2＋6x－8与直线y＝－3x交于点A(1，m），求a.(2)f（x）＝x2＋bx＋c，若f（－4）＝f（0)，f(－2)＝－2，求f(x）．类型二二次函数的图像及变换例2由函数y＝x2的图像如何得到f（x)＝－x2＋2x＋3的图像．引申探究利用f(x）＝－x2＋2x＋3的图像比较f(－1），f（2）的大小．反思与感悟处理二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0)的图像问题,主要是考虑其图像特征如开口、顶点、与x轴、y轴交点、对称轴等与系数a，b，c之间的关系．在图像变换中，记住“h正左移，h负右移，k正上移，k负下移”．跟踪训练2二次函数f(x）＝x2＋bx＋c的图像向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到二次函数f（x)＝x2－2x＋1的图像，则b＝______,c＝______。类型三二次函数的性质例3已知函数f（x)＝eq\f（1,2)x2－3x－eq\f(3,4）：(1)求函数图像的顶点坐标、对称轴方程和最值；(2）若x∈[1,4］，求函数值域．反思与感悟解析式、图像、性质三者各有特点又联系紧密，应用时在三者间灵活转化可使问题更易解决．跟踪训练3已知函数f（x)＝ax2＋2ax＋1在区间［－1,2］上有最大值4，求实数a的值．1．二次函数f（x）＝ax2＋bx＋c(a≠0）与g(x)＝bx2＋ax＋c(b≠0)的图像可能是下图中的（）2．设二次函数y＝f（x)满足f（4＋x）＝f（4－x)，又f（x）在［4，＋∞）上是减函数，且f（a)≥f(0），则实数a的取值范围是（)A．a≥4 B．0≤a≤8C．a〈0 D．a<0或a≥83．已知f（x)＝x2＋bx＋c，且f（－1)＝f(3），则()A．f（1)>c>f(－1) B．f(1)<c〈f（－1）C．c〉f(－1）〉f（1） D．c<f(－1)<f(1）4．已知二次函数f(x）＝x2－6x＋8，x∈［2，a］且f(x)的最小值为f(a），则a的取值范围是________．5．根据下列条件，求二次函数y＝f(x）的解析式．（1）图像过点（2,0)，(4,0），（0,3）；（2)图像顶点为(1，2）并且过点（0，4)；(3)过点（1，1),（0，2），(3,5）．1．配方法是重要的数学方法，在处理二次函数图像变换，研究二次函数性质时使用频繁．2．二次函数图像变换规律可以推广到一般函数，即:（1）y＝f(x）eq\o（→,\s\up7（左移a个单位)）y＝f(x＋a)；(2）y＝f(x)eq\o(→,\s\up7（上移b个单位)）y＝f(x)＋b;(3）y＝f（x)eq\o(→，\s\up7（纵坐标变为原来a倍))y＝af（x）(a>0)；(4)y＝f（x)eq\o(→，\s\up7(关于x轴对称)）y＝－f（x)；（5）y＝f(x）eq\o（→，\s\up7（关于y轴对称)）y＝f（－x)．

答案精析问题导学知识点一思考y＝4(x2－x)－1＝4（x2－x＋eq\f（1,4)－eq\f（1，4））－1＝4（x－eq\f(1，2）)2－2.令y＝0，即4x2－4x－1＝0，4(x－eq\f（1，2))2－2＝0,(x－eq\f（1,2））2＝eq\f(1,2）,x＝eq\f（1,2）±eq\f（\r（2)，2）＝eq\f(1±\r（2），2）。知识点二思考y＝x2的图像各点纵坐标变为原来的2倍,可得y＝2x2的图像；再把y＝2x2的图像向左平移1个单位，再上移3个单位,得y＝2（x＋1)2＋3的图像．知识点三思考点（1，－1）是y＝x2－2x的顶点,数0，2是方程x2－2x＝0的两根．题型探究例1解方法一代入A(－3，0），有9a－3b＋c＝0，①由对称轴为x＝－1，得－eq\f（b,2a)＝－1,②顶点M到x轴的距离为|a－b＋c－0｜＝2，③联立①②③解得eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝\f(1，2)，，b＝1，，c＝－\f（3，2)））或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－\f（1，2），,b＝－1，，c＝\f(3，2)，)）所以此函数的解析式为y＝eq\f（1，2)x2＋x－eq\f(3，2）或y＝－eq\f（1，2）x2－x＋eq\f（3,2)。方法二因为二次函数图像的对称轴是x＝－1，又顶点M到x轴的距离为2，所以顶点的坐标为（－1，2)或（－1，－2)，故可得二次函数的解析式为y＝a(x＋1）2＋2或y＝a（x＋1)2－2。因为图像过点A（－3，0),所以0＝a(－3＋1)2＋2或0＝a（－3＋1)2－2，解得a＝－eq\f(1,2)或a＝eq\f（1，2).故所求二次函数的解析式为y＝－eq\f(1,2）（x＋1）2＋2＝－eq\f(1，2）x2－x＋eq\f（3，2)或y＝eq\f(1,2)（x＋1）2－2＝eq\f（1,2）x2＋x－eq\f(3，2)。方法三因为二次函数图像的对称轴为x＝－1，又图像过点A(－3，0），所以点A关于对称轴的对称点A′（1,0）也在图像上，所以可得二次函数的解析式为y＝a（x＋3）(x－1）．由题意得顶点坐标为(－1，2)或(－1，－2）,分别代入上式,解得a＝－eq\f(1，2)或a＝eq\f（1,2)。故所求二次函数的解析式为y＝－eq\f（1,2）（x＋3)(x－1）＝－eq\f（1,2）x2－x＋eq\f（3,2）或y＝eq\f（1，2)（x＋3）（x－1）＝eq\f（1，2)x2＋x－eq\f(3，2)。跟踪训练1解(1）把A（1，m）代入y＝－3x，得m＝－3,把(1，－3）代入y＝ax2＋6x－8,得a＋6－8＝－3，即a＝－1.(2）方法一由f(－4)＝f（0),知f(x)的对称轴为x＝eq\f(－4＋0，2)＝－2，又f(－2）＝－2，∴顶点坐标为(－2，－2），∴f(x）＝(x＋2）2－2＝x2＋4x＋2。方法二由f(－4)＝f（0),可设f（x）＝x（x＋4)＋c.代入x＝－2，得－2×(－2＋4）＋c＝－2，∴c＝2.∴f(x）＝x2＋4x＋2.例2解f(x）＝－x2＋2x＋3＝－(x2－2x)＋3＝－(x2－2x＋1－1)＋3＝－（x－1）2＋4，∴由y＝x2的图像关于x轴对称，可得y＝－x2的图像．由y＝－x2的图像向右平移1个单位，向上平移4个单位，可得y＝－(x－1）2＋4，即y＝－x2＋2x＋3的图像．引申探究解f(x）图像如图．由图知越接近对称轴，函数值越大．由|－1－1｜＝2〉|2－1｜＝1,即f(2）比f(－1）更接近对称轴，∴f(2）〉f（－1）．跟踪训练2－66解析f（x）＝x2－2x＋1＝(x－1)2,其图像顶点为(1，0)．将二次函数f（x）＝x2－2x＋1的图像向下平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度后的图像的顶点为(3，－3），得到的抛物线为y＝(x－3)2－3，即f（x）＝x2＋bx＋c，∴（x－3)2－3＝x2＋bx＋c,即x2－6x＋6＝x2＋bx＋c,∴b＝－6,c＝6.例3解(1)对函数右端的表达式配方，得f(x)＝eq\f(1，2）（x－3)2－eq\f（21，4)，所以函数图像的顶点坐标为(3,－eq\f(21,4))，对称轴方程为x＝3，最小值为－eq\f(21，4).(2）由于3∈[1，4］，所以函数在区间[1,3］上是减函数，在[3,4]上是增函数，所以当x＝3时，ymin＝－eq\f(21，4)，当x＝1时，ymax＝eq\f(1，2）×4－eq\f(21，4)＝－eq\f(13，4)，所以函数的值域为［－eq\f（21，4)，－eq\f(13，4)］．跟踪训练3解f(x）＝a(x＋1)2＋1－a。当a＝0时，函数f（x)在区间［－1，2]上的值不变,恒为常数1，不符合题意，舍去；当a〉0时，函数f(x）在区间［－1,2]上是增函数，最大值为f(2)＝8a＋1＝4，解得a＝eq\f（